Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет11/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   57

ним формулировку задачи релейной стабилизации [4, 5]. Для на-

перед заданных положительных констант δ, ε построить релейное

управление (в данном случае вида (2)) таким образом, чтобы любое

82


решение системы (1), начинающееся в δ-окрестности начала коорди-

нат, попадало за конечный отрезок времени в ε-окрестность начала

координат и оставалось бы в ней при t → +∞.

Следуя [4], сформулируем

Утверждение 2. Пусть пара (A, c) полностью управляема,

т.е. rank A, Ac, . . . , A

n−1

c = n, тогда, если l



1

< 0, l

2

> 0, зна-



чения |l

1

|, l



2

достаточно малы, а значения |m

1

|, m


2

достаточно ве-

лики, то существует управление вида (2), которое решает задачу

релейной стабилизации системы (1).

Доказательство. Пара (A, c) полностью управляема, следова-

тельно, существует управление в виде линейной обратной связи

ˆ

u = κˆ


γ x, решающее задачу стабилизации системы

˙x = Ax + cˆ

u.

(3)


Перепишем систему (1) в виде

˙x = Ax + cˆ

u + c (u − ˆ

u) .


Нулевое решение системы (3) асимптотически устойчиво, следова-

тельно, существуют две такие положительно-определенные формы

v(x) = x V x, w(x) = x W x, что

dv(x)


dt

(3)


= −w(x) = − x

2

.



Здесь положили W = E, а матрица V может быть найдена из мат-

ричного уравнения Ляпунова. Далее,

dv(x)

dt

(1)



= − x

2

+ 2 (u − ˆ



u) c V x.

Выберем γ = ˆ

γ, тогда, если

x ≤ r


1

=

min



m

1

κ



+ l

2

,



m

2

κ



+ l

1

κ ˆ



γ

,

то σ ∈



m

1

κ



+ l

2

,



m

2

κ



+ l

1

, и |u − ˆ



u| ≤ κ max {|l

1

|, l



2

} , здесь считаем,

что

m

2



κ

+ l


1

> 0. Таким образом,

dv(x)

dt

(1)



< 0, если

83


x > r

2

= 2κ max {|l



1

|, l


2

} c V .


За счет выбора параметров |l

i

|, |m



i

|, очевидно, можно добиться вы-

полнения неравенства r

2

< r

1

. Обозначим S



1

, S


2

шары с центрами в

x = 0 и радиусами r

1

и r



2

, соответственно. Пусть уравнение v(x) = c

1

задает поверхность, вписанную в S



1

, а уравнение v(x) = c

2

— поверх-



ность, описанную вокруг S

2

. В поверхность v(x) = c



1

впишем шар

S

δ

радиуса δ > 0, вокруг поверхности v(x) = c



2

опишем шар S

ε

ра-


диуса ε > 0. Тогда, по построению, указанные шары представляют

собой δ- и ε-окрестности начала координат, указанные в постановке

задачи релейной стабилизации. Утверждение доказано.

Замечание 3. Построенное управление также решает задачу ре-

лейной стабилизации системы

˙x = Ax + ϕ(t, x) + cu(t),

где функция

ϕ(t,x)


x

непрерывна при всех t ≥ t

0

, x ∈ E


n

и равномер-

но относительно t ≥ t

0

стремится к 0, когда x → 0.



Замечание 4. Если пара (A, c) не является полностью управ-

ляемой, то утверждение, очевидно, сохраняет справедливость в том

случае, когда неуправляемые собственные числа матрицы A нахо-

дятся в левой части комплексной полуплоскости [4, 5].

4. Стабилизация дискретной системы. Рассмотрим дискрет-

ный аналог системы (1)

x

k+1


= M x

k

+ qu



k

,

u



k

= f (σ


k

),

σ



k

= γ x


k

,

(4)



где x

k

∈ E



n

, k ≥ k


0

, γ ∈ E


n

, γ = 0,


f (σ

k

) =















m

1



,

σ

k



<

m

1



κ

+ l


1

,

l



1

≤ σ


k

m



1

κ

< l

2

, u


k−1

= m


1

,

m



2

,

σ



k

>

m



2

κ

+ l



2

,

l



1

< σ

k



m

2

κ



≤ l

2

, u



k−1

= m


2

,

κ(σ



k

− l


1

), m


1

< κ(σ

k

− l



1

) ≤ m


2

, u


k−1

> m


1

,

κ(σ



k

− l


2

), m


2

≤ κ(σ


k

− l


2

) < m


1

, u


k−1

< m

2

,



(5)

84


где κ > 0, m

1

< 0, m

2

> 0, обход гистерезисной петли – против



часовой стрелки.

Утверждение 2 очевидным образом переносится на случай систе-

мы (4).

Утверждение 3. Пусть пара (M, q) полностью управляема,



тогда, если l

1

< 0, l

2

> 0, значения |l



1

|, l


2

достаточно малы, а зна-

чения |m

1

|, m



2

достаточно велики, то существует управление ви-

да (5), которое решает задачу релейной стабилизации системы (4).

Доказательство. Пара (M, q) полностью управляема, следо-

вательно, существует управление в виде линейной обратной связи

ˆ

u



k

= κˆ


γ x

k

, решающее задачу стабилизации системы



x

k+1


= M x

k

+ qˆ



u

k

,



(6)

следовательно, существуют положительно-определенные квадратич-

ные формы v(x) = x V x, w(x) = − x

2

, для которых



k

v(x



k

)

(6)



= −w(x

k

).



Переписав систему (4) в виде

x

k+1



= M x

k

+ qu



k

= M x


k

+ qˆ


u

k

+ q (u



k

− ˆ


u

k

) ,



и вводя обозначение ˆ

M = M + κγ q, при γ = ˆ

γ и

x ≤ r


1

=

min



m

1

κ



+ l

2

,



m

2

κ



+ l

1

κ ˆ



γ

,

имеем



k

v(x



k

)

(4)



=

ˆ

M x



k

+ q (u


k

− ˆ


u

k

) V



ˆ

M x


k

+ q (u


k

− ˆ


u

k

) −



−x

k

V x



k

= − x


2

+ 2 (u


k

− ˆ


u

k

) q V ˆ



M x

k

+ (u



k

− ˆ


u

k

)



2

q V q ≤


≤ −

x

2



+ a

1

l x + a



2

l

2



,

a

1



= −2 q V ˆ

M ,


a

2

= −q V q,



l = max{|l

1

|, l



2

}.

85



Тогда ∆

k

v(x



k

)

(4)



< 0, если

x ≥ r


2

=

l



2

a

1



+

a

2



1

+ 4a


2

.

Далее, по аналогии с тем, как это делалось для непрерывных систем,



строятся шары S

1,2


, S

δ

, S



ε

.

Замечание 5. Заметим, что здесь, в отличие от [4, 5] не вводится



вспомогательная непрерывная система, дискретная система рассмат-

ривается в качестве самостоятельной модели.

По аналогии с [4,5] для систем (1), (3) могут быть рассмотрена

задача о стабилизации с неполной информацией о состоянии систем,

для системы (1) — задача о стабилизации с помощью непрямого регу-

лирования (управление u = ˙v, где v — вида (2)), импульсного регули-

рования (информация о состоянии поступает в дискретные моменты

времени), и т.д. Все эти задачи разрешимы при соответствующих

допущениях.

Литература

1. Нелепин Р.А. Методы теории нелинейных колебаний и их при-

менение для исследования систем управления. СПб.: Изд-во

СПбГУ, 2002. 92 с.

2. Камачкин А.М. Существование и единственность периодиче-

ского решения релейной системы с гистерезисом // Диффе-

ренциальные уравнения, 1972. Т. 8, № 8. С. 1505–1506.

3. Зубов С.В., Зубов Н.В. Математические методы стабилизации

динамических систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1996. 288 с.

4. Зубов В.И. Теория оптимального управления судном и други-

ми подвижными объектами. Л.: Судпромгиз, 1966. 352 с.

5. Смирнов Е.Я. Стабилизация программных движений. СПб.:

Изд-во СПбГУ, 1997. 308 с.

86


Степанов А.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Существование и расчет устойчивых режимов

одной нелинейной цифровой системы управления

Рекомендовано к публикации профессором Камачкиным А.М.

1. Введение. Одним из классов импульсных систем являются

цифровые системы управления (ЦСУ) [1]. ЦСУ описываются в про-

странстве состояний системами разностных уравнений.

Далее используем следующие обозначения: штрихом обозначим

операцию транспонирования; E — единичная матрица; E

n



n-мерное евклидово пространство; под нормой вектора x ∈ E



n

бу-


дем понимать евклидову норму x =

x x; под нормой матрицы M



понимается норма, согласованная с евклидовой нормой вектора.

Нелинейные ЦСУ в общем случае могут быть описаны в E

n

си-


стемой разностных уравнений вида

x

k+1



= F (k, x

k

, u



k

),

k ≥ k



0

,

(1)



где k — целый неотрицательный индекс; x

k

∈ X ⊂ E



n

; значения

x

k

0



, u

k

0



считаем заданными; значение управляющего воздействия u

k

в k-й момент времени вычисляется по правилу



u

k

= f (σ



k

, u


k−1

),

k > k



0

,

σ



k

= γ x


k

,

γ ∈ E



n

,

γ = 0,



где f — скалярная, кусочно-постоянная функция своих аргументов,

множество значений U которой конечно. Данному определению, на-

пример, удовлетворяют нелинейности релейного типа, а именно, иде-

альная релейная характеристика, релейная характеристика с гисте-

резисом, релейная характеристика с зоной нечувствительности и т.д.

2. Существование устойчивых режимов цифровых сис-

тем. Решением (движением) системы (1), соответствующим при

k = k


0

начальному состоянию x

k

0

и начальному значению управляю-



щего

воздействия

u

k

0



,

назовем


последовательность

точек


x

k

= x(k, k



0

, x


k

0

, u



k

0

) ∈ E



n

, k ≥ k


0

, где каждое последующее зна-

чение x

k+1


вычисляется, исходя из предыдущего значения x

k

, по



формуле (1).

При исследовании свойств решений разностных систем, опи-

сывающих ЦСУ с устойчивым объектом, в [1] было введено по-

нятие грубости этих решений. Уточним это определение. Пусть

87


x

k

= x(k, k



0

, x


k

0

, u



k

0

) — решение системы (1), отвечающее началь-



ным данным k

0

, x



k

0

, u



k

0

, а u



k

— соответствующая последователь-

ность управлений. Рассмотрим последовательность пар

z

k



= (x

k

, u



k−1

) ∈ X × U, k ≥ k

0

+ 1.


Обозначим Ω(k

0

, x



k

0

, u



k

0

) ⊂ X × U — множество точек сгущения



последовательности z

k

. Очевидно, Ω(k



0

, x


k

0

, u



k

0

) = ∅, если X — ком-



пакт.

Определение 1.

Решение x

k

= x(k, k



0

, x


k

0

, u



k

0

) системы (1)



назовем грубым, если существует такая константа δ > 0, называ-

емая степенью грубости решения x

k

, что для любого ˆ



z = (ˆ

x, ˆ


u) ∈

Ω(k


0

, x


k

0

, u



k

0

) функция f (σ, ˆ



u) непрерывна, когда |σ − γ ˆ

x| ≤ δ. Си-

стему (1) назовем грубой, если все ее решения грубые.

Уточним вид системы (1). Пусть

x

k+1


= M x

k

+ ϕ



k

+ qu


k

,

(2)



последовательность ϕ

k

— почти периодическая [2].



Приведем без доказательства следующий результат.

Теорема 1 [3]. Пусть собственные числа матрицы M располо-

жены внутри единичного круга на комплексной плоскости, тогда

любое грубое решение системы (2) сходится при k → +∞ к асимп-

тотически устойчивому почти периодическому решению этой си-

стемы, которому соответствует периодическая последователь-

ность значений управления u

k

.



Следствие. Если последовательность ϕ

k

— периодическая, то



любое грубое решение системы (2) сходится при k → +∞ к асимп-

тотически устойчивому периодическому решению этой системы.

Замечание 1. Если последовательность ϕ

k

— периодическая, и



выполнено условие, наложенное на собственные числа матрицы M ,

то грубость является типичным (в смысле [1]) свойством решений

системы (2).

Замечание 2. Так как грубость является необходимым и доста-

точным условием асимптотической устойчивости вынужденных ко-

лебаний системы (2), то любое асимптотически устойчивое решение

системы (2) будет почти периодическим.

Замечание 3. Пусть матрица M имеет собственные числа, рас-

положенные на границе единичного круга комплексной плоскости,

причем этим собственным числам отвечают простые элементарные

делители, а все остальные собственные числа матрицы M располо-

жены внутри единичного круга. Тогда, если последовательность ϕ

k

88


почти периодическая, и система (2) имеет грубое почти периодиче-

ское решение, то она также имеет континуум почти периодических

устойчивых решений.

Распространим результат теоремы 1 на случай билинейной раз-

ностной системы

x

k+1



= M x

k

+ ϕ



k

+ (Qx


k

+ ψ


k

+ q) u


k

,

(3)



где последовательности ϕ

k

, ψ



k

почти периодические.

Теорема 2. Пусть выполнены неравенства

M + v Q < 1,

v ∈ U,

(4)


тогда любое грубое решение системы (3) сходится при k → +∞

к асимптотически устойчивому почти периодическому решению

этой системы, которому соответствует периодическая последо-

вательность значений управляющего воздействия u

k

.

Доказательство этой теоремы в целом аналогично доказатель-



ству теоремы 1.

Замечание 4. Условие (4) является достаточным, но не необхо-

димым для существования устойчивых режимов системы (3).

Полученные результаты могут быть распространены на слу-

чай нестационарного объекта (см., напр., [4]). Обобщим, например,

утверждение теоремы 2. Рассмотрим систему

x

k+1


= M

k

x



k

+ ϕ


k

+ (Q


k

x

k



+ q

k

)u



k

,

(5)



где ϕ

k

, q



k

— почти периодические векторные последовательности;

M

k

, Q



k

— почти периодические последовательности (n × n)-матриц,

а также вспомогательную систему

x

k+1



= (M

k

+ v



k

Q

k



) x

k

,



{v

k

}



k=k


0

⊂ U.


(6)

Теорема 3. Пусть нулевое решение линейной системы (6)

асимптотически устойчиво равномерно относительно выбора на-

чальных данных k

0

, x


0

, и последовательности {v

k

} ⊂ U , тогда лю-



бое грубое решение системы (5) сходится при k → +∞ к асимпто-

тически устойчивому почти периодическому решению этой систе-

мы, которому соответствует периодическая последовательность

значений управляющего воздействия u

k

.

3. Собственные колебания ЦСУ с гистерезисной нелиней-



ностью. Рассмотрим стационарную систему

89


x

k+1


= M x

k

+ qu



k

,

k ≥ k



0

,

(7)



нелинейность u

k

гистерезисного типа:



u

k

=



m

1

,



σ

k

< l

2

,

m



2

,

σ



k

> l


1

,

l



1

< l

2

,



m

1

< m

2

,

значение u



k

0

задано.



По аналогии с непрерывным случаем [5] может быть доказана

Лемма 1. Пусть собственные числа матрицы M расположены

внутри единичного круга на комплексной плоскости, и выполнены

неравенства

γ (E − M )

−1

qm



1

> l


2

,

γ (E − M )



−1

qm

2



< l

1

.



Тогда грубая система (7) имеет, по крайней мере, одно периодиче-

ское решение, отличное от неподвижной точки.

Будем искать периодические решения системы (7) с 2m точка-

ми переключения управления. Обозначим точки переключения s

j

,

1 ≤ j ≤ 2m, при этом считаем, что



γ s

j

< l

1

, j = 1, 3, . . . , 2m − 1,



γ s

j

> l



2

, j = 2, 4, . . . , 2m.

Для того, чтобы система (7) имела периодическое решение с точками

переключения s

j

, необходимо, чтобы были выполнены условия













s

1

=x (T



2m

, s


2m

, m


2

) ,


s

2

=x (T



1

, s


1

, m


1

) ,


s

3

=x (T



2

, s


2

, m


2

) ,


. . .

s

2m



=x (T

2m−1


, s

2m−1


, m

1

) ,



где

x(k, x


0

, u) = M


k

(x

0



− w

1

(u)) + w



1

(u),


w

1

(u) = −(M − E)



−1

qu.


Точки переключения управления s

j

вычисляются по формулам



90
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет