Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет12/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   57

1

+

+M



T −(T

2j+1


+T

2j+2


)

M

T



2j+2

− E m


2

+ . . . +

+M

T −(T


2j+1

+T

2j+2



+...+T

2m

+T



1

+...+T


2j−1

)

M



T

2j−1


− E m

1

+



+ M

T

2j



− E m

2

(M − E)



−1

q,

s



2j+2

= −P M


T −T

2j+2


M

T

2j+2



− E m

2

+



+M

T −(T


2j+2

+T

2j+3



)

M

T



2j+3

− E m


1

+ . . . +

+M

T −(T


2j+2

+T

2j+3



+...+T

2m

+T



1

+...+T


2j

)

M



T

2j

− E m



2

+

+ M



T

2j+1


− E m

1

(M − E)



−1

q,

. . .



s

2m

= −P



M

T −T


2m

M

T



2m

− E m


2

+ M


T −(T

2m

+T



1

)

M



T

1

− E m



1

+

+ . . . + M



T −(T

2m

+T



1

+T

2



+...+T

2m−2


)

M

T



2m−2

− E m


2

+

+ M



T

2m−1


− E m

1

(M − E)



−1

q.

Лемма 2. Пусть



M = diag (λ

1

, . . . , λ



n

) ,


0 < λ

1

≤ . . . ≤ λ



n

< 1,

q

i



≥ 0,

γ

i



≤ 0,

i = 1, n.

Тогда, если для некоторого вещественного δ > 0, при j = 0, m − 1,

выполнены неравенства

γ s

2j+1


< l

1

− δ,



γ s

2j+2


> l

2

+ δ,



γ M

−1

(s



2j+1

− qm


2

) > l


1

+ δ,


γ M

−1

(s



2j+2

− qm


1

) < l


2

− δ,


91

то система (7) имеет асимптотически устойчивое T -периодиче-

ское решение с точками переключения управления s

j

, j = 1, 2m .



4. Вынужденные колебания ЦСУ. Рассмотрим теперь систе-

му (7) с внешним воздействием

x

k+1


= M x

k

+ p



1

cos 2πrk + p

2

sin 2πrk + qu



k

,

k ≥ k



0

,

(8)



здесь r ∈ Q. Решение системы (8) имеет вид

x

f



(k, k

0

, x



0

, u) = M


k−k

0

(x



0

− w


1

(u) − w


2

(k

0



)) + w

1

(u) + w



2

(k),


где

w

2



(k) = −P (ˆ

p

1



cos 2πrk + ˆ

p

2



sin 2πrk) ,

P = E − 2 cos 2πrM + M

2 −1

,

ˆ



p

1

= (M − cos 2πrE)p



1

+ sin 2πrp

2

,

ˆ



p

2

= (M − cos 2πrE)p



2

− sin 2πrp

1

.

Предположим, что можно выбрать компоненты вектора γ таким



образом, чтобы выполнялось равенство

γ P ˆ


p

1

= 0.



(9)

Пусть


T =

2l + 1


r

∈ N,


m

1

= −m



2

,

l



1

= −l


2

,

(10)



и выполнены условия леммы 2 для m = 1, тогда система (7) имеет

T -периодическое решение x с двумя точками переключения

s

1,2


= ± E + M

T /2


−1

M

T /2



w

1

(m



1

) + Ew


1

(m

2



) .

Для того, чтобы система (8) имела T -периодическое решение с дву-

мя переключениями управления в моменты времени k

0

, k



0

+ T /2 в


точках ˆ

s

1,2



, необходимо, чтобы ˆ

s

1,2



= ±w

2

(k



0

) + s


1,2

. Заметим, что

w

2

(k + T /2) ≡ −w



2

(k), w


2

(k + T ) ≡ w

2

(k). Тогда



x

f

(k, k



0

, ˆ


s

1

, m



1

) − x(k, k

0

, s


1

, m


1

) =


= M

k−k


0

s



1

− s


1

− w


2

(k

0



)) + w

2

(k) ≡ w



2

(k),


k = k

0

, k



0

+ T /2,


x

f

(k, k



0

+ T /2, ˆ

s

2

, m



2

) − x(k, k

0

+ T /2, s



2

, m


2

) =


= M

k−k


0

s



2

− s


2

− w


2

(k

0



)) + w

2

(k) ≡ w



2

(k),


k = k

0

+ T /2, k



0

+ T ,


92

и, в силу условия (9),

γ (x


f

(k, k


0

, ˆ


s

1

, m



1

) − x(k, k

0

, s


1

, m


1

)) = α


2

sin πrk,


k = k

0

, k



0

+ T /2,


γ (x

f

(k, k



0

+ T /2, ˆ

s

2

, m



2

) − x(k, k

0

+ T /2, s



2

, m


2

)) = α


2

sin πrk,


k = k

0

+ T /2, k



0

+ T ,


где α

2

= γ P ˆ



p

2

.



Выберем k

0

= 0, если α



2

> 0, и k


0

=

1



2r

, если α


2

< 0. В последнем

случае дополнительно положим, что

1

2r

∈ N . Тогда γ s



i

= γ ˆ


s, и,

суммируя все сказанное выше, сформулируем

Утверждение. Пусть выполнены условия леммы 2, а также

условия (9), (10), тогда, если для некоторого вещественного δ > 0

γ x(k, k

0

, s



1

, m


1

)+α


2

sin 2πrk < l

2

−δ, k−k


0

∈ N ∩


T

2



3

4r

,



T

2



1

2r

,



где x — рбшение системы (7), то система (8) имеет асимптотиче-

ски устойчивое T -периодическое решение с точками переключения

ˆ

s

1,2



.

Аналогичным образом могут быть получены условия, гаранти-

рующие существование периодических решений системы (8), в том

случае, когда гистерезисная петля несимметрична, число точек пе-

реключения больше двух, и т.д.

Литература

1. Косякин А.А., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автомати-

ческих системах. М.: Наука, 1983. 334 с.

2. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем.

М.: Мир, 1971. 312 с.

3. Степанов А.В. О существовании почти периодических решений

одной дискретной системы управления // Материалы ВВМШ

"Понтрягинские чтения – XVI". Воронеж, ВГУ, 2005. С. 148.

4. Степанов А.В. О свойствах решений одной цифровой системы

управления // Материалы конференции "Современные пробле-

мы прикладной математики и математического моделирования".

Воронеж, ВГА, 2005. С. 213.

5. Камачкин А.М. Существование и единственность периодического

решения релейной системы с гистерезисом // Дифференциальные

уравнения, 1972. Т. 8, № 8. С. 1505–1506.

93


Стрекопытова М.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Периодические решения и их орбитальная

асимптотическая устойчивость

В этой работе даются условия орбитально асимптотической устой-

чивости периодического решения системы дифференциальных урав-

нений.

Рассмотрим систему



dy

s

dt



= f

s

(y



1

, y


2

, y


3

),

s = 1, 2, 3.



(1)

Предположим, что ее правые части заданы в некоторой области

трехмерного евклидова пространства, дважды непрерывно диффе-

ренцируемы там, и система (1) имеет периодическое решение

y

s

= ψ



s

(t),


s = 1, 2, 3,

(2)


периода T = 2π, орбита которого расположена целиком внутри

упомянутой области. Обозначим через F (Y ) – векторную функцию

F (Y ) = (f

1

, f



2

, f


3

), где вектор Y = (y

1

, y


2

, y


3

). Тогда систему (1)

можно записать в форме

dY /dt = F (Y ).

Задача – изучить поведение решений системы (1) в окрестности

периодического решения (2). Построим решение Y = Y (t, Y

0

) си-


стемы дифференциальных уравнений (1) с начальными условиями

Y = Y


0

при t = t

0

, начинающееся на плоскости, ортогональной к



периодической кривой, и в момент времени t = 0 проходящей через

точку периодической кривой, (Y − ψ(0), F (ψ(0))) = 0 – неподвижная

плоскость [1].

Тогда при достаточно малом значении величины ρ(Y

0

, ψ


0

), где


ψ

0

= ψ(0),



ρ(Y

0

, ψ



0

) = Y


0

− ψ


0

=

3



i=1

(y

0i



− ψ

0i

)



2

,

94



решение Y (t, Y

0

) пересечёт подвижную плоскость, ортогональную к



периодическому решению в момент τ = τ (t, Y

0

):



(Y (τ, Y

0

) − ψ(t), F (ψ(t))) = 0.



(3)

Введём на подвижной плоскости специальную систему коорди-

нат, выбрав в качестве её начала точку ψ(t), а в качестве единичных

ортов осей – вектора: B

1

(t) – орт нормали к периодической кривой,



B

2

(t) – орт бинормали к периодической кривой, взаимно ортогона-



льные и непрерывно дифференцируемые. В качестве вектора B

3

(t)



возьмём орт касательной к периодической кривой в точке ψ(t). В

новой системе координат обозначим координаты точки Y : x

1

= ρ,


x

2

= ϕ, x



3

= ξ. Тогда

y

s

= ψ



s

(t) +


3

j=1


b

sj

(t)x



j

,

s = 1, 2, 3,



(4)

где b


sj

есть s-я компонента вектора B

j

(t), j = 1, 2, 3. Здесь ρ, ϕ,



ξ – криволинейные цилиндрические координаты точки, в которой

решение Y (t, Y

0

) пересекает подвижную плоскость (3) [2].



Можно показать, что значение x

3

во всё время движения посто-



янно. Возьмём x

3

(0) = 0, тогда x



3

(t) = 0, т. е. ξ = 0. Пользуясь

равенством (4) и тождеством (3) для момента τ и переменных ρ, ϕ

выпишем дифференциальные уравнения

dt

= T (ρ, ϕ, t),



dt

= P (ρ, ϕ, t),



dt

= Φ(ρ, ϕ, t).



Если правые части системы (1) аналитические в окрестности пери-

одического решения, то функции T , P , Φ разлагаются в ряд по сте-

пеням ρ [3]:

T = 1 + ρT

1

+ ρ


2

T

2



+ . . . + ρ

m

T



m

+ . . . ,

P = P

1

+ ρP



2

+ . . . + ρ

m

P

m



+ . . . ,

95


Φ = Φ

1

+ ρΦ



2

+ . . . + ρ

m

Φ

m



+ . . . ,

где T


m

, P


m

, Φ


m

есть функции аргументов ϕ, t, 2π-периодические по

ϕ и 2π-периодические по t.

Видно, что система дифференциальных уравнений

˙ρ = P (ρ, ϕ, t),

˙

ϕ = Φ(ρ, ϕ, t)



(5)

не зависит от τ и может быть исследована отдельно.

Разделив первое уравнение системы (5) на второе, и считая, что

dϕ = 0, будем иметь

dρ/dϕ = (P

1



1

)ρ + ( ¯


P

2

/ ¯



Φ

2



2

+ ( ¯


P

3

/ ¯



Φ

3



3

+ . . .


Ограничимся первым членом разложения и будем считать, что P

1

,



Φ

1

– функции только ϕ и не зависят от t. Тогда будем иметь урав-



нение первого приближения

dρ/dϕ = (P

1

(ϕ)/Φ


1

(ϕ))ρ.


Интегрируя в квадратурах, получим

ρ = ρ


0

exp{


ϕ

ϕ

0



P

1

(θ)/Φ



1

(θ)dθ}.


Разложим периодическую функцию P

1

(ϕ)/Φ



1

(ϕ) в ряд Фурье:

P

1

(ϕ)/Φ



1

(ϕ) = a


0

+ a


1

cos ϕ + b

1

sin ϕ + . . . + a



k

cos kϕ + . . . ,

где

a

0



= 1/2ϕ

0



P

1

(ϕ)/Φ



1

(ϕ)dϕ.


Тогда

ρ = ρ


0

exp{a


0

(ϕ − ϕ


0

)+

+



k=1


(a

k

/k(sin kϕ − sin kϕ



0

) + + b


k

/k(cos kϕ

0

− cos kϕ))}.



96

Определение. Периодическое решение (2) системы (1) назы-

вается орбитально устойчивым, если для каждого ε существует

δ(ε) > 0 такое, что при ρ(Y, M ) < δ выполняется ρ(Y (t, Y

0

), M ) < ε



для любого t ≥ 0. Если к тому же число δ(ε) можно выбрать так,

что ρ(Y (t, Y

0

), M ) → 0 при t → ∞, то периодическое решение (2)



системы (1) называется асимптотически орбитально устойчивым

или периодическим автоколебанием.

Здесь Y = Y (t, Y

0

) – интегральная кривая системы (1), график



которой проходит через точку Y

0

в момент t = 0; ρ(Y, M ) – расстоя-



ние от точки Y до множества M – орбиты периодического решения

ρ(Y, M ) = inf

Y ∈M

ρ(Y, Y ),



ρ(Y, Y ) = Y − Y =

3

i=1



(y

i

− y



i

)

2



.

Теорема. Если выполнены условия Φ

1

(ϕ) = 0, a



0

= 0, a


0

Φ

1



< 0,

то периодическое решение (2) будет орбитально асимптотически

устойчивым решением системы (1) или периодическим автоколе-

банием системы (1).

В настоящей работе для исследования периодических орбит в

трехмерном пространстве используется преобразование координат,

сводящее исходную систему трех уравнений к трём уравнениям для

новых координат, одно из которых интегрируется независимо от двух

других.

Литература



1. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.:

Судпромгиз, 1962. 631 с.

2. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

3. Стрекопытова М.В. Качественный анализ равновесных траекто-

рий. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997. 85 с.

97


Травин А.Ю.

Санкт-Петербургский государственный университет

Абсолютная устойчивость

дифференциально-разностных систем

с одним запаздыванием

Рекомендовано к публикации доцентом Купцовым С.Ю.

Рассмотрим систему

˙x(t) = Ax(t) + Bx(t − h),

(1)

где A, B — постоянные вещественные (n × n)-матрицы, h ≥ 0 —



запаздывание системы.

Определение 1. Асимптотическую устойчивость по Ляпунову

системы (1) при любых h ≥ 0 будем называть абсолютной устойчи-

востью системы (1).

Сформулируем следующую задачу. Выяснить, при каких услови-

ях на матрицы A и B система (1) будет абсолютно устойчива вместе

со своей некоторой окрестностью, т.е. при всех достаточно малых

вариациях коэффициентов матриц A и B.

Пусть g(λ, h) = det G(λ, h), где G(λ, h) = A − λE + Be

−λh


. В [1]

(стр. 21, 32) можно найти доказательство того, что нулевое решение

системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову, если и только

если для всех корней уравнения g(λ, h) = 0 выполняется условие

Re λ < 0.

Теорема 1. Если система (1) абсолютно устойчива, то у мат-

рицы A + B нет собственных чисел в открытой правой полуплос-

кости.


Доказательство. Предположим обратное. Пусть у матрицы

A + B есть собственное число λ

0

, лежащее в открытой правой по-



луплоскости, т.е. Re λ

0

> 0.



Рассмотрим окружность C



0

) радиуса ∆ с центром в точке λ

0

такую, что она целиком лежит в открытой правой полуплоскости,



и другие собственные числа матрицы A + B не принадлежат этой

окружности. Тогда существует ∆

0

> 0 такое, что на этой окружности



выполняется | det (A + B − λE)| ≥ ∆

0

.



Обозначим X = A+B−λE, Y = B(e

−λh


−1). Так как |e

−z

−1| ≤ |z|



для Re z ≥ 0, то Y

≤ B


(|λ

0

|+∆)h, и, следуя [2], получим ∆



1

=

98



| det (X + Y ) − det X| → 0, равномерно по λ ∈ C



0

) при h → +0

и, следовательно, существует h

0

> 0: ∆



1

< ∆

0

для всех λ ∈ C



0



).

Здесь и далее под векторной нормой понимается эрмитова векторная

норма

x =


x



x, а под матричной нормой — максимум из норм

столбцов матрицы. Таким образом, в силу теоремы Руше, получим,

что внутри круга, ограниченного окружностью C



0

), при h = h

0

существует корень уравнения g(λ, h) = 0. Пришли к противоречию.



Таким образом, у матрицы A + B не может быть собственного числа

в открытой правой полуплоскости. Теорема доказана.

Теорема 2. Система (1) абсолютно устойчива вместе со сво-

ей некоторой окрестностью, если и только если все собственные

числа матрицы A + e

B лежат в открытой левой полуплоскости



для любого θ ∈ [0, 2π].

Необходимость. Пусть система (1) абсолютно устойчива вместе

со своей некоторой окрестностью. Докажем, что собственные числа

матрицы A + e

B лежат в открытой левой полуплоскости. Сначала



докажем от противного, что она не имеет чисто мнимых собственных

чисел. Пусть g

θ

(λ) = det (A + e



B − λE), и существует θ ∈ [0; 2π]

такое, что g

θ

(iω) = 0 при некотором ω ∈ R



1

.

При этом возможна одна из двух ситуаций: 1) ω = 0 или 2) ω = 0.



Рассмотрим сначала второй случай. Матрица A + e

B − iωE осо-



бая, а равенство e

= e



−iωh

будет выполнено для всех h =

2πk−θ

ω

,



причем, за счет выбора целого k, можно добиться соотношения h > 0.

Таким образом, если ω = 0, то получаем явное противоречие с

абсолютной устойчивостью системы (1). Если же ω = 0, выберем

произвольное ε > 0, а элементы матриц A и B проварьируем

∆A =

ε

2



cos (

εh

2



)

sin (


εh

2

)



E, ∆B = −

ε

2



1

sin (


εh

2

)



E,

εh ∈ [π;


3

],



∆A

+

∆B =



ε

2

cos (



εh

2

)



sin (

εh

2



)

+

ε



2

1

sin (



εh

2

)



=

ε

2



1 − cos (

εh

2



)

sin (


εh

2

)



< ε,

так как функция

1−cos (

εh

2



)

sin (


εh

2

)



возрастает при εh ∈ [π;

3



] и принимает

максимальное значение при εh =

3

.



Пусть λ = i

ε

2



, тогда матрица G + ∆G = A + Be

−i

ε



2

h

особая, так



как равенство e

−i

ε



2

h

= e



будет выполнено для всех h =

2(2πk−θ)

ε

,



причем, за счет выбора целого k, опять же, можно добиться соот-

ношения h > 0. Полученное противоречие доказывает, что чисто

99

1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет