Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет10/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   57

k

(x),


k =

t

τ



x = t − kτ,

(здесь z


k

(x) — k-я компонента вектора (последовательности) Z(x)),

непрерывна на интервале [0, ∞) и на интервалах [kτ, (k + 1)τ ),

k = 0, 1, . . . , удовлетворяет уравнению (1).

Уравнение (4) будем называть краевыми условиями.

Подстановка

u(t) = exp(λt)p

λ

(t),



λ ≥ 0,

(5)


73

приводит уравнение (1) к виду

dp

λ



dt

=

N



j=−M

e

λjτ



a

j

χ(t + τ j)p



λ

(t + τ j) − λp

λ

(t) + e


−λt

f (t).


(6)

Решение начальной задачи 1, допускающее представление с по-

мощью подстановки (5), будем называть специальным. Такое опре-

деление соответствует определению специального решения, введен-

ному в монографии [3].

Формулируемая далее теорема 2 определяет условия, при выпол-

нении которых уравнение краевых условий (4) однозначно и кор-

ректно разрешимо в пространстве ограниченных последовательно-

стей векторов. При применении теоремы 1 это дает функцию p

λ

(t),



представленную в пространстве ограниченных последовательностей

векторов, позволяющую получить решение начальной задачи 1

для систем дифференциальных уравнений.

Сформулируем теорему, гарантирующую возможность решения

уравнения (4) с применением подстановки (5). Пусть A

λ

– матрица



представления, соответствующая уравнению (6); a

j

– подчиненные



нормы матриц коэффициентов рассматриваемой системы дифферен-

циальных уравнений в конечномерном пространстве ограниченных

последовательностей.

Теорема 2. Если выполнено условие

a

0

+



N

j=−M,j=0


e

λjτ


a

j

< λ,

(7)

то S exp(A



λ

τ )


l



< 1 и уравнение (4) имеет решение в виде ряда

Неймана

ξ =


k=0


(S exp(A

λ

τ ))



k

(η +


τ

0

exp (A



λ

(τ − s))F

λ

(s)d s).


Доказательство. Доказательство теоремы опирается на тот

факт, что матрица представления A

λ

имеет вид A



λ

= A


λ0

− λE,


где матрицы-операторы A

λ0

и E коммутируют (E – единичная мат-



рица).

Оценим норму оператора S exp(A

λ

τ ) в пространстве ограничен-



ных последовательностей векторов

S exp(A


λ

τ )


l

≤ S



l

exp((A



λ0

− λE)τ )


l

≤ e



(( A

λ0 l∞


−λ)τ )

.

74



Условие теоремы 2 S exp(A

λ

τ )



l



< 1 выполнено, если

A

λ0 l


≤ a


0

+

N



j=−M,j=0

e

λjτ



a

j

< λ.

Теорема доказана.

Неравенство (7) описывает класс уравнений в интервале (λ

1

, λ


2

).

Для заданного значения λ ∈ (λ



1

, λ


2

) мы получаем представление

функции p

λ

(t) в пространстве ограниченных последовательностей



векторов, дающее специальное решение рассматриваемой начальной

задачи 1. При фиксированном значении λ функция p

λ

(t) определя-



ется единственным образом и имеет место непрерывная зависимость

от начальных данных задачи 1. В рассматриваемый класс вклю-

чаются все уравнения запаздывающего типа с решаемой для них

основной начальной задачей, при определенных предположениях о

присутствующей в уравнении неоднородности. Совместное примене-

ние теорем 1 и 2 дает удобный вычислительный алгоритм решения

рассматриваемой задачи.

Пример. Пусть система уравнений имеет вид

dx(t)

dt

= αy(t + 1),



dy(t)

dt

= βx(t − 1),



где α и β – вещественные числа. Тогда рассматриваемый класс урав-

нений определится из условия |α|e

λ

+ |β|e


−λ

< λ.

Литература

1. Олемская М.В. О представлении решений систем линейных диф-

ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и со-

измеримыми отклонениями аргументов в пространстве последо-

вательностей векторов // Процессы управления и устойчивость:

Труды 36-й научной конференции аспирантов и студентов / Под

ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005.

С. 89-92.

2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: На-

ука, 1977. 744 c.

3. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаз-

дывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

75


Пятибратов Е.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Численное моделирование задачи

межорбитального перелета

Рекомендовано к публикации профессором Квитко А.Н.

В [1] предложен алгоритм построения синтеза управляющих

функций, при которых решения нелинейной стационарной системы

переходят из начального состояния в заданное конечное состояние,

с учетом ограничений на управление и фазовые координаты.

В настоящей работе дана численная реализация метода, разра-

ботанного в [1] для решения задачи перевода материальной точки,

движущейся по круговой орбите с постоянной скоростью в централь-

ном поле тяготения.

Система уравнений в отклонениях относительно указанного дви-

жения по круговой орбите имеет вид [2]:

˙

x



1

= x


2

,

˙



x

2

= ν



1

(x

1



, x

4

) + u



1

,

˙



x

3

= x



4

,

˙



x

4

= ν



2

(x

1



, x

2

, x



4

) + ν


3

(x

1



)u

2

,



(1)

где x


1

= r − r


0

, x


2

= ˙r, x


3

= ψ − α


0

t, x


4

= ˙


ψ − α

0

, u



1

= a


r

˙

m/m,



u

2

= a



ψ

˙

m/m, r



0

– радиус круговой орбиты, ˙r – радиальная скорость,

ψ – полярный угол, ˙

ψ – скорость изменения полярного угла, a

r

, a


ψ

– проекции вектора относительной скорости отделяющейся частицы

на направление радиуса и поперечного направления соответственно,

m, ˙


m – соответственно, масса и скорость изменения массы, α

0



угловая скорость движения по заданной круговой орбите,

ν

1



= −

ν

(x



1

+ r


0

)

2



+ (x

1

+ r



0

)(x


4

+ α


0

)

2



,

ν

2



= −2

x

2



(x

4

+ α



0

)

x



1

+ r


0

, ν


3

=

1



x

1

+ r



0

,

ν = ν



0

M, ν


0

— постоянная всемирного тяготения, M — масса плане-

ты,

α

0



=

ν

r



3

0

рад/с, x



1

1

= 100 м, r



0

= 7 · 10


6

м, x


1

3

= −



α

0

10



6

рад.


76

Ограничения на фазовые координаты и управление имеют вид

x < C


1

,

u < C



2

.

Задача состояла в нахождении управлений u



1

, u


2

, при которых

решение системы удовлетворяет условиям

x

i



(0) = 0, i = 1, . . . , 4,

x

1



(0) → x

1

1



, x

2

(0) → 0, x



3

(0) → x


1

3

, x



4

(0) → 0,


В процессе численного моделирования интегрировалась вспомога-

тельная система, полученная из системы (1) после замены перемен-

ной t по формуле t =

τ

τ + α



:

dx

1



=

α



(τ + α)

2

x



2

,

dx



2

=



α

(τ + α)


2

1



(x

1

+ x



1

1

, x



4

) + u


1

+ u


1

1

],



dx

3



=

α

(τ + α)



2

x

4



,

dx

4



=

α



(τ + α)

2



2

(x

1



+ x

1

1



, x

2

, x



4

) + ν


3

(x

1



+ x

1

1



)u

2

],



(2)

u

1



1

=

ν



(x

1

1



+ r

0

)



2

− (x


1

1

+ r



0

2



0

на промежутке [0, 0, 999] с начальными данными

x

1

(0) = −x



1

1

, x



2

(0) = 0, x

3

(0) = −x


1

3

, x



4

(0) = 0,


замкнутая управлениями

u

1



=

(τ + α)


2

α

6



τ + α

− 12


α

2

(p



21

+ p


42

p

24



)

(τ + α)


4

x

2



6



τ + α

− 12


α

2

(p



21

+ p


42

p

24



)

(τ + α)


4

p

42



x

3



6

τ + α



− 12

(τ + α)



3

x

1



+

77


+

6

τ + α



− 12

α

2



(τ + α)

4

p



42

x

3



+

+

6



τ + α

− (p


21

+ p


42

p

24



) − 47

α

(τ + α)



2

x

1



− 60 x


2

(p



21

+ p


42

p

24



)

p

42



x

3

,



u

2

= 2



(τ + α)

2

α



p

42



q

42

x



1

+

1



q

42

x



4

,

полученными в результате решения задачи стабилизации системы



dc

=



α

(τ + α)


2

P c +


α

(τ + α)


2

Qd,


по методу, изложенному в [1], где c(τ ) = x(t(τ ))+x

1

, d(τ ) = u(t(τ ))+



u

1

. Матрицы P и Q имеют вид



P =



0



1

0

0



p

21

0



0 p

24

0



0

0

1



0

p

42



0

0



 , Q =





0

0



1

0

0



0

0 q


42



 ,


p

21

=



(x

1



1

+ r


0

)

3



+ α

2

0



, p

24

= 2(x



1

1

+ r



0

0



, p

42

= 2



α

0

x



1

1

+ r



0

,

q



42

=

1



x

1

1



+ r

0

.



Были определены приемлемые границы параметра α, а также

область изменения конечных состояний x

1

1

и x



1

3

, при которых гаран-



тировано существование решения поставленной задачи и численной

реализации соответствующего алгоритма.

Параметр α выбирается из промежутка [0, 06; 0, 25], значения x

1

1



из промежутка [100, 500] и x

1

3



не должно превышать 0, 00001.

На рис. 1 представлен график изменения фазовых кординат (x

1

+

x



1

1

), которые соответствуют параметрам α = 0, 05 и α = 0, 1, а также



конечным состояниям x

1

1



= 100 и x

1

1



= 200, x

1

3



= 0, 000001 и x

1

3



=

0, 00001.

78


Рис. 1.

Литература

1. Пятибратов Е.В. Решение граничной задачи для нелинейной

управляемой системы // Процессы управления и устойчивость:

Труды 36-й научной конференции аспирантов и студентов / Под

ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005.

С. 93-96.

2. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движе-

ния. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

79


Степанов А.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Об одной релейной системе

с гистерезисной характеристикой

Рекомендовано к публикации профессором Камачкиным А.М.

1. Введение. Вопрос существования устойчивых периодических

режимов в нелинейных системах управления — одна из основных

проблем теории колебаний. Особенно трудными для изучения явля-

ются системы, содержащие существенные нелинейности. Такие нели-

нейности возникают в результате математического моделирования

нелинейных физических эффектов (трение и люфт в механике, ги-

стерезис в электротехнике и т.д.). Далее рассмотрена система диф-

ференциальных уравнений, содержащая нелинейность гистерезисно-

го типа.


2. Собственные колебания гистерезисной системы. Рас-

смотрим систему

˙x = Ax + cu,

u(t) = f (σ(t)),

σ(t) = γ x(t),

(1)


где x ∈ E

n

, t ≥ t



0

, γ ∈ E


n

, γ = 0, нелинейность f — гистерезисного

типа, с насыщением [1]:

f (σ(t)) =















m

1



,

σ(t) <


m

1

κ



+ l

1

,



l

1

≤ σ(t) −



m

1

κ



< l

2

, u(t − 0) = m



1

,

m



2

,

σ(t) >



m

2

κ



+ l

2

,



l

1

< σ(t) −

m

2

κ



≤ l

2

, u(t − 0) = m



2

,

κ(σ(t) − l



1

), m


1

< κ(σ(t) − l

1

) ≤ m



2

, u(t − 0) > m

1

,

κ(σ(t) − l



2

), m


2

≤ κ(σ(t) − l

2

) < m


1

, u(t − 0) < m

2

.

(2)



Здесь κ > 0, m

1

< 0, m

2

> 0, обход гистерезисной петли происходит



против часовой стрелки.

Введем обозначение ˆ

A = A + κ cγ . Следуя [2], сформулируем

80


Утверждение 1. Пусть матрицы A, ˆ

A — гурвицевы, и пара-

метры системы (1) удовлетворяют неравенствам

−γ A


−1

cm

1



>

m

1



κ

+ l


2

,

γ ˆ



A

−1

cκl



2

>

m



2

κ

+ l



2

,

−γ A



−1

cm

2



<

m

2



κ

+ l


1

,

γ ˆ



A

−1

cκl



1

<

m

1



κ

+ l


1

,

тогда система (1) имеет, по крайней мере, одно периодическое ре-



шение.

Доказательство. Матрицы A, ˆ

A — гурвицевы, следовательно,

рассматриваемая система диссипативна, т.е. существует такая кон-

станта C > 0, что все решения системы (1) сходятся при t → +∞ в

область x ≤ C. Обозначим S = {x :

x ≤ C, γ x = l

1

} = ∅.



Система (1) имеет 4 формальных центра устойчивости p

i

,



i = 1, 4, которые определяются из уравнений

˙x = Ap


1

+ cm


1

= 0,


˙x = Ap

2

+ cκ (σ − l



2

) = ˆ


Ap

2

− κl



2

c = 0,


˙x = Ap

3

+ cm



2

= 0,


˙x = Ap

4

+ cκ (σ − l



1

) = ˆ


Ap

4

− κl



1

c = 0,


а именно:

p

1



= −A

−1

cm



1

, p


2

= ˆ


A

−1

cκl



2

, p


3

= −A


−1

cm

2



, p

4

= ˆ



A

−1

cκl



1

.

Если выполнены условия



γ p

1

>



m

1

κ



+ l

2

, γ p



2

>

m



2

κ

+ l



2

, γ p


3

<

m

2



κ

+ l


1

, γ p


4

<

m

1



κ

+ l


1

,

то система (1) при достаточно больших значениях t определяет отоб-



ражение компакта S в себя, откуда, пользуясь принципом неподвиж-

ной точки, заключаем, что система (1) имеет, по крайней мере, одно

собственное периодическое колебание. Подставив выражения для p

i

в последние неравенства, приходим к неравенствам, приведенным в



формулировке утверждения.

Замечание 1. По аналогии с [2], можно показать, что если по-

мимо наложенных на параметры системы (1) ограничений, справед-

ливо равенство A γ = λγ, для некоторого λ ∈ R, то система (1) имеет

81


единственное автоколебание, область притяжения которого совпада-

ет со всем фазовым пространством E

n

.

Замечание 2. Пусть выполнены условия утверждения 1, и си-



стема (1) имеет периодическое решение. Тогда, если точки переклю-

чения управления для этого решения известны, оно может быть ис-

следовано на предмет орбитальной асимптотической устойчивости

методами, изложенными в [3]. Предположим, что указанное перио-

дическое решение имеет 4 точки переключения управления

s

1



, γ s

1

= l



1

+

m



1

κ

; s



2

, γ s


2

= l


2

; s


3

, γ s


3

= l


2

+

m



2

κ

; s



4

, γ s


4

= l


1

.

Обозначим τ



1

– время перехода из s

1

в s


2

, τ


2

– время перехода из s

2

в s


3

, τ


3

– из s


3

в s


4

, τ


4

– из s


4

в s


1

. Тогда, если

A

1

A



2

A

3



A

4

< 1,

где

A

1



= E −

(As


2

+ cm


1

) γ


γ (As

2

+ cm



1

)

e



1

,



A

2

= E −



ˆ

As

3



− cκl

2

γ



γ

ˆ

As



3

− cκl


2

e

ˆ



2

,



A

3

= E −



(As

4

+ cm



2

) γ


γ (As

4

+ cm



2

)

e



3

,



A

4

= E −



ˆ

As

1



− cκl

1

γ



γ

ˆ

As



1

− cκl


1

e

ˆ



4

,



и выполнены неравенства

γ (As


2

+ cm


1

) > 0,


γ

ˆ

As



3

− cκl


2

> 0,


γ (As

4

+ cm



2

) < 0,


γ

ˆ

As



1

− cκl


1

< 0,

то рассматриваемое периодическое решение обладает свойством ор-

битальной асимптотической устойчивости.

3. Стабилизация системы управлением вида (2). Напом-


Каталог: bitstream
bitstream -> С. торайғыровтың публицистикасы
bitstream -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
bitstream -> «Қазақ» газетіндегі ұлт-азаттық көтеріліс туралы мақалалардың маңызы
bitstream -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
bitstream -> Грам м атические форм ы вы раж ения ком паративны Х отнош ений в научно-популярной лингвистической литературе
bitstream -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
bitstream -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
bitstream -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет