Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет13/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   57

0

такое, что существует λ



0

: Re λ


0

> 0


и g

θ

0



0

) = 0. Пусть θ ∈ [0; θ



0

].

Рассмотрим полукруг D(R) = { λ



Re λ ≥ 0, |λ| ≤ R}, содер-

жащий все корни уравнения g

θ

(λ) = 0, лежащие в открытой правой



полуплоскости. На границе D(R) выполнены все условия принципа

исключения нуля, значит в D(R) количество нулей для θ ∈ [0; θ

0

] по-


стоянно и совпадает с числом нулей функции g

0

= det (A + B − λE).



Но у матрицы A + B нет собственных чисел в открытой правой по-

луплоскости по теореме 1, значит, и g

θ

0

(λ) тоже не имеет нулей в от-



крытой правой полуплоскости. Пришли к противоречию с тем, что

существует λ

0

такое, что Re λ



0

> 0, g


θ

0



) = 0 при θ ∈ [0, 2π]. Необ-

ходимость полностью доказана.

Достаточность. Пусть все собственные числа матрицы A + Be

лежат в открытой левой полуплоскости. Докажем, что система (1)



абсолютно устойчива вместе со своей некоторой окрестностью.

Предположим сначала, что существует h

0

≥ 0 такое, что



det G(iω, h

0

) = 0. Тогда матрица A + Be



−iω

0

h



0

− iω


0

h

0



E особая. При

этом существует k: −ω

0

h

0



+ 2πk = θ

0

и θ



0

∈ [0, 2π]. Тогда у матрицы

A + Be



0



есть чисто мнимое собственное число, что явно противо-

речит условию.

Допустим теперь, что существует h, при котором уравнение

det G(λ, h) = 0 имеет корень в открытой правой полуплоскости.

Пусть h > 0 (случай h = 0 тривиален) и h = h(ε) = εh, где ε ∈ [0, 1].

Рассмотрим семейство функций z

ε

(λ) = det (A + Be



−λεh

− λE).


Определим полукруг D(R) = { λ

Re λ ≥ 0, |λ| ≤ R}, который со-

держит все корни уравнения z

ε

(λ) = 0, лежащие в открытой правой



полуплоскости. Тогда выполняются условия принципа исключении

нуля, и внутри полукруга функции z

ε=0

(λ) и z


ε=1

(λ) имеют одинако-

вое число нулей, а так как у матрицы A + B нет собственных чисбл

в правой полуплоскости, то система (1) абсолютно устойчива. Если

система (1) абсолютно устойчива, то она будет абсолютно устойчива

вместе со своей некоторой окрестностью. Это доказано, например, в

работе [2]. Теорема полностью доказана.

Проиллюстрируем применение теоремы в случае n = 2.

Выпишем характеристический полином для матрицы A + e

B



100

p (λ) = det (A − λE + Be

) = λ



2

− λsp (A + Be

) + det (A + Be



) =


= λ

2

+ aλ + b.



Необходимые условия абсолютной устойчивости системы (1) вме-

сте со своей некоторой окрестностью будут иметь вид

−sp A > |sp B|,

det (A + B) > 0,

det (A − B) > 0,

(2)


так как полиномы p (λ) при значениях θ = 0, π гурвицевы.

Известно, что (см., например, [3] (стр. 533, 534)) p (λ) гурвицев,

тогда и только тогда, когда выполняется

Re a > 0,

δ = Re a(Re aRe b + Im aIm b) − (Im b)

2

> 0,



(3)

где


Re a = −sp A + sp B(cos θ),

Im a = −sp B(sin θ),

Re b = det A + cos θ + det B(cos 2θ),

Im b = sin θ + det B(sin 2θ),

= det A + det B − det (A − B) = det (A + B) − det A − det B.

Из (3) получаем еще одно необходимое условие

∆ = Re aRe b + Im aIm b > 0,

или, что тоже, ∆ = a

1

(cos θ)


2

+ b


1

cos θ + c

1

> 0, где


a

1

= −2sp A det B,



b

1

= − sp A − sp B(det A + det B),



c

1

= − sp B − sp A(det A − det B).



(4)

полином ∆ — второй степени относительно cos θ, и ∆|

cos θ=−1

> 0,


т.е. условие ∆ > 0 будет выполняться, если и только если



det B ≤ 0;

det B > 0,

|b

1

| ≥ 2a



1

;

det B > 0,



|b

1

| < 2a



1

,

b



1

2

− 4a



1

c

1



< 0.

Из того, что ∆ > 0, а значит, Re b > 0 при Im b = 0, легко вывести

еще одно необходимое условие det A > | det B|.

101


Перейдем к рассмотрению второго неравенства из системы (3).

Подставляя в него выражения для Im b, Re a и ∆, получаем

δ = 4(det B)

2

(cos θ)



4

+ (4 det B − a

1

sp B)(cos θ)



3

+

+(



2

− 4(det B)

2

− a


1

sp A − b


1

sp B)(cos θ)

2

+

+(−b



1

sp A − c


1

sp B − 4 det B) cos θ − c

1

sp A −


2

> 0,


где a

1

, b



1

, c


1

удовлетворяют равенствам (4).

Или, что то же, δ = δ(t) = a

2

t



4

+ b


2

t

3



+ c

2

t



2

+ d


2

t + e


2

> 0, где


t = cos θ ∈ [−1, 1].

C учетом (2) гарантировано выполняется δ|

t=−1

> 0, δ|


t=1

> 0.


Итак, для абсолютной устойчивости системы (1) вместе со своей

некоторой окрестностью нужно гарантировать, чтобы, во–первых,

полином δ(t) не имел вещественных корней на отрезке [−1, 1] (для

этого можно воспользоваться методом Штурма) и, во–вторых, мат-

рицы A и B удовлетворяли условиям

−sp A > |sp B|,

det (A ± B) > 0.

Литература

1. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 c.

2. Купцов С.Ю. Оценка радиуса устойчивости линейной стационар-

ной системы дифференциально-разностных уравнений // Процес-

сы управления и устойчивость: Труды 30-й научной конференции

/ Под ред. В.Н. Старкова. – СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1999. С.

103-107.


3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 548 c.

102


Утешев А.Ю., Яшина М.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Нахождение расстояния между поверхностями

второго порядка в R

n

Задача. Найти расстояние между эллипсоидом



X

T

A



1

X + 2B


T

1

X = 1



(1)

и поверхностью

X

T

A



2

X + 2B


T

2

X = 1.



(2)

Здесь X ∈ R

n

— столбец переменных, {B



1

, B


2

} ∈ R


n

— заданные

столбцы; A

1

и A



2

— вещественные, симметричные матрицы n—го

порядка, причем A

1

— знакоопределенная [2]; T означает транспо-



нирование. Расстояние понимается в евклидовой метрике. Требуется

найти


d

def


= min

(X − Y )


T

(X − Y ) при X ∈ (1), Y ∈ (2).

(3)

Для решения поставленной задачи используем подход, предло-



женный авторами в [3]. Именно, целью ставится построение алгеб-

раического уравнения от одной переменной, среди корней которого

находится величина d

2

. Это уравнение является результатом исклю-



чения переменных X, Y, λ

1

, λ



2

из системы уравнений





z − (X − Y )

T

(X − Y ) = 0,



X − Y − λ

1

(A



1

X + B


1

) = O, −X + Y − λ

2

(A

2



X + B

2

) = O,



X

T

A



1

X + 2 B


T

1

X = 1, Y



T

A

2



Y + 2 B

T

2



Y = 1,

(4)


порожденной применением метода множителей Лагранжа к постав-

ленной задаче об условном экстремуме (3).

1. Результаты из теории исключения. Фактическое исклю-

чение переменных в алгебраической системе уравнений можно ре-

ализовывать либо вычислением базиса Грёбнера идеала, порождае-

мого полиномами этой системы, либо же построением многомерного

результанта системы.

103


Теорема 1 [1]. Полином f (x) = a

0

x



m

+ a


1

x

m−1



+ · · · + a

m

,



a

0

= 0, m ≥ 2, имеет кратный корень тогда и только тогда, когда



его дискриминант D(f ) обращается в нуль. Будем также исполь-

зовать обозначение D

x

(f ), если надо подчеркнуть относительно



какой переменной рассматривается полином. Дискриминант D(f )

может быть представлен в виде определителя порядка 2m − 2:

D(f ) = (−1)

m−1


D

[0]


/m

m−1


, где

D

[0] def



=

(5)


def

=

ma



0

(m − 1)a


1

(m − 2)a


2

. . .


a

m−1


ma

0

(m − 1)a



1

. . .


2a

m−2


a

m−1


O

. ..


. ..

. ..


ma

0

(m − 1)a



1

. . .


a

m−1


O

a

1



2a

2

. . .



ma

m

. .



.

. .


.

. .


.

a

1



2a

2

. . .



ma

m

O



a

1

2a



2

. . .


ma

m

.



Полином f (x) имеет единственный кратный корень (второй крат-

ности) тогда и только тогда, когда D

[0]

= 0, D


[1]

= 0; в этом случае

этот корень может быть представлен в виде

λ = −D


[1]

/D

[1]



.

(6)


Здесь D

[1]


и D

[1]


— миноры D

[0]


порядка 2m − 4, получающиеся из

него вычеркиванием первой и последней строки, первого столбца и,

соответственно, либо последнего, либо предпоследнего столбца.

2. Нахождение расстояния. Рассмотрим сначала случай цен-

тральных поверхностей. Пусть в (1) и (2) B

1

= O и B



2

= O.


В этом случае система (4) введением нового столбца переменных

Z

def



= λ

1

A



1

X = −λ


2

A

2



Y

(7)


приводится к виду

E −


1

λ

1



A

−1

1



1

λ



2

A

−1



2

Z = O, z = Z

T

Z = λ


1

+ λ


2

,

(8)



Z

T

A



−1

1

Z = λ



2

1

, Z



T

A

−1



2

Z = λ


2

2

(9)



104

при дополнительном условии

det E −


1

λ

1



A

−1

1



1

λ



2

A

−1



2

= det(λ


1

λ

2



A

2

A



1

− λ


1

A

1



− λ

2

A



2

) = 0.


Теорема 2. Поверхности X

T

A



1

X = 1 и X

T

A

2



X = 1 не пере-

секаются тогда и только тогда, когда матрица A

1

− A


2

является


знакоопределенной. При выполнении этого условия величина d

2

сов-



падает с минимальным положительным корнем уравнения

F(z)


def

= D


λ

(det(λA


1

+ (z − λ)A

2

− λ(z − λ)A



1

A

2



)) = 0

(10)


в предположении, что этот корень не является кратным.

Замечание 1. Как правило, имеем deg F = n(n + 1).

Пример 1. Найти расстояние между эллипсами

10x


2

− 12xy + 8y

2

= 1 и x


2

+ xy + y


2

= 1


и координаты их ближайших точек.

Решение. Представив дискриминант (10) в виде определителя

(5), найдем его величину:

936086976z

6

− 10969697376z



5

+ 50706209664z

4

− 115515184664z



3

+

+130176444432z



2

− 59826725574z + 2866271785.

Его положительные корни:

z

1



≈ 0, 05394, z

2

≈ 1, 33405, z



3

≈ 1, 95921, z

4

≈ 2, 87858.



Таким образом, расстояние между эллипсами равно

z



1

≈ 0, 23226.

Для определения пары ближайших точек на эллипсах подставим

z = z


1

в определитель (5) и, ” вырезав“ из него нужные миноры, опре-

делим соответствующее значение λ

1

по формуле (6): λ



1

≈ −0, 13576.

Второе из уравнений (8) даст значение λ

2

= z − λ



1

≈ 0, 18970. При

105


получившейся паре значений λ

1

и λ



2

определитель системы урав-

нений из (8) обращается в нуль. Система имеет нетривиальные ре-

шения, из которых нормированием вторым из условий (8) выделим

два: Z

T

= ±(0, 16116, 0, 16724). Тогда из уравнений (7) устанавлива-



ем ближайшие точки на эллипсах.

Ответ: d ≈ 0, 23226, ближайшие точки: ±(0, 38383, 0, 44186) и

±(0, 54499, 0, 60911) соответственно.

В случае, когда поверхности (1) и (2) общего вида (не обязательно

центральные), для нахождения расстояния воспользуемся обобщени-

ем понятия дискриминанта на случай полинома от двух переменных.

Формально, дискриминант полинома f (x, y) можно определить

как симметрическую функцию множества решений {(α

j

, β


j

)}

N



j=1

сис-


темы уравнений ∂f /∂x = 0, ∂f /∂y = 0, а именно,

D

x,y



(f )

def


=

N

j=1



f (α

j

, β



j

).

Можно доказать, что дискриминант представ´



им в виде рациональ-

ной функции коэффициентов полинома f ; метод Безу [4] дает конст-

руктивный способ его вычисления посредством представления в виде

подходящего определителя.

Теорема 3. Поверхности (1) и (2) не пересекаются тогда и

только тогда, когда уравнение

Φ(z)

def


= D

λ

det



A

2

B



2

B

T



2

−1 − z


− λ

A

1



B

1

B



T

1

−1



= 0

имеет все свои вещественные корни одного знака. При выполнении

этого условия величина d

2

совпадает с минимальным положитель-



ным корнем уравнения

F(z)


def

= D


µ

1



2

det µ


1

A

1



B

1

B



T

1

−1



+ µ

2

A



2

B

2



B

T

2



−1



A

2

A



1

A

2



B

1

B



T

2

A



1

B

T



2

B

1



− µ

1

µ



2

z

= 0



в предположении, что этот корень не является кратным.

106


Условие пересечения поверхностей (1) и (2) из теоремы 3 выте-

кает из следующих рассуждений. Экстремумы функции X

T

A

2



X +

2B

T



2

X − 1 на поверхности эллипсоида (1) будут одного знака тогда и

только тогда, когда поверхности (1) и (2) не пересекаются. Формули-

руем задачу об условном экстремуме функции X

T

A

2



X +2B

T

2



X −1−z

на поверхности (1), применяем метод множителей Лагранжа и ис-

ключаем из полученной системы алгебраических уравнений все пе-

ременные, кроме z.

Замечание 2. Как правило, имеем deg F(z) = 2n(n + 1).

Замечание 3. Условие простоты минимального корня из теорем

2 и 3 является критичным: в некоторых случаях величина d

2

может



не совпадать с этим корнем. Причина этого обсуждалась в [3].

Литература

1. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения: Учебное посо-

бие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002.

2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: ЛБЗ,

2003.


3. Утешев А.Ю., Яшина М.В. Нахождение расстояния между эллип-

соидом и гиперплоскостью в R

n

// Процессы управления и устой-



чивость: Труды 36-й научной конференции аспирантов и студен-

тов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во

СПбГУ, 2005. С. 112–115.

4. Bikker P., Uteshev A.Yu. On the B´ezout construction of the resultant.

// J. Symb. Comput. 1999. T.28, №1. P. 45–88.

107


Чашников М.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Использование запаздывания в задаче

стабилизации колебательной системы

Рекомендовано к публикации профессором Харитоновым В.Л.

1. Введение. Рассмотрим колебательную систему с n степенями

свободы, а именно, систему n материальных точек (грузов) с мас-

сами m


1

, . . . , m

n

, соединенных последовательно пружинами с коэф-



фициентами жесткости соответственно k

1

,. . . , k



n

. Через y

i

обозначим



расстояние между положением i-го груза и точкой подвеса первого

груза (см. рис. 1).

Рис. 1.

Запишем уравнения движения данной системы. Для этого рас-



смотрим силы, действующие на каждую массу. Очевидно, это сила

тяжести и силы, действующие на груз со стороны связанных с ним

пружин. Отсюда имеем







m

1



¨

y

1



= −k

1

y



1

+ k


2

(y

2



− y

1

) + m



1

g,

m



2

¨

y



2

= −k


2

(y

2



− y

1

) + k



3

(y

3



− y

2

) + m



2

g,

. . .



m

n

¨



y

n

= −k



n

(y

n



− y

n−1


) + m

n

g.



(1)

Положением равновесия системы (1) является, очевидно, вектор

y

0

= (y



0

1

, . . . , y



0

n

)



T

, координаты которого обращают правую часть (1)

108


в нуль. Запишем систему в отклонениях







m

1



¨

z

1



= −k

1

z



1

+ k


2

(z

2



− z

1

),



m

2

¨



z

2

= −k



2

(z

2



− z

1

) + k



3

(z

3



− z

2

),



. . .

m

n



¨

z

n



= −k

n

(z



n

− z


n−1

),

(2)



где z

i

= y



i

− y


0

i

.



Лемма 1. Нулевое решение системы (2) устойчиво по Ляпуно-

ву.


Доказательство. Введем функцию

Π(z) = Π(z

1

, . . . , z



n

) =


k

1

2



z

2

1



+

n

i=2



k

i

2



(z

i

− z



i−1

)

2



.

Механически эта функция интерпретируется как потенциальная

энергия системы (2), выбранная так, чтобы в положении равновесия

она обращалась в нуль. Теперь рассмотрим кинетическую энергию

K( ˙z) =

n

i=1



m

i

˙z



2

i

2



и введем обозначение V (z, ˙z) = Π(z) + K( ˙z). Очевидно, функ-

ция V (z, ˙z) положительно определена по совокупности переменных.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что ее производная

в силу системы (2) тождественно равна нулю, и, следовательно, по

теореме Ляпунова положение равновесия z = 0 устойчиво. Лемма

доказана.

Заметим, что система (2) имеет нетривиальное решение вида

e

λt



(c

1

, . . . , c



n

)

T



= e

λt

c, где λ — фиксированное комплексное число



тогда и только тогда, когда определитель матрицы







s



2

+

k



1

+k

2



m

1

−k



Каталог: bitstream
bitstream -> С. торайғыровтың публицистикасы
bitstream -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
bitstream -> «Қазақ» газетіндегі ұлт-азаттық көтеріліс туралы мақалалардың маңызы
bitstream -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
bitstream -> Грам м атические форм ы вы раж ения ком паративны Х отнош ений в научно-популярной лингвистической литературе
bitstream -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
bitstream -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
bitstream -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет