Л. Н. Гумилев атындагы ЕҮУ, 2007. ~ 102 б
жүктеу/скачать 2,98 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 6.1.1 - мысал. п -өлш емді Е вклид кецістігі - то л ы қ кеңістік. Сондықтан, ол гильберт кеңістігі болады. ОС 6.1.2
- 6.1.2 - анықтама.
- 6.1.1 - теорема (Коши критерий!).
- Вейерш трасс леммасы. Гильберт кеңістігіндегі кез келген абсолютті ж и пақталаты п қатар ж инақталады . 00 Д әлелдеуі.
- Х к і ) + ... + ( х к„ - .TjfenJ + ... = х һ + Ү ^ { х кгі - Х к л_ х) .
- - у , Һ ) ( х - у , һ ) _ ( һ , х - у)(а - у , һ ) |(.т
- А -1 fc=l fc=l A-=l Jfc=l
- А -1 А-1 \А-=1
- Ц -^ п + р ® А п . т || = ||( A f i 4 . j i А п )а!| А п | | | | ж | |
| §6. Гильберт кеңістігі
6.1. Гильберт кеңістігіндегі қатар үғымы 6.1.1 - анықтама. Т олы қ скаляр көбейтінді аны қталған сызықты кеңістікті гилъберт кецістігі деп атайды жәпе оны Н деп белгілейді. 6.1.1 - мысал. п -өлш емді Е вклид кецістігі - то л ы қ кеңістік. Сондықтан, ол гильберт кеңістігі болады. ОС 6.1.2 - мысал. І 2 = {х = {£і, $2; •••> •••} : Е £і < ° 0 } ‘ то лы қ СЫЗЫҚТЬІ і = 1 кеңістік. яғни гильберт кецістігі. 69 Д әлелдеуі. 1 ) Іо кецістігініц элсменттерінен тураты н {жп} = ...} - ф ундам ен-тальды тізбок берілсін, ягни (Уе > 0)(3A ri)(V n , т G N : п , т > Лгі) : ||х я - жт || < е <=$> 00 (32) к = 1 М ы кандай айы ры мны ц модулін қарасты райы қ: | f (,.+ P) _ t- W , < { f - = ||.T ii+ p _ X m ||. (3 3 ) Ik=] (32) теңеіздіктен (ЗЗ)тсцсіздікті ескеріп, мынаны алам ы з (Vc > 0)(3Ari)(V n : n > N i )(Vp 6 N ) : \ ^ l+p) - ^ n)| < e. Бұл ф ундам ентальды тізбектің анықтамасы бойынш а орбір бекітіліп алы нган к номері үшін R нақты сандар ж иы ны нда ф ундаментальды тізбекгін аны қтайды , R - толы қ кеңістік болгандықтан, әрбір бекітіліп алы нган к номері үшін тізбектің шегі бар, ягни 3 lim п - > ОС 2) Осы ^ нақты сандардан тураты н ~ * 0 тізбегін қарастырай- ық. Енді П’о элементінің 1-2 кеңістігінде ж ататы нды гы нан, lim х п — екен- П-+ 0 с дігін көрсетсйік. Һ кеңістігініц элемепттерінен түраты н {ж,,} тізбегі ф унда ментальды тізбек болгандықтан, (Уе > 0 )(ЗЛ г1)(Уп : п > Агі)(Ур € N ) : ||х'п+р- х п|| = \ ^ 1+р) - ^ п ) | 2 j < £ Бүдан Уrn номері үшін { Х > Г Р )- ^ І 2 У < * - (34) (34) тецсіздігінің екі ж агы нан р —> ос кездегі шегін табайық: “5 , 1 Е - ^ і * } ’ < £ ( t І Г ' ! - і ? А ’ <«=► р-юо *—J I \ і < ч k—l ) \к= 1 70 < £ (35) кез келген п > Лгі номері үшін. Енді (35) теңеіздіктіц екі ж ағьш ан т -*■ со кездегі шегіп табайық: бүл ж агд ай д а (Vn > N \ ) үшін Д емек, кез келген п > N \ иомері үшін х п — x q £ 12 боладыло жопе |)яп —жоіі < £. Бүдан Х(j = х п + (.т 0 — х п) £ 1о болады. Өйткені І 2 - сы зы қты қ кеңіетік. Сонымен Ж() £ 1 2 ж атады , ж эне lim x n = x q . Д ем ек, / 2 - толы қ сызықты кеңістік, ягии гильберт кеңіетігі. Ескерту. !,К ез келген гильберт кеңістігі - банах кеңіегігі"деген кері ту ж ы ры м дүрыс емее. Н гильберт кеңістігіпің элемеиттерінен түраты н тізбегін қарасты- райық. Осы тізбектің элементтерінің қосындысынап қүралган ф орм альды қ қосындыны гильберт. кецістпігіндегі цатар деп атайды жәпе оиы былай бел- гілейді: S n = + Х 2 - г .. + х п өрнегін (3G) қатарды ң дарбес цосыпдысы деп атайды. 6.1.2 - анықтама. Егер (36) қатарды ң дербес қосындысынан қүралган {5„} тізбегі осы Н кеңістігінде ж и н ақтал аты н болса, онда (36) қатарды жи- пакты цатар деп атайды . ал { 5 Г1} тізбекгінің шегі осы цатардыц цосындысы деп аталады жоне оны былай белгілейді: 6.1.2’ - анықтама. Егер {.т*,.} тізбегініц элементтерінің нормаларынан қүры лган қатар ж и нақталаты н болса, ягни Е llx fcll < ° °: онда (36) қатарды абсолютті ж ииацт алат ы и цатар ден атайды. 6.1.1 - теорема (Коши критерий!). Я -гильберт кеңістігінде (32) қатар ж и нақталуы үшіи (36) ОО 00 k= 1 п+р (Ve > 0)(3A ^)(V n : n > JVi)(Vp G N ) : x k < £ (37) k=n+ 1 71 ТСЦС13Д1Г1НЩ о р ы н д а л у ы қаж етті және жеткипкті. Д әлелдеуі. Қажетті, шаргп. Н гильберт кецістігінде (36) қатар ж и нақталаты н бол сын. ягни lim S n — S =*> lim R n — 0 & (Vs > 0)(3A ri)(V n : n > Ar1)(Vp G N ) : n + p £ * * < £. Ж ет кілік гпі uiapm. (37) ш арт орындалатын болсын. S n деп (36) қатарды ң дербес қосыидысын белгілейік. Сосын мынандай нормапы қарасты райы қ: jj'S'n+p ' 5 п |і — І ! ( ж і + Х о 4 " ••• " I Х п - Г ® іг + 1 ”Ь ••• 4 " % п-і-р * 1 * 2 • •• ' * ? і ) ! і — = ||*п +1 4* *h +2 4* ••• "Ь ®п+р| О лай болса, і п + р \ £ * * U=n + 1 (Ve > 0)(3JVi)(Vn г п > Л 6 N ) : !|S„+P - S„|| = £ * * Jt=n+1 е. Д емек, { S n} -(36) қатарды ң дербсс қосындыларынан тураты н тізбек - ф ун дам ентальды тізбек. { S ri} тізбегіиің элеменггері гильберт кеңістіктіц эле менттер!, ал гильберт кеңістігі толы қ банах кеңістігі болганды қтан. оның шегі бар болады. жоне ол осы кецістіктің өзінде ж атады . О лай болса, 6 . 1 . 2 - аи ы қтам а бойынш а (36) қатар - ж инақты қатар. Вейерш трасс леммасы. Гильберт кеңістігіндегі кез келген абсолютті ж и пақталаты п қатар ж инақталады . 00 Д әлелдеуі. Л ем м аны ц ш арты бойынша Е х к қатары абсолютті жи- к =1 нақталады . О нда 6 . 1 . 1 -теоремасы бойыпша (Ve > 0)(3A ri)(V n G N : п > N \)(V p G N ) : ] T n+p £ k= n-\ -1 < e; П+/7 £ к—п. ~f* 1 n+p ІС—П + 1 болгандықтан. (Ve > 0)(3A ri)(V n E N : n > Arx)(Vp G A') : £ k=n +1 Xk < £. 72 оо Б ул 6.1.1 - теорема бойынш а Е х к қатары ж и н ақталады дегенді білдіроді. к = 1 6 . 1 . 2 - л е м м а . L норм аланган кеңістігінде кез келген абеолю гті ж и нақта- латы н тізбск ж н н ақтал аты н болса, онда осы нормаланган кепістік - Бан ах кецістігі. Д ә л е л д е у і. L норм аланган кеңістігінің элементтерінен тураты н (фунда ментальды {®п} тізбегін қарасты райы қ. Осы тізбектің L кеңістігінің қандай д а б ір х элементіне ж н н ақталаты н ы н көрсетсйік. х п-тізбегі ф ундаментальды тізбек болгандықтан, \\хкі\\ < |j®fcn - (Vn > 2 ) тсңсіздіктерін қанагаттанды раты н тізбекш есі табы лады . Осы тізбекш еніц элемепттерінен қатар қурайық: 00 х кі + { х ь - Х к і ) + ... + ( х к„ - .TjfenJ + ... = х һ + Ү ^ { х кгі - Х к л_ х) . (38) п—1 Бул қатар абсолютті ж н н ақтал ад ы , ойткені а) (Vn > 2)11®/., - х кп_г \\ < 00 б) Е ^ ' ж н н ақталады . п=1 Бул Вейерштрасс теоремасы бойынш а (38)-қатарды ң абсолю тті ж инақта- латы ндьн’ын корсетеді. Сондықтан, L кецістігінен (38)-қатарды ң дербес қосы нды лары нан тура тын { S n} тізбегі ж и н ақтал аты н х элементі табы лады , ягнн lim S n = х п—>оо S n — х к болғанды қтан, lim х кг = х. Демек. ф ундам ентальды х п тізбе- П-Ю 0 г іііің х кп тізбекшесі - ж н н ақтал аты н тізбек. Олай болса, х п тізбегіиің өзі дс 3.1.1-леммасы бойынш а ж и н ақталады , жәнс lim х п = х € L. Демек, L - п-* ос Б ан ах кецістігі. Н - ақы рсы з өлш емді Гильберт кеңістігі болсын. {Ік}™ Дсп 0СЬІ кецістіктіц элементтерінен тураты н сы зы қты тәуслсіз ж уйені белгілейік. 6 .1 .3 - а н ы қ т а м а . Егер Н Гильберт кецістігініц кез келген х элементі ОС X = ^ 2 Ы к к = 1 ж и нақталаты н бірмәиді қатар турінде ж азы л аты н болса, онда сызы- қты тоуелсіз элем енттер ж уйесіп осы кеңістіктің it базисы ден атайды. С ъ б ь •••>&;> ••• - скал ярлары н х элемептінің \ 1к} базисы арқы лы аны қталгаи it коордннаталары деп атайды . Сонымен ақы рсы з олш емді кеңістіктегі базис аны қтам асы - ақы рлы ол- шемді кеңістіктегі базис угы м ы ны ц ж алпы лам асы . 73 ОС 6 . 1 . 2 - м ы с а л . 1Р = {;х = ( & , 6 , : £ j 6 jp < oo , 6 G 7?},p > 1 . t=i кеңістігінде ejt = {£jfci}~i, <5ь' = | J \ элементтоР і п е і 1 тураты н жуйе базисты анықтайды. Ш ы ны нда да, ОО ОС 0 0 ОС к = 1 г=-1 / ; = 1 г= г іЧ -1 оо оо Будан Е 16\р -катар ж и н ақтал аты н болғандықтан. п —г оо кезде Е 1 б | ;; і — 1 г = п - И 00 қатарды ң қалды ғы полге умты луы керек. О лай болса, х = 6 ef кдтар i = 1 турінде ж азу га болады. Енді осы ж азы луды ң біреу болатындыгын көрсетейік: 0 0 ОС * = « < ) r = E & e‘ = £ & < = ( $ ” і = 1 2 = 1 00 болғандықтан, х = £ £,-е? ж іктелуі тек қана біреу болуы керек. »=і L - нормаланган кеңістіктің элементтерінен тураты н { х а} элементтер ж уйесі берілсін. 6 .1 .4 - а н ы қ т а м а . {.та } элементтер жүйссінің барлы қ мумкін болатын элементтерінің сы зы қты комбннацнясынан қуралган ж иы нды х а элементтер ж уйесінін сызыкпіы цабыгы деп атайды. 6 .1 .3 - м ы с а л . C[a,b] кеңістігініц элементтерінен тураты н { 1 , t , t 2, ...} элементтер жуйесін қарасты райы қ. Осы жуйеніц сы зы қты қ қабығы барл ы қ мүмкін болатын Ң*) = J2Ckfk k=О көпмүшеліктерінен тураты н ж иы нды қурайды. С ы зы қты қ қабы қ сы зы қты қ кеңістікті анықтайды. 6 .1 .5 - а н ы қ т а м а . {жа } элементтер жүйссі L нормаланган кецістікке бар- лыц жерде тыеыз ориаласцан деп аталады , егер L кеңістігінің кез келген х элементін кез келген дәлдікпен {жп} элементтерініц ақы рлы сызықты ком- бинациясы арқы лы ж азу га болатын болса. 74 Б асқ аш а ай тқан да, {.г’и} элементтер жүйесі L кецістігіне барлы қ жерде ты гы з орналасқан, егер опың сы зы қты қ қабыгы осы L кеңістігіне барлы қ ж срде ты ғы з орналасқан болса. 6 .1 .4 - м ы с а л . К ез келген [а, 6 ] кесіндісінде үзіліссіз ф ункцняны кез кел ген дәлдікпен ал геб ралы қ көпмүш еліктер арқы лы С'[а, b] кецістігінің норма сы бойынша ж у ы қ тау га болады (Вейерш трасс теорем асы ), ягни (Ve > 0){Vx(t) £ C[a,b)){3p(t) £ P [a,b]) : \\x - p (t) ||c [a,b] < s. Д емек. P[a. 6 ] = C [a, b). 6.2 . Н ү к т е д е н т ү й ы қ д ө ң е с ж и ы н ғ а д е й ін г і а р а қ а ш ы қ т ы қ Нүкт еден һикі кецістіккс дсйіигг арацашыцтыц Н - Гильберт кеңістігіпің элементтерінен түраты н М ж иы ны н жэне осы ж иы ні'а ж атпайты н кеңістіктіц қапдай д а бір х нүктесін қарасты райы қ. х нүктесінсн М ж п ы н га дейінгі арақаш ы қты қты р ( х , М ) = in f ||ж — и\\ ■ием деп белгілейқ. 6 . 2 . 1 - л е м м а . Егер х £ М болса, онда р ( х , М ) = 0 . Е гер х М және М -түйы қ ж иы н болса, онда р(х, М ) > 0 . Д ә л е л д е у і. а) Егер х £ М , онда и — х => ||и — ж|| = 0 => р (х , М ) = 0; б) М - түйы қ ж иы п болсын ж әне х (£ м . К ері ж ориы қ, р(х, М ) = Оболсын. Д әл төменгі ш екараны ц аньтқтамасы бойынш а (Vn £ N ) { 3 u n £ М ) : ||ж — « п|| < Осыдан lim ІІж — и п \\ < lim — = 0 <£> lim ІІж — u n || = 0 lim u n = x. П - 4 0 0 П - Ю С П П - » CO 71—> 0 0 M - түйы қ ж иы н болганды қтан. x £ M . Екіііш і ж агы нан , х £ М . Бүл - қайш ы лы қ. А лы нган қай ш ы лы қ р{х, М ) Ф 0 екендігін көрсетеді. Демек, р(х, М ) > 0. 6 . 2 . 1 - т е о р е м а . Егер Н - Гильберт кеңістігінің М ішкі ж иы ны түйы қ дөңес ж иы н болса, ж әне х £ М , онда М ж иы ны нан р { х , М ) = IIу - я?[j тендігін қан агаттанды раты н ж ал гы з у элементі табы лады . Д ә л е л д е у і. х £ М болғандықтан, 6.2.1 - лем м а бойынш а d = р { х ) М ) > 0. Сондықтаи г?г/-ның анықтамасы бойынша (3 и п £ М ) : d < \\х - иігII < d + (39) п Осылай табы лған {ггТІ} тізбегінің ф ундаментальды тізбек екенін корсетейік. Ол үшін (х — и п) және (х - и т ) деп нараллелограм ны ң қабы рғалары н алын, осы параллелограм ға параллслограм теңдігін пайдаланам ы з: * - и / \ dl = х ~ Х1" + х ~ и »» = 2х ~ и * - и ’п> d ‘2 — х и т х -f- ип — и п X - Um ЯГНИ 2)1® - «nil 2 -I- 2 ||z - u 7„ | | 2 = \\un - u m | | 2 + || 2® - Un - u m 112. (40) M - дөңсс түйы қ ж иы н болгандықтан, -■ц-| Уг’- £ М . Осыны ескеріп, р х - и„ - « „ , | | 2 = 4)1® - > 4d2. (39) теңсіздіктен | | x - u „ | | 2 < ( d + i j 2, \\x - u , „ f < ( d + L ) 2 екендігін алам ы з. Осы теңсіздіктсрді ескеріп, (40) тендіктен мынаны ала мыз: ||« и- « т | | = 2 \ \ х - и п\\2+ П х - и т\\2- Ц х - ^ ± ^ - \ \ 2 < ( d + i ) + 2 ( d + - ) - 4 r f 2 = I п т 4 d 4 d 2 2 8 d + 4 — —• Н----------------- 1 j -t- 2 < — Г’ : n m r r r r r A i егер Vn, m > N \ болса. Сонымен Sd 4- 4 (Ve = ——— )(3A ri)(Vn, m £ N : n , m > N \) : ||u„ - u m|| < e. - u Д емек, { u n} тізбегі - ф ундам ентальды тізбек. H - толы қ кецістік болғанды- қтан, {и п} ф ундам ентальды тізбегі осы кеңістіктің қандай д а бір у элемен- Ti не ж и нақталады , ягни l i m u n = у. M тұйы қ ж иы н болгандықтан, у £ М . П-* СО Енді (39) тецсіздіктіц екі ж агы нан ш ектіц монотондық қасистін ескеріп, шекке көшсек: d < lim ||ж - itn || < d =Ф- d = ||ж — t/||. 76 б) у элементінің ж алғы з екенін көрсетейік. Kepi ж ориы қ. d = inf ||х — у\\ тендігін қан агаттанды раты н тагы бір у* элементі бар болсын. ягни d = in f \\x - y*||. П араллелограм теңдігі бойынш а 4с? = 2 \ \ х - у \ \ 2+ 2 \\х -у * \\- = \\у -у * \\2+ Ц х - У Ц > \\y -y* \\+ 4 d 2 ||у -у * || = О . . * ** У = У • Я 3- үш өлшемді Е вкли д кецістігінде 0 нүктесі арқы лы өтетін а ж азы қты ғы ж әнс осы ж азы қ ты қ қа ж атп ай ты н р нүктесі берілсіп. О нда осы а ж азы қты - — у гы на ж ататы н бір р' нүктесі табы лады да, d = \рр'\ саны а ж азы қты гы нап р нүктесіне дейінгі арақаш ы қты қты аны қтайды . рр' түзуі а ж азы қтьнъш а перпендикуляр ориаласады . О сындай айгақ кез келген Гильберт кеңістігін- де де орындалады. L С Н ж и ы ны н ҒІ кеңістігінің ішкі кецістігі деп атайды, егер де ол түйы қ сы зы қты болса. L - кецістігі H -Гильберт кеңістігінің ішкі кеңістігі болсын. Демек, L - түйы қ сызықты көибейне. х G Н , бірақ х (£ L болсып. х нүктесінен L ішкі кеңістігіне дейінгі ар ақ аш ы қ ты қ деп d = inf j|;c — и\\ санын айтуга болады. xi К ез келген ішкі кеңістік түй ы қ дөңсс ж иы н болгапды қтан, 6.3.1 - леммадан мынадай салдар ш ыгады: 6 .2 .1 - с а л д а р . L С Я -іш кі кецістігіпен d = inf I) ж — и || u&L тендігін қанагаттанды раты н ж алгы з у элсменті табы лады , ягни с/-саны х нүктесінен L іш кецістігіне дейіигі арақаш ы қты қты аны қтайды . 6 . 2 . 2 - т е о р е м а . Егер Ik - 2/11 = Р(х : L ) болса, онда (х — у) _L L болады. Д ә л е л д е у і. х-у элементі L ішкі кеңістігіне перпендикуляр деген сөз L ішкі кецістігінің кез келген һ элементі үшін (х — у, һ ) — 0 дегенді білдіреді. Осыиы көрсетейік. А саны кез келген комплекс сан болсын. онда AҺ 6 L. Сопдықтан, дәл томенгі ш екараны ң аны қтам асы бойынш а \\х - у + А/г|| > |]х - у (I = d. Олай болса, (ж—y + Х Һ ,х —у+ХҺ) > ( х —у , х —у) =Ф- A (/i,х —у ) + Х ( х —у, Л,)+АА||/і | | 2 > О (*). А = — Ціттіг^ деп алайы қ. О нда (*) тізбегінен мынаны аламыз: { х - у , Һ ) ( х - у , һ ) _ ( һ , х - у)(а? - у , һ ) |(.т - у , һ ) |2 Ц/.Ц2 ЦЛ.Ц2 + ||/г.||2 " 77 => = 0 ^ К* “ У* ҺУ\2 = 0 & { х - у, һ) = 0 . 6 .2 .2 - с а л д а р . L С Я іш ксцістігі бсрілсін. О нда Гильберт кецістігінің кез келген х элементіп х = у + г, мұндағы у е L. z ± L, түрінде ж іктеп ж азуга болады ж әне ол ж алгы з. Д ә л е л д е у і. L іш кі кеңістігінің кез келген элементін у ден белгілейік. Он д а Гильберт кеңістігінің кез келген х элемснтін х = у + (х - у ) , у G L түрінде ж іктен ж азу га болады. х — у — z деп белгілейік. а) Егер х G L, онда у = Ө деп аламыз. Бул ж агд ай да х = Ө + (х — Ө). мундагы х — Ө±Ь. Ш ы ны нда да, (0, х — Ө) = (Ө, ж) — (Ө, Ө) = 0. демек, Ө ± х — Ө. б) Егер х ({: L, онда G.2.2 - теорема бойынша р { х ,Ь ) = Цж-г/Ц тендігін қан агаттанды раты и у элементі табылады ж эне x —y L L . Сондықтан, Vx элементін х = у + [х — у) түрінде ж іктеп ж азуга болады. х = у + (х - у) ж іктеуіндегі у элементін х элементінің L ішкі кеціетігіне түскен проекциясы деп те атайды. 6.3 . О р т о г о н а л ь т о л ы қ т а у ы ш . Я - Гильберт кецістігініц қандай д а бір сы зы қты қ көпбейпесін L деп бел- гілейік. 6 .3 .1 - а н ы қ т а м а . L көпбейнесіне ортогональ болатын Я - Гильберт кеңістігінің элементтерінен тураты н ж иынды L сы зы қты қ көпбейнесіне ор тогональ толыцтауыш оісиын деп атайды және оны L 1 деп белгілейді. 6 .3 .1 - л е м м а . L 1 ж ны ны Гильберт кеңістігінің ішкі кеңістігін анықтай- ды. Д ә л е л д е у і. 1) L 1 - сы зы қты қ кеңістік болатынын көрсетейік. (V^i, Z 2 G L 1 )(Ai, A 2 G С) : A + X 2 Z 2 = z элементін қарасты райы қ. Vy G L үшін { \ l Z i + \ 2 Z 2 i y ) = { X i Z 1 , y ) + ( \ 2 Z 2 , y ) = M { z u y ) + \ 2 { z 2 , y ) - ^ 78 Олай болса, Лі^і + А о^ = z Е L 1 . Сонымен L 1 - сы зы қты қ кеңістік. 2 ) L 1 - тү й ы қ ж иы н болаты ны н көрсетейік. L 1 ж иы нны ң элементтерінен тураты н лг нүктесіне ж и н ақтал аты н {.г?1} тізбегін қарасты рай ы қ, яғни lim z n = z. П -* oo Енді осы 2 элемснтінің L 1- ж и ы ны нда ж ататы ны н көрсстейік. Ол үшін L 1 ж иы ны нда ж атпайты н Гильберт кецістігінің у элементіп ал ай ы қ та, г-пен у-тъщ скаляр көбейтіндісін қарасты райы қ: (z, у) = ( lim z r, , y ) = lim (zn, y) = lim 0 = 0 . n-± 0 С n->CC Ji —>00 Демек. z 6 L 1 . Сонымен L 1 - түйы қ сы зы қты қ кеңістік. Сондықтан, ол Гильберт ксцістігініц ішкі кецістігін апықтайды. 6 .3 .1 - е с к е р т у . Егер L Гильберт кецістігіиіц іінкі кеңістігі болса, оида L 1 ж иыны д а Гильберт кеңістігінің ііикі кеңістігі болады. 6 .4 Г и л ь б е р т к е ц іс т іг ін д е г і Ф у р ь е қ а т а р ы М атематиканыц кейбір бөлімдерінде және оларды ц қолданы латы н сала- лары нда төмендегідсй геом етри ялы қ есеп жиі кездеседі. Е с е п . L -норм аланган кецістіктіц а нүктесіне ж ақы н орпаласқан ішкі кеңістігін табу керек. L Гильберт кецістігі болганда, бүл есептіц ж ауабы н келесі теореманыц тұж ы ры м ы береді. Н Гильберт кецістігінің элементтерінен тураты н ортонормаланган {е*.} элементтер жүйесі арқы л ы аны қталган ОО Ок<'к (41) қатары н қарасты райы қ. 6 .4 .1 - л е м м а . Е гер (41)-қатар Н - Гильберт кецістігініц / элементіпе ж и н ақтал аты н болса, ягни ОО f = ^ а кек) (42) к—І онда (41)-қатарды ң аі коэф ф ициенті бірмәнді ( / , е*) скал яр кобейтіндісі арқы лы аны қтал ады , яғни оц = ( / , е,-), і = 1 . 2 ,... 79 Д э л е л д е у і. Л ем м аны ц ш арты бойынша (41)-қатар ж и нақталады . Сон- ды қтан. скаляр көбейтіндініц қасиеті боііымша 00 00 00 (/>-*) = О С аквк' еі) = Ү ^ ( а кек ^ і ) = ^ 2 а к{ек :еі) = щ . к —1 к = 1 к - 1 6.4.1 - лем маны ц тұж ы ры м ы нан мынандай қорытынды ж асауга болады. Н - Гнльберт ксцістігінде ж атқан кез келген / элементіне коэфф ициенттері 00 Q't = ( / , е,) формуласы арқы лы аны қталган £ a ^ k қатары н сәйкес қоюга /:=1 болады. 6 .4 .1 - а н ы қ т а м а . К оэф ф ициенттсрі = ( / > е і ) формуласы арқы лы аны қталган (41)-қатар Н - Гильберт кецістігініц / эле- ментіне сәйкес келетін ф орм альды Фуръе к/ітары деп аталады . және оны 00 былай дегі белгілейді: / Е а кСк- А=1 ск,- коэфф нциспттерін {е } ортоиормаланган жүйе арқы лы аны қталған Фурье цатарьтыц коэффициспгптері ден атайды. Қ ай уақы тта ф орм альды Ф урье қатары Я Гильберт кецістігінің нормасы бойынш а осы кецістіктіц қатарды тудыратын элементіне ж н нақталады деген сүрақ туындайды. Б үл сүраққа жауап бермес бүрыч тагы бір аны қтаманы берейік. 6 .4 .2 - а н ы қ т а м а . Егер Гильберт кецістігініц кез келген / элемеиті үшін ф орм аль-ды Фурье қатары ж н нақталаты н болса, ягни ОС f ~ ^ 2 a kek, (43) А=1 онда {е/.} ортоиормаланган жүйесін Гильберт кецістігінің it ортопорма- ос ланган саналымды базисы, ал J2 қатарын / элементініц Фурье цатары, к=1 ал (43)-теңдікті {е/;} ортоиормаланган базисы арқылы / элементін Фурье цатарыпа ж ік т еу деп атайды. Осы аны қтамадан кеііін ф орм альды Фурье қатары ж инақталуы үшін {е/;} ортоиормаланган ж үйеніц Я - Гильберт кеңістігінің саналы мды базнсі екеніп П көрссту ж еткілік-ті. S n = ]T) a kek қосындысын Фурье цатарыныц дербес k= 1 цосындысы деп атайды. 80 {е/.} - ортоиорм аланган ж үйсніц Гнльберт кеңістігініц саналы мды базисы болуының белгісін аны қтау үшін ең алдымен ф орм альд ы Ф урье қатары ны ң коэф ф ициенттерінің қаснеттерін зсрттейік. Н - Гильберт кеңістігінің элементтсрінен түраты н {е^} ортоиормаланган жүйесін жоне осы кеңістіктің қандай д а бір / элемснтін қарасты райы қ. 11 Е Ркек ақы рлы қосындысы арқы лы Гильберт кеңістігінің нормасы бой- а -= і ы нш а / элементінің дәлірек ж уы қтауы н табу ессбін қарасты райы қ. П 6 .4 .2 - л е м м а . S n - Ф урье қатары ны ң дербес қосы нды сы барлы қ Рк^к к = 1 ақы рлы қосы нды ларды н іпііпдегі / элсментінің ең дәл ж уы қтам асы н береді, ягни П П іпіп У/ - 0 кек \\ - II/ - ^ 2 а *е*Н /.•=1 А -1 оры ндалады . Сонымен қатар і і / - Х > ^ і 2 = іі/іі 2 - І > | . (-м) к =1 к= 1 Д ә л е л д е у і. С к аляр көбейтіндінің қасиетін найдаланы п, п п 11 п п / - С f ~ И>3іеі = (f> /) ~ 2 &(/’е»') + S М(екі еі) = к= 1 :=1 г = 1 к =1 і - 1 = ( / , / ) - 2 ^ & ( / , < * ) + ! > * = | | / | | 2 + Е ( А - а 7;)2- ^ 4 > | | / | | 2- ] [ > і А -1 fc=l fc=l A-=l Jfc=l Соцгы теңсіздік тецдікке айналады , егерде V/г : ,8}: = Q-'fc болса. Сонымен / пен Е аралары и дағы қаш ы қты қ өте ж ақ ы н болады. егерде 0к — &k к=і болса, ягни Ф урье қатары пы ң коэффициента ец кіші минимумды береді. і і / - Ё “ ^ і і 2 < і і / - Е м 2- А~1 к= 1 Сондықтан, /3/. = а/, болганда ц / - Ё “ *е*іі2 = ііл і2 - Ё ^ <45> к=1 к - 1 тецдігі оры ндалады . (45)-теңдіктсн Ё ^ < 11 / 1 |2- ( « ) А-=1 81 Осы тецсіздіктің скі ж ағы нан п —> со болғанда ш екке көшсек: п 00 м 2 = і™ Е аі =иі/и2 = Е °*- (<17) *=*1 к = 1 (47)-теңсіздікті Бессель тсцсіздігі деп атайды. (еі, е о , е п) - ортоиормаланган жүйенің сы зы қты қабьнъін Н п деп бел- гілсйік. Н п С Н . 6 .4 .1 - с а л д а р . Гильберт кеңістігінің кез келген / элементіиен Н п кеңісті- гіне дейінгі арақаш ы қты қ cP = \ \ f \ \ 2 - j 2 a i = p \ f , H ’‘) ф ормуласы арқы лы табылады. Д ә л е л д е у і. А рақаш ы қты қ аны қтам а бойынша Л / , н п ) = 11 / - Ё = II/!!2 - 4 - к = 1 А-1 6 .4 .2 - с а л д а р . Ei'ep / кеңістігініц кез келген элементі, ал а*- осы эле- ментіне сойкес келетін Фурье қатарлары ны ң коэфф ицненттері болса, онда 00 Е “Ы іяі 2 к = 1 теңсіздігі оры н д алад ы . 6 .5 П а р с е в а л ь - С т е к л о в т е и д іг і Н - Гильберт кеңістігінің элементтерінен түраты н {сі;}™=1 ортонорма- лані'ан жүйесін қарасты райы қ. 6 .5 .1 - а н ы қ т а м а . {е*.} ортоиормаланган ж үйені толыц оісүйа деп атай ды. егерде Гильберт ксңістігінің кез келген / элементіне {е*} жүйесі арқылы апы қталаты н Ф урье қатары ж инақталаты н болса. ягни ОО акЧ к = 1 теңдігі оры ндалаты н болса. Толық ортоиормаланган ж үйе Гильберт кеңісті- гініц базисын аны қтайды . 6 .5 .1 - т е о р е м а , {е^-} -ортоиормаланган саналы мды жүйе Гильберт кеңістігінде толы қ болуы үшін 00 Е “ і = ііяі 2 к = 1 82 теңдігінің орындалуы қаж етті ж әне ж еткілікті. Д ә л е л д е у і. Қ аж ет т ілік. {е*} ортонорм алаш 'ан саналымды жүйесі - Гильберт кеңістігінде толы қ ж уй е болсын. О нда 6.3.1 - аны ктам а бойынш а Гильберт кеңістігінің кез келген / элементін СЮ f = 2 (4 S ) k = 1 бірмәнді Фурье қатары түрінде ж азу га болады, мұндагы = ( / , е*). (48)-тендіктің екі ж агы н / элементіне скаляр көбейтейік: ОО ОС с о {f: Я = (С akCk' Я = Я = ^ k - 1 A=1 fc=l Ж ст кілік т ілік. Гильберт кеңістігінің кез келген / элементі үшін II jr [|2 E k=l тендігі орындалсын, ягни imp = E a‘- fc=i / элементінеп (ei, C 2 , ..., en) элементтер жүйесінің сы зы қты қабыгы Н п - ге дейінгі арақаш ы қты қты d n деп белгілсйік. О ида 6.4.1 - салдар бойынша ОО 0 0 п 0 0 dl = І І / І І 2 = al ~ ] C ak = ak- k = l k = 1 fc=l k = n + l Осы теңдіктің екі ж агы нан п —г оо үм ты лды ры п, ш екке кошсек 00 п d« = і™ Е <*ь = °’d»= іі/ - Е Jb=n +1 k=l 00 Б үл a kek Ф урье қатары / элементіне ж и нақталаты н ы н көрсетеді. Олай к= 1 болса, 6.4.1 - ан ы қтам а боііынгпа {е/;} - толы қ жүйе. ОО 6 .5 .2 - а н ы қ т а м а . J2 а \ = ||/Ц 2 тецдігін Парсевалъ-Сгпеклов тсцдггі деп к= 1 атайды. П арсеваль-С теклов теңдігі - ақы рсы з өлшемді кецістіктегі П иф агор теоремасының ж алпы лам асы . 83 6 .5 .2 - т е о р е м а . Гильберт кеңістігінде ортоиормаланган ж үйе толы қ бо луы үшін Гильберт кеңістігінде тек нөлдік элемент {е/.} ж үйенің барлы қ элементтеріне ортогональ болуы қаж етті ж эне ж сткілікті. Д ә л е л д е у і. Қ аж ет т ілік . {е*} ж үйесі - Гильберт кеңістігінде толы қ, ж эне Гильберт коцістігініц д элементі {е*.} жүйесніің барлы қ элемснттеріне ортогональ бол сын. Ягнн Q-fc = (g.Cf,.) = 0. k = 1, 2 ,.... {e^.} толы қ ж үйе болганды қтан, ОС а ?- = ІІ9ІІ 2 =* !Ы 1 = 0 ^ д - Ө . k=l Ж е т к іл ік т іл ік . Гильберт кеңістігінде нолдік элементтен басқа {е/-} жүй- есіне ортогональ элем енттер болмасын. Гильберт кеңістігінің кез келген / элементін алайы қ. О ныц Фурье коэффициенттерін а:/; деп белгілейік. Бес- ЭС сель тецсіздігінен ^ а \ қатары ж ннақталаты нды гы ш ыгады. Сондықтан, it=i Коши критериі бойынш а n+p (Ve > 0)(3iV1)(Vn 6 N : n > JVi)(Vp G N ) : ] T a \ < £2. fc=n-f 1 {efc} ж үйесінің ортогоиальды гы н ескерсек: .2 n + p r 4 n + p E v—v о о ak6k = 2 ^ < e • k = n + l j CO Бүдан ay-Ck қатары ны ң ж инақталаты иды гы ш ыгады. Я - то л ы қ кеңістік fc=i болганды қтан, OO / = a ke k . к— l Г и л ь б е р т к е ң іс т іг ін д е г і и з о м о р ф и з м 6 .5 .3 - т е о р е м а . С аналы м ды базисы бар кез келген Гильберт кеңістігі /2 - кеңістігіне тең түриатты (изоморфты) болады. Д ә л е л д е у і. {ejt} жүйесі Я - Гильберт кеңістігінің саналы мды ортонор- маланган базисы болсын. Онда Я кедістігінің кез келген / элементін жи- нақталаты н Ф урье катары түрінде ж азуга болады: ОС f ^ к=1 84 мундагы сек = ( / , е*), A: = 1 . 2 ..... Y , a'j. < oo болғанды қтан, J ( / ) ф ункция- fe=i сын бы лай аны қтайы қ: ./ : Я —> 1-2, ОС Л Л = = ( a i, or2, A-=l ягни кез келген Я элементі І 2 кеністігінің қандай д а бір элсмеитіие сәйкес ке- леді. Еііді J ( f ) ф ункц иясы ны ц Я кеңістігін І 2 кецістігіне бейнелейтін өзара бірмәнді сы зы қты бейнелеу екондігін көрсехейік. а) J ( f ) ф ункц иясы ны ц сы зы қты лы ғы: ос ос (V/, д Е H , f = ^ 2 а кек, а к Е һ , д = ^ /3*е*, A- € / 2 ) ( а , Р <Е В,) \ к= 1 к= 1 ос ос / 00 J ( a / + /% ) = J(a akek т /5 С & е *) = J ( У ^ ( ц а 'А- + Р ft к) е к А -1 А-1 \А-=1 = (a-Q'i + Д 5Ь а а 2 + Д 32,...) = а (а'ь « 2 , •■•) + £(/?і,/32» ...) = a - J ( / ) + б) ОС ОС / = QtAefc) (7 = С /3fcefc € Я А -1 А-=1 ж эне J ( / ) = J (y ) болса, J ( / ) = (агі, 0 ! 2 , . . . ) і ^ Ы = ( / 5 і , ^ 2 , => ( a i , a 2, . - ) = ( f t , /%, •••) => / = .9- в) a = ( d ] , a 2 j---) элементі /2 кецістігініц кез келгеп элементі болсын. П f n = cffce* тізбегін қарасты райы қ. Осы тізбектің ф ундам ен тальды екенін А-1 көрсетейік: п гг ll/a “ /mil = II С <5»е,-|| = la'^|2’ (П > Ш)- t = m + l /;=7тг4-1 00 Q 7 ;2 ж и н ақтал аты н болғанды қтан, А*=1 (Ve > 0 )(3 JV i)(V n ,m ,fc > JV) : | | / n - / m || < г, яғни { /„ } ф ундам ен тальды тізбек. Я толы қ болғанды қтан, lim f n = f эле- 7 1 -* ОС менті Я - Гильберт кецістігініц элементін аны қтайды , ягни 00 (Vo € k ) ( Э / = £ Я ) : J ( / ) = 6 . k=l 00 85 Сөйтіп. Я - Гильберт кеңістігін бейнелейтін < /(/) ф ункциясы 1.7.1 - анықта- маның барлы қ ш арттары н қанағаттанды рады . Сондықтаи. « /(/) ф ункциясы - өзара бірмәнді сы зы қты бейнелеу. Олай болса, 1.7.2 - аны қтам а бойынша Я және I* кеңістіктері - тец түриатты сызықты кецістіктер. 6 .5 .1 - с а л д а р . С аналаты н базисы бар Гильберт кеңістікторі - өзара тсң түрнатты кецістіктер. 6 .5 .2 - с а л д а р ( Р и с с - Ф и ш е р т е о р е м а с ы ) . Z 2 [0 ,1] нақты кецістігімен Іо кецістіктері өзара тең түрпатты кецістіктер болады. 6 .5 .1 - л е м м а . Кез келген сенарабельді Гильберт кеңістігінде ортонор- маланган ақы рлы немесе саналы мды базис табылады. Д ә л е л д е у і. I I - сепарабельді Гильберт кецістігі болсын. О нда осы кецістіктіц элементтерінен тураты н ақы рсы з Я кецістігіне б арлы қ жерде ты гы з орналасқан {ж„} ж иы ны табылады. 1 ) х к осы {;е„} ж и ы н б н ы ц ец бірінші нелге тец емес элементі болсын. Оны Хк — / і деп белгілейік. 2 ) {rcjfc+i, Xk+'h •••} тізбегін қарасты райы қ. х к осы тізбсктін / і элементіне сы зы қты тәуелсіз болатын ец бірінші элемснті болсын. Оны х к = fo деп белгілейік. 3) {хі+і,хі+ 2 , ...} тізбегін қар асты р ай ы қ./з деп осы тізбектіц / і мен / 2 элементтерініц сы зы қты тіркесі болмайтын ец бірінші элементін белгілейік. Осылай талдау арқы лы ақы рлы немесе саналымды {Д-} элементтер жүй- есін аламыз. {ж71} тізбегініц б арлы қ элементтері { / п} элемепттерініц сызы- қты қабыгы - І І п -ніц элементтері болгандықтан, Н п = Н (барлы қ ж ерде ты ғы з орпаласқан ішкі кецістік болады). {/*} жүйесін ортогональдау арқы- лы {е,:} ортоиормаланган жүйені аламыз. {Д.} мен {е^.} ж үйелерініц сызы- қты қабы қтары бір-біріне пара-пар болгандықтан, Н п — Н. О лай болса, {е/:} жүйссі Гильберт кецістігінде базисты анықтайды. 6 .5 .2 - л е м м а . Егер Н - Гильберт кецістігінде ақы рлы немесе саналымды ортоиормаланган {е/:} базисы табылатын болса, онда Н кецістігі - сепара- бельді кецістік. Д ә л е л д е у і. { e /J Я - Гильберт кецістігіпіц ақы рлы немесе саналымды базисы болсын. О нда П 1) Х п = { / : / = Сквк, Ск = Сск + і@к, ®к< 0к е Q } - саналымды ақырлы к= 1 өлшемді жиын. 2) Х п = Я . Д емек, Х п ж иы ны Я кецістігіпе б арлы қ жерде ты гы з ішкі саналымды ж иын. О лай болса, 2.4.8-анықтама бойынша Я - сепарабельді кецістік. Я - Гильберт кецістігініц элементтерінен тураты н, Я кецістігімен 86 беттеспейтін L \, L o , L m ішкі кеңістіктер тобын қарасты рай ы қ {Li ф 0. і = 1 , 2 , < , т ). 6 .5 .3 - а н ы қ т а м а . L \, ..., L m ішкі кеңістіктерін цос-цостап ортого- паль дегі атайды. егерде (V/i е Іі) (V/, 6 £ ; ) : ( / ; , Л) = 0, і ф і . 6 .5 .4 - а н ы қ т а м а . Н - Гильберт кеңістігінің L ішкі кеңістігі L \, L- 2 , ..., Ь т ішкі кеңістіктерініц ортогоналъды цосындысы L = L i 0 L 2 0 . . . 0 L , „ түріпдс жазылады дейді, егерде 1)L\, 1 / 2 , •••, Lm қос-қостан ортогональ болса, 2) L ішкі кеңістігінің кез келген / элементін т / = Х ) л > f >€ L < г = 1 түрінде ж іктеуге болаты н болса. 6 .5 .4 - т е о р е м а . L H -Гильберт кецістігінің элементтерінен түратын кө- пбейне болсын. L көпбейнесі Н - Гильберт кеңістігінде б ар л ы қ жерде тыгыз орналасуы үшін о і і ы ң ортогональ толы қтауы ш ж иы ны L 1 тек Ө - нөлдік элементтен түруы қаж етті ж әне ж еткілікті. §7 С ы з ы қ т ы ш е н е л г е н о п е р а т о р л а р к е ң іс т іг і X жиынын Ү ж и ы ны на бейиелейтін сы зы қты ш енелген операторлар жиынын қарастьтрайық. Осы ж и ы н д а ж огары дагы аны қтам аларды паііда- лаиып, 0 пера'і' 0 рларды қосу ж әне санға көбейту ам алы н оі)ындауга болады. 7 .1 .1 - а н ы қ т а м а . X ж иы ны н Ү ж и ы ны на бейнелейтін сы зы қты ше- иелген операторлар ж иы ны н сы зы цт и шенелген операторлар кецісгпігг деп атайды , ж эне оны L { X , У ) деп белгілейік. 7 .1 .2 - а н ы қ т а м а . А Е L ( X , У )-ж атсы н. Ух G X : \\Ах\\ < С\\х\\ теңдігін қан агаттанды раты н ец кіші С санын А операторыньщ нормасы деп атайды , ж эне оны ЦАЦ деп белгілейді. Сонымен 7.1.2 - ан ы қтам а бойынш а ||/1|| нормасы келесі ш арттарды l)V x € X : \\Ах\\ < С\\х\\- 87 2 ) (Ye > 0)(3ж£ € D ( A ) = Л") : ||A pt-|| > (||Л || — е)||а;е|| қанағаттанды рады . 7 .1 .1 - л е м м а . С ы зы қты шенелген А \ X —> Ү операторының нормасы \\А\\ = sup ||А г|| - sup (49) ІИІ<і № 0 ||*|| Д э л е л д е у і. Егер ||.т|| < 1 болса, онда \\Ах\\ < И І І И І < | И ! | . Сондықтан, sup \\Ах\\ < ||Л ||. (50) 1 !*! 1 <і Екініні ж агы нан, (Vs > 0 ) ( 3 x s S D ( A ) = X ) : \\Axe\\ > ( |И || - e ) | k | | . 6,£ = jT^jj элементін қарасты райы қ. О нда » * ■ “ - !ІЛ Й І! = > Ш \ т - £ ) I WI = 11411 - * • ||££|| = 1 болгандықтан, sup \ \А х II > \\А Ц \ > ІИІІ - е. N lСондықтан, sup \\Ах\\ > А . (51) IWI (49)-(50) тецсіздіктен (49)-тендіктің оры идалаты ны ш ыгады. 7 .1 .1 - м ы с а л . С[ 0 , 1 ] кецістігін С [ 0 , 1 ] кеңістігіне бейнелейтін і (А т)(£) = / K ( t , s ) x ( s ) d s о операторының нормасын табыңыздар. Ш е ш у і. 1 ) И *ІІ < \K ( ^ s )\d s \\x \ 88 Сопдықтан, ^ ~ tern] [ о 2 ) y ( t ) = J \ K ( t , s)\d s ф ункц иясы [0,1] кесіпдісіндс үзіліссіз ф ункция о болгандықтан, Вейорш трасс теорсмасы бойынш а өзініц сн үлкен монін [0,1] кесіндісінде қандай д а бір to нүктесіндс қабылдайды. x 0(s) = s i g n K ( t o , s ) ф ункциясын қарасты райы қ. Е п С [0,1], үзынды гы самынан кітні ж иы нында xo(s)-ko тец болмайты н. [ 0 . 1 | ксеіндісініц қалган нүктелсріиде £’o(s)- кс тец жоне нормасы бірдеіт кіші болатын, мүшелері үзіліссіз { х ^ тізбегін қарастырайық. М үндағы С = m ax \K ( t, s )|. E TI ж и ы ны нд а ж атқан нүк- («,л)е[од] те л ер үшін |x n {s) - x 0( s )i < |®„(5)1 + |®o(s)| = 2 болгандықтан, l l l I J К (t, s)x o (s)d s — J K ( t , s ) x n(s)ds\ < J K ( t , s ) \ x Q ( s ) x n{s)\ds < o o o < [ \ K { t , s ) \ \ x 0(s)xn{s)\ds < 2 m ax \I<(t, s ) \ - ^ ~ = ^ J (t,s)e[0,i] Z L n n E n тецсіздігі [ 0 , 1 ] кесіндісінде ж атқап б арлы қ нүктелер үшін орындалады. Сондықтан, і і ( V i e [ 0 , 1 ] ) : J K { t , s ) x 0(s)d s < J I<(t, s ) x n (s)ds 4- i < ||A||||® „|| + i , 0 о осы тецсіздіктен t = to болганда l \ K ( t , s ) \ d s < І И Ш М + ^ . ||x„|| < 1 болганды қтан, n —> oo кезде 1 l J \ K ( t , s ) \ d s < ||A || =Ф> m ax J \ K ( t , s ) \ d s < ||A ||. 1 1 89 Д ем ек, ІИІІ = m ax f \K ( t, s)\ds. о 7 .1 .2 - м ы с а л . R m кеңістігін R m ксңістігіие бейнелейтін 111 A x = y = {h i}, hi = С a>Aj>X = ( 6 . 6 , fm) сы зы қты шенелген операторды ц нормасын табыңыз. Ш е ш у і. 1 ) 1 (Vrc е Я т ) : ||А т | < Емюі - sup Х!м sup !о 7 ~ t , K t < m , K j < m ) = 1 ! J = 1 — J = 1 = , s u p _ 5 Z l a,j!llx l Сондықтан, l 2) (52)-теңдіктіц керісінше де орындалатындыгын көрсетейік. zq деп ТП £ М — С теңдігін қаиагаттанды раты н хо = ( s ig n a ^ i, s i g n a ^ , < j = l ,signa.jom) векторын қарасты райы қ. Әлбетте, ||жо|| = 1- Д емек, \\А\\ > \\А х0\\ = sup К і < п С a i j s i 9 n a k J = 1 > X ) !flw l = a І = 1 Осы l)-2) пунктінен і иі і = sup E k , i l X С В \ ж иы ны н Ү С В \ ж иы ны на бейнелейтіп сы зы қты А операторын қарасты райы қ. 7 .2 .1 - а н ы қ т а м а . Егер D ( A ) = X = В ls онда А операторы В \ кецістпі- гіпіц барлык; нүктпелеріндс аныцтпалган оператор деп аталады . 90 7 .2 .2 - а н ы қ т а м а . Егер D ( A ) = B i болса, онда А операторы B \ кецісті- гінде барлъщ жерде тпыгыз орпаласцаи жиыпда аныцталгап оператор деп аталады . D ( A ) = B \ болсын. 7 .2 .3 - а н ы қ т а м а . А операторын x Q Е В \ it нүктесіпде үзіліссіз оператор деп атайды, егерде lim А х = А х о (Уе > 0)(3<5 > 0)(Уж G В 1; ж 0 G O j(.t0) : 0 < \\х - жо|| < (5) : х —>то || Аж - Аж()|| < е <£> (Уж 0 G О*(ж0)) : А х G О£(ж0). 7 .2 .1 - т е о р е м а . Егер D ( A ) = В \ кецістігін Ү ж и ы н ы н а бейнелейтін сы зы қты А операторы О G В \ нүктесінде үзіліссіз болса, онда, А операторы В \ кецістігінің кез келген жо нүктесінде үзіліссіз болады. Д ә л е л д е у і. А : В \ —> Ү - сы зы қты оператор болганды қтан, Аж — Ажо = А(ж —жо). ж —жо = г деп белгілейік. О нда А операторы 0 нүктесінде үзіліссіз болгандықтан, lim A z — 0 => lim А (ж—жо) = lim (Аж—Ажо) = О =>• lim Аж—Ажо = 0 =$> lim Аж г —>0 х -¥ х о х - 7 3 ’0 х —>хо х —>хп 7 .2 .4 - а н ы қ т а м а . С ы зы қты А операторын ү з ы іс с із оператор деп атай ды, стер де ол 0 нуктесінде үзіліссіз болса. 7 .2 .2 - т е о р е м а ( Ү з іл іс с із о п е р а т о р м е н ш е н е л г е н о п е р а т о р д ы ң а р а с ы н д а г ы б а й л а н ы с т ы б е р е т ін т е о р е м а ) . D ( A ) = В 1 кеңістігін Ү ж иы ны на бейнелейтіп А операторы үзіліссіз болуы үніін оның шенелген бо луы қаж етті ж эне ж еткілікті. Д ә л е л д е у і. Қ а ж е т т і шарт. А операторы шенелген оператор болсын. Онда (Уж G В \) : || Аж|| < С ||ж || =$> lim Аж = 0. х - * 0 Д емек, сы зы қты А операторы 0 G В \ нүктесінде үзіліссіз. О нда 7.2.4 - аны- қтам а бойынш а А В \ кеңістігінде үзіліссіз болуы керек. Ж е т к ы і к т і шарт. А -үзіліссіз оператор. Кері ж ори м ы қ, ягни А шенел меген оператор болсын. О нда ||Ажп|| > п||ж п|| теңсіздігіп қан ағаттан ды раты н В \ кеңістігінің элементтерінен түраты н {ж,,} тізбегі табы лады . элементін қарасты райы қ: lim in = Hm ■ ■■?—■ ■ ■ = 0 , п-юс n - > 00 п||ж„|| өйткені 0 |j = ----- > 0 , п -У оо. 1 п Екінші ж ағы нан Сондықтан lim А£„ -*■ А0 = 0. Д ем ек, А сы зықты операторы 0 нуктесінде үзіліссіз емес. Б ул теореманыц ш арты на қайшы. О лай болса, А операторы шенелген. L ( X , Y ) -кецістігінде ж атқан {Ан} - сы зы қты шенелген операторлар тіз- бегіп қарасты райы қ. 8 .1 .1 - а н ы қ т а м а . {А„} С L ( X , Y ) тізбегін A £ L ( X , Y ) операторына бірңалыпты жипацталады дейді, егерде ягпи L ( X , Ү ) кецістігінің нормасы бойынша ж и нақталса. Оны қысқаш а lim А п = А немесе A„ = 3 А деп ж азады . 8 .1 .2 - а н ы қ т а м а . {A„} С Ь ( Х , У ) тізбегіп А операторы на цатсш, жи- нацталады дейді. егер Оны қы сқаш а А п - г А деп ж азады . 8 .1 .1 - л е м м а . {А,г} С L ( X , Y ) тізбегі /1 € L ( X , Y ) операторы на бірқа- лы пты ж п нақталуы ушін ||х || < 1 ш арыпың б арлы қ элементтері үшін {А;(} тізбегі А операторы на қатаң ж инақталуы қаж етті жәие ж еткілікті. Д ә л е л д е у і. Қ aoicemmi шарт. {А п} тізбегі А операторына бірқалы нты ж инақталсын, ягнн А п = 1 А. О нда Ж е т к іл ік т і шарт. {АГ1} тізбегі S'i(O) ш арыныц б арлы қ нүктелері үшін А операторына қатаң ж и нақталаты п болсын, ягни § 8 . С ы з ы қ т ы о п е р а т о р л а р к е ң іс т іг і lim IIА п - А\\ = 0, lim ||A rtx - Ax|j = 0. lim ||A „x — A x|| < lim ||A„ — A|| = 0 =?• lim ||A rix - A x|| = 0 A n A. n-J-oo n—Юс n—> oo (Ve > 0)(3A ^)(V n e N : n > A ^ V x e 5 i(0 )) : ||A „x - A x|| < 92 Б ұдан Vn > Лгі ушіи Демек, sup IIА „ х - А х II = sup II( А п - Л)ж|| < £ =* IIА п - А\\ < s. І!*ІІ < 1 І 1 а ||< 1 lim А п = А. П-> 2 С 8 . 1 . 2 - л е м м а . Егер {-4П} тізбегі А операторы на бірқалы иты ж ииақталса, онда ол осы .4 операторы на қатаң ж и нақталады . Д о л е л д е у і. 1 ) А п =t A (Vs > 0)(3A r1)(Vn e N : n > JVj) : ||Д г - A\\ < e; 2)(Үж 6 B \) : ||-4пх — А т И < ЦД, — АЦЦяЦ болганды қтан, lim \\Anx - A t || < О lim A nx = A x . П -+ Э О П -У О С Олай болса. A n —>• A. 8 .1 .1 - е с к е р т у . тізбегініц А операторына қатаң ж ннақталаты нды - гыпан онық оған бірқалы пты ж н н ақталаты н ды ғы ш ы қпайды . СХ) Мысалы, І 2 = {.т = (Сі)і^і : J2 | 6 | 2 < оо} кеңістігіпде аны қталган і= 1 Р п Х = у (&)”= 1 > * = 1 >П 0 . г > п. {Р пх} операторлар тізбегі / - бірлік операторы на қатаң ж ннақталады . Ш ы нында да, IIРях - х 112 = £ ІЙІ2, і= п + 1 оо lim ||Р„а? - я | | 2 = lim У ] | 6 | 2 = 0. 71 —У ПО И —Ю О Л—ЮС г=п + 1 о о ОС Өйткені £ | £ , | 2 қатары - ж и н ақталаты н £ | £ ; | 2 қатары ны ң қалды қ қата- t = 7 i - r l І = 1 ры. Б ір ақ ол I операторы на бірқалы пты ж и нқталм айд ы . Оны көрсету үшін Рпх = 0 теңдігін қан агаттанды раты н. нормасы ||ж|| = 1 болатын 1% кецісті- гініц х элементін қарасты райы қ: ||Р „х - / і | | = ||(Р „ - / ) і | | = Цх-ІІ = 1. 93 Сондықтан. IIРп - I II = sup ||P n - / | | > 1. ІМІ < 1 Олай болса, { Р пх } тізбегінің I операторына бірқалыпты ж и нақталуы мүм- кін емес. 8 . 1 . 1 - т е о р е м а . {/1Ц} тізбегі ,4 операторына қатаң ж и нақталуы үшін 1 ) {||-4„||} шенелген болуы; 2 ) { A J операторлар тізбегініц А операторына қандайда бір X = В еызы- қ ты қ көпбейнесінде қатаң ж ннақталуы қаж етті жоне ж еткілікті. 8 .1 .3 - л е м м а . Егер X - нормаланган ксңістік. ал Ү - Б ан ах кецістігі болса, онда L ( X , Ү ) кедістігі Банах ксңістігі болады. Д ә л е л д е у і. L ( X , Y ) кеңістігініц элементтеріпен түраты н { А п} тізбегі ф ундам ентальды тізбек болсын, ягнн (Vs > 0)(3A r1)(Vn e N : n > N ^ p G N ) : || A n+P - A n \\ < s. .г* G X болсын. {А 7 !ж} тізбегін қарастырайық. Б үл тізбек те - ф ундам ен тальды тізбек, өйткені (Vs > 0)(Э N i){V n е N : п > A'i )(Vp G N ) : Ц -^ п + р ® А п . т || = ||( A f i 4 . j i А п )а?!| < j |.A ri-|.j, А п | | | | ж | | < S i . Ү - толы қ нормаланган кецістік болгандықтан, {Л„.т} - ж н н ақталаты н тіз- бек. Онын шегін у = lim А пх деп белгілейік. у = lim А пх ф ормуласы X 71—+ O Q 7 1 -+ Э О ж иы ны ны ц кез келген элемеитіне Ү жиыны ныц белгілі бір у элементін сәй- кес қояды. Осы сәйкестікті А деп белгілейік, ягни А х = у. Енді осылай аны қталган А операторыныц сызықты шенелген екенін корсе- тейік. 1 ) С ы зы қты лы гы : (V.Ti,x 2 G A")(Vai,Q '2 G R { C )) : A(aiXi-\-ot 2 X 2 ) = lira A n(a \X \+ a o X 2 ) = a i lim /і„ .т і+ а ;2 lim A nx 2 = a i A x i + 0£2 7 7 - Ю С 71—> 0 0 7 1 - Ю С 2) Ш енелгендігі: (Ve > 0)(3JV,)(Vn € N : n > JVj)(Vp e N) : ||И „ +;)|| - ||Д ,||| < ||A ,+)- A , || < e болгандықтан, { ||/l„ j|} - ф ундаментальды тізбек. Олай болса, ол шенелген, ягни (ЭМ > 0) (Vn G N ) : ||А г|| < М . 94 Сондықтан, (Vx € X ) : ПА^И < А/||агЦ. Осы тецсіздіктің екі ж агы наи п —> ос болганда шекке көшсек, lim И Л,»® И < М\\х\\ =¥■ ||Аж|| < М\\х\\. п— >со Сондықтан, А - ш енелген. О нда A G L ( X , Y ) . Д ем ек, L ( X , У) - Банах кеңістігі. жүктеу/скачать 2,98 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|