Матрицы. Операции над матрицами. Свойства определителей


Системы линейных уравнений



бет6/7
Дата06.01.2022
өлшемі83.05 Kb.
#15650
түріЛекция
1   2   3   4   5   6   7
Системы линейных уравнений.

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных.

Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.


Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными

Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y – 3z = 2,

3x – 2y + z = - 1,

2x + y – 2z = 0.
Решение.

Выпишем расширенную матрицу данной системы



и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:



а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:



.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:


x + y – 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.
Из последнего уравнения находим z = -1,3.

Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2.

Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.

Ответ: (-0,7; -1,2; -1,3)


Системы m линейных уравнений с n неизвестными
Система линейных уравнений имеет вид:

a11 x1 + a12 x2 +… + a1n xn = b1,

a21 x1 + a22 x2 +… + a2n xn = b2, … … … …

am1 x1 + am1 x2 +… + amn xn = bm.


Здесь аi j и bi (i = ; j = ) – заданные, а xj – неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:

AX = B, (5.2)

где A = (аi j) – матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,…, xn)T,
B = (b1, b2,…, bm)T – векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных xj и из свободных членов bi.

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,…, cn) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,…, xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2,…, cn)T такой, что AC  B.

Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Матрица


A = ,

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7




©emirsaba.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет