Математика ғылымының ең ежелгі салаларының бірі геометрия. Геометрия, математика тарихында үлкен орын алады және геометриялық фигуралар үшбұрыш, төртбұрыш, шеңбер, призма, пирамида, және т б. туралы ғылым
Үшбұрыштар теңгінің үшінші белгісі
жүктеу/скачать 2,51 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Оқулық бойынша өз беттеріңше қалай дайындалуға болады.
| Үшбұрыштар теңгінің үшінші белгісі
Теорема 7. (үшбұрыштардың үш қабырғасы бойынша теңдік белгісі). Егер бір үшбұрыштың үш қабыргасы сәйкесінше екінші үшбұрыштың үш қабыргасына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады. Дәлелдеу. Айталың, ABC және А1В1С1 үшбұрыштарында АВ = А1В1, АС = А1С1, BC = B1C1 болсын (16-сурет). Үшбұрыштар тең екенін дәлелдеу керек. Үшбұрыштар тең емес деп жориық. Сонда AA1 , ВВ1 , СС1, болсын. Әйтпесе, олар бірінші белгі бойынша тең болар еді. Айталық, А1В1С1 - ABC үшбұрышына тең үшбұрыш болсын: оның C2 төбесі С1 төбесімен А1В1 түзуіне қатысты бір жарты жазықтықта жатсын (16-суретті қараңдар) . D нүктесі - С1С2 кесіндісінің ортасы болсын. Сонда А1С1С2 және В1С1С2- үшбұрыштары тең бүйірлі, ал С1С2 бұларға ортақ табан болады. Сондықтан бұлардың A1D және B1D медианалары биіктіктер де болып табылады. Демек, A1D және B1D түзулері С1С2 түзуіне перпендикуляр болады. A1D және B1D түзулері беттеспейді, өйткені А1, В1, D нүктелері бір түзуде жатпайды. Ал С1С2 түзуінің D нүктесі арқылы оған тек қана бір перпендикуляр түзу жүргізуге болады. Біз қайшылыққа келдік. Теорема дәлелденді. Есеп 3. ABC және А1В1С1 үшбұрыштарында АВ = А1В1, AC = A1С1 С=C1 = 90°. АВС = А1В1С1 екенін дәлелдеу керек. Шешуі. ABC және А1В1С1 - берілген үшбұрыштар болсын (17-сурет). СВА үшбұрышына тең CBD үшбұрышын, С1A1B1 үшбұрышына тең C1D1B1 үшбүрышын салайық. АВD жәнеА1В1D1 үшбұрыштары үшінші белгі бойынша тең. Есептің шарты бойыншаАВ=А1В1, AD =A1D1, өйткені АС=А1С1; BD=B1D1, өйткені BD=AB, B1D1 = А1В1. ABD жәнеА1В1D1 үшбұрыштарының теңдігінен A=A1 екендігі шығады. Шарт бойынша АВ=А1В1, AC = А1С1 ал дәлелдегеніміз бойынша A= A1. Олай болса, бірінші белгі бойынша АВС=А1В1С1. Оқулық бойынша өз беттеріңше қалай дайындалуға болады. Айталық, қандай да бір себеппен, мысалы, ауырып қалып, сабақта болмадыңдар дейік. Енді бұл сабақ материалын оқулық бойынша өздерің оқып-үйренуге тура келеді. Оқулықтың тексін асықпай, сөйлемдерге бөліп оқи отырып, алдыңғы сөйлемнің мағынасын түсінбейінше келесі сөйлемге көшпеу керек. Нақтылы мысал - үшбұрыштар теңдігінің үшінші белгісін дәлелдеуді қарастырайық. Сөйтіп, оқулықтың тексін оқимыз: «Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы сәйкесінше екінші үшбұрыштың үш қабырғасына тең болса...» Бұл сөйлемнің мағынасын түсіну үшін, оның қабырғалары және қабырғалардың теңдігі дегеннің не екенін білу керек. Бұлардың бәрін сендер білесіңдер, сондықтан оқылған сөйлемнің мағынасы сізге айқын. Әрі қарай оқимыз: «онда мұндай үшбұрыштар тең болады». Бұл сөйлемнің мағынасын түсіну үшін қандай үшбұрыштар тең деп аталатынын білу керек. Сендер мұны да білесіңдер. Сонымен, теореманың мағынасы айқындалады. Дәлелдеуін оқимыз. Дәлелдеу. «Айталың, ABC және А1В1С1 үшбұрыштарында АВ = А1В1, АС = А1С1, ВС = В1С1 болсын (16-сурет). Үшбұрыштардың тең екенін дәлелдеу керек». Бұл жерде бәрі айқын. Теореманың шартын қанағаттандыратын және теңдігі дәлелденетін үшбұрыштарды белгілейміз. «Үшбұрыштар тең емес деп жориық». Теореманың қорытындысына қарама-қарсы ұйғарым жасалғанын көріп отырсыңдар. Демек, әрі қарай пайымдау барысында біз қайшылыққа келуге тиістіміз (қарсы жору арқылы дәлелдеу). «СондаAA1 , ВВ1 , СС1, болады. Әйтпесе, үшбұрыштар бірінші белгі бойынша тең болар еді». Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісін еске түсіріңдер. Егер A=A1 , В=В1 , С=С1теңдіктерінің ең кемінде біреуі орындалса, ABC және А1В1С1 үшбұрыштары тең болатынына көз жеткізіңдер, ал бұлардың теңдігі жасалған ұйғарымға қайшы келеді. «Айталық, А1В1С2 - ABC үшбұрышына тең үшбұрыш болсын; оның C2 төбесі С1 төбесімен А1В1 түзуіне қатысты бір жарты жазықтықта жатсын (16-сурет).» Бұл жерде де бәрі айқын. Бірінші белгінің де, екінші белгінің де дәлелдеуі осы сөздермен басталған еді. «D нүктесі - С1С2 кесіндісінің ортасы болсын». Кесіндінің ортасы деген не екенін сендер білесіңдер. «А1С1С2 және В1С1С2 үшбүрыштары тең бүйірлі, ал С1С2 оларға ортақ табан болады». Бұл пікірдің мағынасын түсіну үшін қандай үшбұрыш тең бүйірлі деп аталатынын және оның қандай қабырғасы табаны деп аталатынын білу керек. «Сондықтан: бұлардың A1D және B1D медианалары биіктіктері де болып табылады». Бұл сөйлемнің мағынасы сендерге түсінікті. Медиана, биіктік дегендерді білесіңдер, тең бүйірлі үшбұрыштың медианасының қасиетін де білесіңдер. «Демек, A1D және B1D түзулері С1С2 түзуіне перпендикуляр болады». Түсінікті. «A1D және B1D түзулері беттеспейді, өйткені А1, В1, D нүктелері бір түзуде жатпайды». Егер де D нүктесі А1В1 түзуінде жатса, онда С1 және С2 нүктелері А1В1 түзуіне қатысты әр түрлі жарты жазықтықтарда жататыны айқын. «Ал, C1C2 түзуінің D нүктесі арқылы оған тек қана бір перпендикуляр түзу жүргізуге болады». Түсінікті, сендер мұндай теореманы білесіңдер. «Біз қайшылыққа келдік». «Теорема дәлелденді». жүктеу/скачать 2,51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|