Математикалық өрнектер
жүктеу/скачать 24,94 Kb.
|
Stud.kz – қазақ тілінде жазылған жұмыстар саны және сапасы бойынша біздің қор №1 болып табыладыМатематикалық өрнектер МАЗМҰНЫ Кіріспе.................3 1 Математикалық өрнектер. Математикалық өрнектерді теңбе-тең түрлендіру. 1.1 Әріпті өрнектер және оларды теңбе-тең түрлендіру...............6 1.2 Рационал өрнектерді теңбе-тең түрлендіру……...................10 1.3 Иррационал өрнектерді теңбе-тең түрлендіру......................21 1.4 Трансцендент өрнектер....................26 2 Теңбе-тең түрлендіруді оқытудың 2.1 Теңбе-тең түрлендіруді мақсатты орындау туралы..............49 2.2 Теңбе-тең түрлендіруді оқыту кезінде саналылық принципін жүзеге асыру..................52 Мектеп математика курсында теңбе-теңдік ұғымын енгізу туралы.................57 Қорытынды...........................61 Пайдаланылған әдебиеттер тізімі...........62 Аннотация Мектеп математика курсында өрнектер және оларды теңбе-тең түрлендіру тақырыбы Дипломдық жұмыс кіріспеден,екі бөлімнен қортындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен Кіріспе Жұмыстың өзектілігі. Математикалық өрнектерді теңбе-тең түрлендірулер мектеп матиматика Алдымен,оқушыларға «математикалық өрнектің» өзі не екенін түсіндіруіміз,анықтамасымен таныстыруымыз қажет.Содан Математикалық өрнек–сандар және айнымалылардан (әріптерден) құралған,амалдар белгілерімен немесе функциялармен Өрнекті түрлендіру деп – жиынды өзіне бейнелеу,белгілі бір мақсат Теңбе-тең түрлендіру– бір аналтикалық өрнекті оған теңбе-тең,бірақ сырт түрі Теңбе-теңдік математикалық екі өрнектің өзіне қамтылған әріптердің мүмкін мәндерінде Алгебра оқулықтарында теңбе-теңдік ұғымының әртүрлі анықтамалары қолданылады: Айнымалының кез келген мәндерінде дұрыс болатын теңдікті теңбе-теңдік деп Айнымалының барлық мәндерінде дұрыс болатын теңдікті теңбе-теңдік деп атайды; Айнымалының берілген жиынға тиісті кез келген мәнінде дұрыс болатын Теңбе-теңдік 1 түрдегі анықтамасының салдары 2 және 3-ші Теңбе-теңдіктің құндылығы мынада: ол берілген өрнекті оған мәндес бір Алгебрелық өрнектерге қолданылатын амалдардың екі түрлі түсіндірмесі (трактовкасы) болуы Бірінші түсіндірме (трактовка) абстрактылы алгебраның көзқарасын бейнелейді. Белгілі бір Екінші түсіндірме (трактовка) функционалдық талдаудың көзқарасын бейнелейді, бұл көзқарас Алгебралық өрнектерді жеке дара бөліп алып қарастырмай, оларды белгілі Дипломдық жұмыстың мақсаты: математикалық өрнектерді қайсы сыныпта, қандай көлемде Зерттеу пәні: математикалық өрнектерді теңбе-тең түрлендіру әдістері. Зерттеу нысаны: математика курсын оқытуда математикалық өрнектерді теңбе-тең түрлендіруге Дипломдық жұмыстың әдіснамалық негізі: -зерттелетін тақырып бойынша математикалы ғылыми-әдістемелік, психологиялық-педагогикалық,философиялық әдебиеттерге талдау жүргізу; - орта білім мен математикалық деңгейі туралы нормативтік құжаттарды - математика мұғалімдерінің алдыңғы қатарлы тәжірибесін оқу және жалпылау. Зерттеу жұмысының міндеті: математикалық өрнектердің анықтамасы мен олардың арасындағы байланысты білу; әріпті өрнектер, рационал және иррационал, трансценденттік өрнектерді теңбе-тең түрлендіруді теңбе-тең түрлендіруді мақсатты орындау туралы, саналылық принципін жүзеге асыру, Зерттеудің ғылыми жаңалығы: 1 Математикалық өрнектер. Математикалық өрнектерді теңбе-тең түрлендіру Әріпті өрнектер және оларды теңбе-тең түрлендіру. М ы с а л Ұзындығы Егер a=7 см, b=3 см болса, тік төртбұрыштың ауданы 5x+3; 0,7x; a; Құрамында бір немесе бірнеше әрпі бар өрнекті әріпті өрнек Формулалар мен есептің шартына байланысты құрылған теңдеулерді жазуда әріпті Әріпті өрнектің жазылуында әріптер болуымен қатар, сандар, жақшалар және Кейде бір әріптің өзі де әріпті өрнек бола алады, Әріпті өрнектерді жазуда ескерілетін ережелер мен келісілген шарттар бар. 1 Әріпті өрнекте (көбейтіндіде) сан көбейткіш әріп көбейткіштің алдына Көбейтіндідегі сан көбейткішті әріп көбейткіштің алдына жазып, оны коэффициент Коэффициент пен одан кейінгі әріп көбейткіштің арасына көбейту таңбасы Мысалы немесе Сол сияқты, немесе 2 Әріпті өрнектегі әріп көбейткіштердің арасына көбейту таңбасы қойылмайды. Мысалы әріпті өрнегі abc түрінде жазылады. 3 Құрамында әріптері бар бөлінді бөлшек түрінде жазылады. Мысалы 4 Әріпті өрнектердің жазылуында жақшаны пайдалануға ерекше назар аудару Мысалы x санынан y пен 9 санының қосындысын Мысалы 10 санына x пен y сандарының көбейтіндісін қосуды Бұл жағдайда x пен y сандарының көбейтіндісін жақша ішіне Әріпті өрнектің сан мәнін табуды қарастырайық. Әріпті өрнектегі әріптің орнына өрнектің мағынасы болатындай оның сан Бұл әріпті өрнектің қасиеті. Әріпті өрнектердегі әріптер әр түрлі сан мәндерді қабылдай алады. Мысалы 2(a+b) – айнымалысы бар өрнек, мұндағы a және Әріпті өрнектегі әріпті оның сан мәнімен алмастыруды әріпті өрнектің Мысалы әріпті өрнегіне оның x=9; y=-3 , 0,5 – берілген әріпті Әріпті өрнектің сандық мәнін табу үшін: 1 әріпті өрнектегі әріптерді олардың сан мәндерімен алмастыру қажет; 2 әріпті өрнектегі бірдей әріптер бірдей санмен алмастырылады (ұқсас 3 теріс сандар жақша ішіне алынып жазылады; 4 әріпті өрнектегі жақшалар есепке алынып (егер жақша болса), 5 әріпті өрнек бөлшек түрінде берілсе, оның алымының және Мысалы , мұндағы a мен b – Әріпті өрнектегі әріптердің орнына олардың берілген сан мәндерін қойып, Берілген әріпті өрнектегі әріп сол өрнектің мағынасы болатын санмен Мысалы әріпті өрнегінде x-тің орнына 2 Бұл жағдайда әріпті өрнегіндегі айнымалы x-тің Әріптің берілген әріпті өрнектің мағынасы болатын сан мәндерін сол Әріпті өрнектердің сандық мәндерін (ең тиімді тәсілмен) табу үшін, Әріпті өрнекті ықшамдау оны теңбе-тең өрнекке түрлендіру арқылы орындалады. Мысалы a(b+8) және ab+8a өрнектері теңбе-тең өрнектер, егер a=3, Әріптердің a=3, b=2,1 мәндерінде a(b+8) және ab+8a өрнектерінің сандық Теңбе-тең әріпті өрнектер дегеніміз – олардағы әріптердің тең (бірдей) Өрнектерді түрлендіргенде, әріпті өрнек ықшамдалып, алғашқы әріпті өрнекпен теңбе-тең Өрнекті оған теңбе-тең өрнекпен алмастыруды өрнекті теңбе-тең түрлендіру немесе І Қосудың ауыстырымдылық және терімділік қасиеттерін пайдаланып, әріпті Мысалы Мұндағы 2a+8 өрнегі – алғашқы (8a+5)-6a+3 өрнегінің ықшамдалған түрі. II Көбейтудің ауыстырымдылық және терімділік қасиеттерін пайдаланып, әріпті өрнектегі Мысалы . Мұндағы 6x өрнегі алғашқы өрнегінің ықшамдалған III Көбейту амалының қосуға (азайтуға) қатысты үлестірімділік қасиетін пайдаланып, Мұндағы a(b+c) әріпті өрнегі мен ab+ac әріпті өрнегі теңбе-тең 1-мысал Мұндағы -6a-15 өрнегі – алғашқы -3(2a+5) өрнегінің ықшамдалған түрі. 2-мысал x-y өрнегі – алғашқы өрнегінің ықшамдалған IV Қосындыны берілген санға бөлуді пайдаланып, әріпті өрнекті ықшамдау. Қосындыны берілген санға бөлгендегі бөлінді қосылғыштарды жеке-жеке берілген санға немесе Демек, бөліндісін бөлімдері бірдей Мысалы әріпті өрнегі – алғашқы өрнегінің V Әріпті өрнектерді қысқартуды пайдаланып ықшамдау. Егер бөлшектің алымының да, бөлімінің де бірдей әріп көбейткіштері Қысқартылғанға дейінгі бөлшек қысқартылғаннан кейінгі бөлшекпен теңбе-тең болады. Бөлшектердің Мысалы Мұндағы - алғашқы өрнектердің ықшамдалған түрі. І Әріпті өрнектердегі жақшаны ашып түрлендіру. Көбейтудің үлестірімділік қасиетін Көбейтудің үлестірімділік қасиеті жақша ішіндегі қосылғыштар санына тәуелсіз. Сондықтан 1-мысал Жақша алдында «+» таңбасы болса, жақшаны ашқанда жақша ішіндегі 2-мысал Әріппен жазсақ Жақшаның алдында «–» таңбасы болса, жақшаны ашқанда, жақша ішіндегі II Әріпті өрнектегі ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарып түрлендіру. Егер әріпті өрнектегі алгебралық қосылғыштардың құрамында ортақ көбейткіш бар 3-мысал өрнегіндегі ортақ көбейткіштерді жақша сыртына Ұқсас қосылғыштардағы ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығарып түрлендірсек: Өрнектегі ұқсас қосылғыштарды біріктіру арқылы түрлендірдік. Кейде өрнектегі ұқсас III. Әріпті өрнектерді жақшаға алып түрлендіру. Әріпті өрнектерді жақшаға алғанда 1 Жақша алдына «+» таңбасы қойылса, жақша ішіне әріпті 4-мысал Әріппен жазсақ, 2 Жақша алдына «–» таңбасы қойылса, жақша ішіне әріпті 5-мысал Әріппен жазсақ: 6-мысал сол сияқты, 1.2 Рационал өрнектерді теңбе-тең түрлендіру Сандар мен айнымалдарға қосу, азайту, көбейту, бөлу, рационал дәрежеге Мысалы 1) 4) Құрамындағы айнымалдарға тек қосу, азайту, көбейту, бөлу және бүтін Жоғарыдағы мысалдарда 1), 4) және 6) – рационал өрнектер. Рационал өрнектің бөлімінде айнымалдар жоқ болса ол бүтін өрнек, Алгебралық өрнекті ең соңғы амалдың нәтижесімен атайды. Мысалы 1) – қосынды; 2) – айырма (айырманы қосынды түріне 3) – көбейтінді; 4) – бөлінді (бөліндіні көбейтінді түрінде Өрнекті теңбе-тең түрлендіру және Берілген өрнектердің анықталу аймақтарының ортақ бөлігін (қиылысуын) осы өрнектердің Х – берілген өрнектердің анықталу аймағының ішкі жиыны болсын. Теңбе-теңдік деп, құрамындағы айнымалдардың барлық мүмкін мәндерінде дұрыс болатын Мысалы, пен Теңбе-теңдіктер: ал теңдігі Өрнекті оған теңбе-тең басқа өрнекпен ауыстыру - өрнекті теңбе-тең Бірмүшеліктер және оларға амалдар қолдану Құрамында сандар, айнымалдар, сандар Мысалы өрнектері бірмүшеліктер. Кез-келген өрнекті қалыпты түрге, яғни бірінші орында жалғыз сандық Екі бірмүшелік берілсін. Егер олардың арасында көбейту белгісін қойсақ, Қалыпты түрге келтірілген бірмүшеліктер бірдей немесе олардың тек қана Ұқсас бірмүшеліктерді қосуға және азайтуға болады, нәтижесінде бастапқыға ұқсас Мысалдар 1) бірмүшеліктерін көбейту керек. Шешуі 2) бірмүшелігін төртінші дәрежеге шығару керек. Шешуі 3) бірмүшеліктерін қосу керек. Шешуі Көпмүшеліктер. Оларды қалыпты түрге келтіру Бірмүшеліктердің қосындысын көпмүшелік деп Кез келген бүтін өрнекті көпмүшеліктің қалыпты түріне келтіруге болады. Мысал Келесі бүтін өрнектерді ықшамдау керек (яғни, көпмүшеліктің 1) 2) 3) 4) ; 5) Шешуі 1) Егер жақша алдында плюс таңбасы тұрса, онда жақша 2) егер жақша алдында минус таңбасы тұрса, онда жақша 3) Үлестірімділік заңға сәйкес бірмүшелік пен көпмүшеліктің көбейтіндісі, осы 4) Екі көпмүшеліктің көбейтіндісі бірінші көпмүшеліктің әрбір мүшесін екінші Енді алынған мүшелердің ұқсас мүшелерін келтіреміз: Қысқаша көбейту формулалары Кейбір жағдайларда бүтін өрнекті қалыпты түрге Қысқаша көбейту формулаларына қатысты ескертулер: (1) теңдікті оңнан солға қарай жазсақ (2) теңдікті «екі мүшенің қосындысының квадраты» деп оқиды. Екі (3) Екі мүшенің айырымының квадраты – бірінші мүшенің квадраты, минусе (4) Мұндағы өрнегі – айырымның толымсыз квадраты (5) . Ең мүшенің кубтарының айырымы – осы екі мүшенің айырымы Қалған (6) мен (7) теңбе-теңдіктерін де оқып айтуға болады. Мысалдар Берілген өрнектерді қалыпты түрге келтіру керек: 1) 2) 3) 4) 5) Шешуі 1) 2) 3) 4) (7) мен (2) теңбе-теңдіктерді пайдаланамыз: 5) Көпмүшеліктерді көбейткіштерге жіктеу Кейде көпмүшені бірнеше көбейткіштердің – көпмүшеліктер Енді көпмүшеліктерді көбейткіштерге жіктеудің кейбір тәсілдерін қарастырамыз. А) Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару. Мұндай түрлендіруде үлестірімділік Мысал Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу керек: Шешуі Әдетте, ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару кезінде, көпмүшенің Б) Қысқаша көбейту формулаларын пайдалану Мысалдар Көбейткіштерге жіктеу керек: Шешуі Айырымның квадраттарын пайдалансақ, аламыз. Одан (4) пен (5) теп-теңдіктері бойынша шығады. Сонымен, Алдымен ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарып, содан соң қосындының В) Топтау тәсілі. Егер көпмүшенің мүшелерінде ортақ көбейткіш болмаса, Мысалдар Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу керек: Шешуі 3) мұнда топтаудың ешқайсысы барлық қосылғыштардың ортақ көбейткіші болатын бірмүшесін қосамыз және аламыз: Екі өрнектің қосындысының және айырмасының квадраты қосындысын квадраттайық: , демек, (2) (2) теңбе-теңдікті екі өрнектің қосындысының квадратының формуласы деп атайды. Формуладағы а мен b әріптерін кез келген өрнек деп (3) М ы с а л д а р өрнегін көпмүшеге түрлендірейік. (2),(3) формулалар «дөнгелек» саннан сәл үлкен немесе сәл кіші Мысалы 5-пен аяқталатын сандарды квадрат дәрежеге шығаруды жаттап алу оңай. Өрнектен 5-пен аяқталатын санды квадрат дәрежеге шығарғанда, ол санның 3,52 – квадратын табу үшін екенін тауып, (2),(3) теңбе-теңдіктерін басқаша жазып, тұжырымдауға болады; Екі өрнектің қосындысының квадраты сол өрнектердің квадраттарының қосындысына олардың Екі өрнектің айырмасының квадраты сол өрнектердің квадраттарының қосындысынан олардың Үш, төрт, бес т.с.с. өрнектердің қосындысының квадраттарынтапқандағы нәтижені мына Екі өрнектің қосындысының және айырмасының кубы формуласы. қосындысының кубынкөпмүшеге түрлендірейік: , демек , (4) Екі өрнектің қосындысының кубы біріншісінің кубына, плюс үш еселенген теңбе-теңдігін де осылай дәлелдеп, ержесін тұжырымдауға болады: (5) Бұл формуланы дәлелдеуді деп алып, (4) Мысалдар. 1) . Екі өрнектің кубтарының қосындысы мен айырмасына келтірілетін қысқаша көбейту , демек, (6) Екі өрнектің қосындысы мен олардың айырмасының толымсыз квадратының көбейтіндісі өрнегі а мен b-ның қосындысының толымсыз квадраты деп , демек, (7) Екі өрнектің айырмасы мен олардың қосындысының толымсыз квадратының көбейтіндісі Мысалдар 1) көбейтіндісін көпмүшеге түрлендірейік. Мұнда - екі өрнектің қосындысы, ал 1) 2) 3) 4) Көпмүшені бірмүшеге бөлу Көпмүшені бірмүшеге бөлгенде нәтижеде көпмүше (бүтін көпмүшесін бірмүшесіне бөлу керек болсын, яғни Көпмүшені бірмүшеге бөлу үшін көпмүшенің әрбір мүшесін осы бірмүшеге Көпмүше бірмүшеге бөліну үшін оның әрбір мүшесі сол мүшеге Рационал өрнектерді түрлендіру рационал өрнегі рационал бөлшектердің Бөлшектерге қолданылатын амалдар ережелерінен рационал бөлшектердің қосындысын, айырмасын, көбейтіндісін 1-мысал өрнегін рационал бөлшекке түрлендірейік. Ең алдымен бөлшектерді көбейтуді орындаймыз, содан кейін шыққан нәтижені ; [4] 2-мысал өрнегін рационал бөлшек түрінде жазайық. Ең алдымен жақша ішіндегі бөлшектерді қосамыз, содан кейін табылған . Бұларды басқаша да жазуға болады 3-мысал өрнегін рационал бөлшек түрінде жазайық. Түрлендіруді әр түрлі орындауға болады. Бөлшектің алымын жеке және Бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып, бөлшектің алымы мен бөлімін ху-ке Рационал өрнектердің қосындысын, айырмасын, көбейтіндісін және бөліндісін әрқашанда алымы Демек, кез келген рационал өрнекті алымы мен бөлімі көпмүшелер 4-мысал. Рационал өрнекті бөлшекке түрлендірейік: Шешуі: Жауабы: 1.3.Иррационал өрнектерді теңбе-тең түрлендіру Құрамындағы айнымалдарға түбір табу немесе бөлшек дәрежеге шығару амалдары Мысалы, және өрнектерінің мәндерін салыстырайық. Бұл есепті 0, болса, онда 4) Егер N>0, болса, онда 5) Егер болса, онда 6) Егер болса, онда (берілген негізден басқа негізге көшу формуласы). Дербес жағдайда, егер 7) Егер болса, онда ( 8) Егер болса, онда яғни логарифм негізі бірден үлкен болса, онда екі оң 9) Егер болса, онда яғни логарифм негізі бірден кіші болса, онда екі оң Негізі 10-ға тең логарифмді ондық логарифм деп атайды және Негізі e санына (e=2,7182818284… иррационал сан) тең логарифмді натурал 1-м ы с а л Есептеу керек: Ш е ш у і екенін Одан әрі 3), 2) қасиеттерді және аламыз. Сонымен, 2-м ы с а л Ш е ш у і 3-м ы с а л Ш е ш у і 1-тәсіл. Енді теңдігін пайдаланамыз: 2-тәсіл деп белгілеп, Бұдан демек, 4-м ы с а л Ш е ш у і Бұдан x-ті тапсақ болады. Олай болса, [2] Рационал көрсеткішті дәреже өрнегі, Кез келген a, b сандары және кез келген бүтін Енді мынадай қасиетті де атап өтейік: Егер m>n болса, онда a>1 болғанда орындалса, онда Соңғы теңдік (n-дәрежелі түбірдің анықтамасы бойынша) А н ы қ т а м а a>0 (1) 0 санының дәрежесі оң көрсеткіштер үшін ғана анықталған; анықтамасы 1- м ы с а л Рационал көрсеткішті 2- м ы с а л Санды өрнектердің Рационал көрсеткішті дәреженің анықтамасын және түбірлердің қасиеттерін пайдаланып, мынаны е с к е р т у е с к е р т у е с к е р т у a жүктеу/скачать 24,94 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|