Момент случайной величины



бет1/3
Дата12.12.2022
өлшемі68,32 Kb.
#56685
  1   2   3

Момент случайной величины — числовая характеристика распределения данной случайной величины.
Определения
Если дана случайная величина  определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

  • -м начальным моментом случайной величины  где  называется величина


если математическое ожидание  в правой части этого равенства определено;

  • -м центральным моментом случайной величины  называется величина



  • -м факториальным моментом случайной величины  называется величина


если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.
Замечания

  • Если определены моменты -го порядка, то определены и все моменты низших порядков 

  • В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:




 и т. д.
Геометрический смысл некоторых моментов

  •  равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.

  •  равняется дисперсии распределения  и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.

  • , будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение


называется коэффициентом асимметрии.


называется коэффициентом эксцесса распределения 
Вычисление моментов

  • Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью  имеем:



  • если 

а для дискретного распределения с функцией вероятности 


  • если 

  • Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию :



  • Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов  то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:


Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.


В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание случайной величины
Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается M.
Математическое ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение

x1

x2

...

xn

p1

p2

...

pn

называется величина , если число значений случайной величины конечно.
Если число значений случайной величины счетно, то . При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет