Математика 3 Барлық мамандықтардың барлық оқу түрінің студенттеріне арналған дәрістер жинағы Алматы 2008


Мазмұны: Функцияларды тригонометриялық Фурье қатарына жіктеу. Дәрістің мақсаты



бет42/75
Дата31.12.2021
өлшемі0.83 Mb.
#21074
1   ...   38   39   40   41   42   43   44   45   ...   75
Мазмұны: Функцияларды тригонометриялық Фурье қатарына жіктеу.

Дәрістің мақсаты: Серпіліс анализінде қолданылатын Фурье қатары ұғымын беру, функцияларды Фурье қатарына жіктеу мысалдарын келтіру.

                               (10.1)

түріндегі функциялық қатар  функциясының Фурье қатары деп аталады, мұндағы ,   коэффициенттері

                (10.2)

формулалары бойынша анықталады. Ескерте кететін жайт: әр уақытта да . (10.1) қатарының мүшелерін амплитудасы , жиілігі  және фазасы  болатын,

гармоникалар түрінде жазуға болады.



-ны , , , ,  (ақырлы сан) интервалдарға бөлгенде, олардың әрқайсысында  монотонды болса,  функциясы  кесіндісінде үзінді-монотонды деп аталады.

10.1 теорема Егер  периодты (периоды ), үзінді-монотонды және  кесіндісінде шенелген болса, онда оны Фурье қатары кез келген  нүктесінде жинақты, ал қосындысы  болады.

Теоремадан  функциясының үзіліссіз болу нүктелерінде  теңдігі орындалатыны түсінікті. -тің бірінші текті үзіліс нүктелерінде Фурье қатарының қосындысы функцияның оң жақты және сол жақты шектерінің арифметикалық орташасына тең болады.

Егер  -периодты функция болса, оның Фурье қатары



                           (10.3)

түрінде жазылады, мұндағы



 . (10.4)

10.2 теорема Егер периоды  болатын периодты  функциясы  кесіндісінде үзінді-монотонды және шенелген болса, онда оның (10.3) түріндегі Фурье қатары кез келген  үшін

қосындысына жинақталады.



Егер периодты  функциясы жұп болса, онда ол Фурье қатарына тек косинустар бойынша жіктеледі, яғни , ал

.

Егер де периодты  – тақ функция болса, онда ол Фурье қатарына тек синустар бойынша жіктеледі, яғни , ал

.

Әрбір -периодты  функциясы және кез келген  саны үшін

теңдігі орындалған соң, Фурье коэффициенттерін



,   ,

мұндағы , формулалары бойынша есептеуге болады.



 функциясы  кесіндісінде үзінді-монотонды және шенелген болсын. Бұл функцияны Фурье қатарына жіктеу үшін оны  ин-тервалына, осы интервалда үзінді-монотонды және шенелген болатындай етіп, жалғастырамыз. Табылған функцияны -да берілген функцияға жинақтала-тын Фурье қатарына жіктейміз. Егер берілген функцияны  интервалына жұп түрінде жалғастырсақ, онда оның тек косинустар бойынша жіктелуін аламыз, ал егер тақ түрінде жалғастырсақ, онда -тың тек синустар бойынша жіктелуін аламыз.

Мысалы,  аралығында анықталған және -де





теңдіктеріне сәйкес жалғастырылған  функциясы тек синустар бойынша жіктеледі. Мұндай функцияның Фурье қатарының  қосындысы  ішінде -ке тең және 10.2 теоремасы бойынша ,  болады.

Фурье қатары -тің үзіліссіз болу нүктелерінде функцияның сәйкес мәндеріне жинақталған соң, Фурье қатарларын сандық қатарлардың қосындысын табу үшін пайдаланады. Мысалы, егер  функциясының -гі косинустар бойынша жіктелуің алсақ, төмендегі теңдікті аламыз

.

11 дәріс Комплекс айнымалылы функция ұғымы





Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   38   39   40   41   42   43   44   45   ...   75




©emirsaba.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет