Леонард Эйлер атындағы VIII олимпиаданың дистанционды кезеңінің бірінші туры Осы



Pdf көрінісі
Дата09.03.2017
өлшемі63,94 Kb.
#8638

Леонард

 Эйлер атындағы VIII олимпиаданың  

дистанционды

 кезеңінің  бірінші туры 

Осы

 турдың есептері Удмуртияның Анисимов олимпиадасында беріледі. Бұл 

олимпиадада

 Удмуртияның оқушылары қатыса алмайды.  

1. Қабырғалары  11,  9,  7  жəне  5  болатын  квадраттар 

суреттегідей  орналасқан.  Сонда  сұр  түсті  аудандардың 

қосындысы  қара  түсті  аудандардың  қосындысынан  екі  есе 

үлкен  болып  шыққан.  Ақ  түсті  аудандардың  қосындысын 

табыңыздар.  

Жауабы. 42. Шешуі. Ақ аудандардың қосындысы x ал қара аудандардың қосындысы y 

болсын. Онда ақ жіне қара аудандардың қосындысы 

2

2



9

5

106



x

y

+ =


= +

 

болады, ал ақ 



жəне  сұр  аудандардың  қосындысы 

2

2



11

7

170



2

x

y

+

=



= +

 

болады.  Сонда  екінші 



теңдеуден 

64

y

=

 

екенін табамыз. Демек, 



106

42

x



y

=

− =



.    

2. Су  асты  патшалығында  тұратын  сегізаяқтардың  тек  6,  7  немесе  8  аяғы  ғана бар.  7 

аяғы  бар  сегізаяқтар  əрқашан  да  өтірік  айтады,  қалғандары  əрқашан  шындықты 

айтады.  Төрт  сегізаяқтарды  кездестірген  кезде  оның  Көгі  айтты:  «біздің 

барлығымыздың  аяқтар  саны  25-ке  тең»,  Жасылы  қарсы  шығып:  «жоқ,  барлығы  26 

аяқ» деді, ал Қызылы «барлығы 27», ал Сарысы «28 аяқ» деді. Əр сегізаяқта шынында 

қанша аяқтан бар? 

Жауабы. Қызылда 6 аяқ, қалғандарында 7 аяқтан. Шешуі. Егер барлығы өтірік айтса, 

онда  барлығы  өтірікші  деген  сөз.  Демек  оларда  барлығы  28  аяқ  болу  қажет.  Яғни 

Жасыл  дұрыс  айтты.  Қарама-қайшылық.  Яғни  осы  төртеуінің  арасында  шындықты 

айқан сегізаяқ бар жəне де сондай сегізаяқ (шындықты айтқан)  жалғыз ғана, өйткені 

кез келген екі айтылымдар бір-біріне қара-қайшы. Сондықтан үш сегізаяқта 7 аяқтан 

бар, ал біреуінде 6 немесе 8 аяқ бар. Бірақ шын айтқан сегізаяқта 8 аяқ болуы мүмкін 

емес, өйткені ешқайсысы 29 аяқ бар деп айтпады. Демек, шын айтқан сегізаяқта 6 аяқ 

бар, жəне ол 27-ні айтқан Қызыл сегізаяқ.   



3. ABC  үшбұрышында  M  нүктесі 

  AC  қабырғасының  ортасы,  жəне  BC = 2AC/3, 





BMC= 2



ABM екені белгілі. AM/AB қатынасын табыңыздар.  

Жауабы. 

3

2 5



AM

AB

=



Шешуі. 

ABM

α



=

 

болсын. 



Онда 

2

BMC

α



=



180


2

BMA

α



=

° −


180


BAM

ABM

AMB

ABM

α



=

° − ∠


− ∠

= = ∠


осыдан 


BM

AM

MC

=

=



 

екені  шығады.  Сонда 



BM

 

медиана 



AC

 

қабырғасының  жартысына 



тең болғаны. Демек, 

90

ABC

= °


Егер 


4

BM

m

=

 



деп алсақ, онда 

6

AC



m

=



3

AM

m

=



2

2

36



16

2

5



AB

m

m

m

=



=

 

екені  шығады. 



AM

-

ді 



AB

-

ға  бөле  отырып,  бізге  керек 



жауапты аламыз.  

4. Қабырғасы  2015  болатын  тор  квадраттан  тор  бойымен  қабырғасы  10  болатын 

бірнеше квадрат қиып алды. Үлкен квадраттың қалған бөлігінен: 

а) қабырғасы 1 жəне 10 болатын бір тіктөртбұрыш қиып алуға болатынын; 


б)  қабырғасы  1  жəне  10  болатын  бес  тіктөртбұрыш  қиып  алуға  болатынын 

дəлелдеңіздер.  

Шешуі.  Есептің  бірден  екінші  б)  бөлігін  дəлелдейік. 

2015 2015

×

  квадраттың 



көлденең  жатқан  ең  төмендегі  жəне  ең  сол  жақтағы   

1 10


×

  тіктөртбұрышын 

қарастырайық.  Егер  сол  тіктөртбұрыштың  ең  шеткі  оң  шаршысы  қиылмаған  болса, 

онда  сол  тіктөртбұрыштың  қалған  9  шаршысы  да  қиылмаған  болады.  Енді,  сол 

жақтан  санағандағы  10-шы  бағанды  қарастырайық. 

2015


  санын  10-ға  бөлгенде  5 

қалдық  қалғандықтан,  сол  бағанда  кемінде  5  шаршы  қиылмаған  болады.  Демек,  сол 

шаршылардан солға қарай  

1 10


×

 тіктөртбұрыштарын қиып алуға болады, ал олардың 

саны 5-тен кем емес.  

5. Екі  натурал  a  жəне  b  сандарының  қосындысы  да,  көбейтіндісі  де  натурал 

сандардың  квадраттары  екені  белгілі.    |16a–9b|  саны 

  жай  сан  емес  екенін 



дəлелдеңіз.  

Шешуі.  Егер  16a

9b = 0  болса,  онда  есеп  шарты  айқын.  Ары  қарай  16a



9b 

 0  деп 


санайық.  

d = ЕҮОБ(ab)  болсын.  Ондай  болса  қандай  бір  өзара  жай  m  жəне  n  сандары 

үшін  a = dm,  b = dn  болады.  Онда  ab = d

2

mn = c

2

.  Ал  m  жəне  n  сандарының  ортақ 



бөлгіштері  болмағандықан,  ол  сандардың  əрқайсысын  жай  сандардың  көбейтіндісі 

ретінде  келтіргенде,  əр  жай  сан  жұп  дəрежеде  болады.  Демек,  m  жəне  n    натурал 

сандардың квадраттары: m = u

2

n = v



2

Енді  d > 1 болсын.  Онда  |16a



9b| = d|((4u)

2



(3v



2

))| = d(4u+3v)|(4u

3v)|.  Ол  құрама 



сан, өйткені d > 1 жəне 4u+3v > 1. 

Ал d = 1 болса, онда |16a

9b| = (4u+3v)|(4u



3v)|. Егер |4u

3v



 1, онда есеп щарты 

дəлелденді.  Кері  жағдайда  4u

3v = 



±

1  болу  керек,  яғни  4u = 3v

±

1.  Есеп  шарты 



бойынша  16(a+b) = 16f

2

 = 16u



2

+16v

2

 = (3v



±

1)

2



+16v

2

 = 25v



2

±

6v+1.  Бірақ  толық  квадрат 



болып келген 25v

2

 = (5v)



2

  санының оған көрші (5v

±

1)

2



 квадраттар арасындағы ең кіші 

қашықтық  (5v)

2



(5v



1)

2



 = 10v

1  санына  тең,  ал  ол  6v+1  санынан  үлкен.  Сондықтан 



(4f)

2

 = 16f



2

    саны  толық  квадрат  бола  алмайды  –  қарама-қайшылық.  Сонымен, 

4u

3v = 



±

1 жағдайы мүмкін емес.  



 

 


Достарыңызбен бөлісу:




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет