Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет14/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   57

2

m

1



0

. . .


0

−k

2



m

2

s



2

+

k



2

+k

3



m

2

0



. . .

0

0



−k

3

m



3

−k

4



m

3

. . .



0

..

.



..

.

..



.

..

.



..

.

0



. . .

−k

n−1



m

n−1


s

2

+



k

n−1


+k

n

m



n−1

−k

n



m

n−1


0

. . .


0

−k

n



m

n

s



2

+

k



n

m

n









109


обращается в нуль при s = 1. Обозначим его через

h(s) = s


2n

+ µ


1

s

2n−2



+ · · · + µ

n

.



Лемма 2. Полином h(s) имеет только чисто мнимые корни.

Доказательство. Поскольку в h(s) входят только четные степе-

ни s, то наряду с произвольным корнем λ он обязательно содержит и

корень −λ. Отсюда сразу следует, что Reλ = 0. В противном случае,

обязательно бы существовал корень с положительной вещественной

частью, что повлекло бы неустойчивость в противоречии с леммой

1. Лемма доказана.

2. Выбор стабилизирующего управления. Предположим,

что измерению доступно только положение верхнего груза, а управ-

ляющему силовому воздействию — только нижний груз. Приходим

к системе

˙x = Ax + bu,

ξ = cx.

(3)


Здесь x

T

= (z



1

, . . . , z

n

, ˙z


1

, . . . , ˙z

n

), b


T

= (0, . . . , 0, 1), c = (1, 0, . . . , 0),

A =

0

E



K

0

,



K =







−k



1

−k

2



m

1

k



2

m

1



0

. . .


0

k

2



m

2

−k



2

−k

3



m

2

k



3

m

2



. . .

0

0



k

3

m



3

−k

3



−k

4

m



3

. . .


0

..

.



..

.

..



.

..

.



..

.

0



. . .

0

−k



n−1

−k

n



m

n−1


k

n

m



n−1

0

. . .



0

k

n



m

n

−k



n

m

n









.

Лемма 3. Система (3) полностью управляема и полностью на-



блюдаема.

Доказательство. Покажем полную управляемость. В силу вида

вектора b, требуется показать, что последние столбцы матриц E, A,

A

2



, . . . , A

2n−1


образуют матрицу ранга 2n, т.е. линейно независимы.

Учитывая структуру A, сразу заметим, что

110


A

2p

=



K

p

0



0

K

p



, A

2p+1


=

0

K



p

K

p+1



0

, p = 0, n − 1.

(4)

Также, нетрудно убедиться, что последний столбец матрицы K



p

при


p = 0, n − 1 имеет нулевые компоненты на первых n − p − 1 местах и

только там, т.е.

K

p

i, n



= 0 ⇔ i < n − p.

Сопоставляя это с (4), заключаем, что матрица, составленная из век-

торов b, Ab, A

2

b, . . . , A



2n−1

b, имеет ранг 2n.

Аналогично доказывается полная наблюдаемость. Лемма доказа-

на.


Поставим теперь задачу выбора управления, стабилизирующего

систему (3). Искомое управление u(t) должно обспечивать асимпто-

тическую устойчивость уравнению

z

(2n)



1

+ µ


1

z

(2n−2)



1

· · · + µ

n

− u = 0.


В соответствии с результатами работы [1], будем искать управле-

ние в виде

u(t) = −kz

1

(t − τ ), τ > 0.



Задача сводится к нахождению значений параметров k и τ , для ко-

торых все корни характеристического квазиполинома

f (s) = s

2n

+ µ



1

s

2n−2



+ · · · + µ

n

+ ke



−sτ

= h(s) + ke

−sτ

имеют отрицательные вещественные части. Из леммы 2 следует, что



f (s) имеет вид

f (s) =


n

ν=1


(s

2

+ ω



2

ν

) + ke



−sτ

, 0 ≤ ω


1

≤ · · · ≤ ω

n

.

Как показано в [1], в случае 0 < ω



1

< · · · < ω

n

существование τ > 0,



удовлетворяющего условию

(−1)


ν

sin(τ ω


ν

) > 0, ν = 1, n,

(5)

влечет устойчивость f (s) при достаточно малых k > 0.



111

Теорема 1. Полином h(s) имеет простые, ненулевые, чисто

мнимые, попарно сопряженные корни.

Доказательство. То, что корни h(s) чисто мнимые и попарно

сопряженные, было показано в лемме 2. Отсутствие нулевого кор-

ня эквивалентно невырожденности матрицы A, что, в свою очередь,

равносильно невырожденности K. Последнее легко проверить, при-

ведя K к нижней треугольной матрице.

Теперь предположим, что h(s) имеет кратный корень −iω. Тогда,

согласно лемме 1, жорданова форма матрицы A имеет, как минимум,

две одинаковые клетки. Следовательно, степень минимального мно-

гочлена A не больше 2n−1, т.е. найдется нетривиальный набор чисел

c

0



, . . . , c

2n−1


такой, что

c

0



E + c

1

A + c



2

A

2



+ · · · + c

2n−1


A

2n−1


= 0.

Но это противоречит полной управляемости системы (3). Теорема

доказана.

Итак, в нашем случае выполняется условие 0 < ω

1

< · · · < ω

n

.



3. Заключение. После нахождения τ , удовлетворяющего усло-

виям (5), задача сводится к максимизации запаса устойчивости,

определяемого как

σ = − max

ν

Res


ν

,

где s



ν

— нули f (s). Из теории D-разбиения следует, что для данного

τ параметр k нужно искать в интервале (0, ˆ

k), где


ˆ

k = min


l

k = (−1)


l+1

n

ν=1



ω

2

ν



π

2



l

2

τ



2

k > 0, l = 0, 1, . . . .

Литература

1. Kharitonov V. L., Niculescu S.-I., Moreno J., Michiels W. Static

output feedback stabilization // IEEE Trans. on Automatic Control,

2005.


112

 

2. Математические

методы в механике и

физике

 


Бурова И.Г., Демина А.Ф.

Санкт-Петербургский государственный университет

О гладких сплайнах

с заданным свойством точности

Непрерывные и непрерывно дифференцируемые заданное число

раз минимальные сплайны со свойством точности на полиномах за-

данной степени подробно рассмотрены в монографии [1]. Здесь будут

предложены формулы для минимальных непрерывных и непрерыв-

но дифференцируемых сплайнов со свойством точности на достаточ-

но произвольных функциях.

Пусть функция u ∈ C

m+1


(R

1

), {x



j

} — сетка упорядоченных уз-

лов, r и r

1

— некоторые натуральные числа, m = r + r



1

− 1, функция

ϕ ∈ C

m

[x



k−r

1

+1



, x

k+r


].

1. Непрерывные минимальные сплайны. Предполагаем, что

базисный сплайн ω

j

(x) такой, что supp ω



j

= [x


j−r

, x


j+r

1

].



Теорема 1. На промежутке [x

k

, x



k+1

) аппроксимация u(x) вида

u(x) =

k+r


j=k−r

1

+1



u(x

j



j

(x),


где

ω

j



(x) =









j =j

−r

1



+1≤j −k≤r

ϕ(x) − ϕ(x

j

)

ϕ(x



j

) − ϕ(x


j

)

,



x ∈ [x

k

, x



k+1

),

k = j − r, . . . , j + r



1

− 1;


0,

x ∈ [x


j−r

, x


j+r

1

],



обладает свойством u(x) ≡ u(x), при u(x) = ϕ

i

(x), i = 0, . . . , m.



Здесь ω

j

∈ C[x



j−r

, x


j+r

1

].



2. Гладкие минимальные сплайны. В этом случае рассмат-

ривается базисный сплайн ω

j

(x), носитель которого на один сеточ-



ный интервал шире носителя сплайна ω

j

(x). Считаем, что supp ω



j

=

[x



j−r

, x


j+r

1

+1



].

Теорема 2. На промежутке [x

k

, x


k+1

) аппроксимация u(x) вида

u(x) =

k+r


j=k−r

1

u(x



j

j



(x),

113


где

ω

j



(x) =



















p

k



(x)

j =j


−r

1

+1≤j −k≤r



ϕ(x

k−r


1

) − ϕ(x


j

)

ϕ(x



j

) − ϕ(x


j

)

+



+

j =j


−r

1

+1≤j −k≤r



ϕ(x) − ϕ(x

j

)



ϕ(x

j

) − ϕ(x



j

)

,



x ∈ [x

k

, x



k+1

),

k = j − r, . . . , j + r



1

− 1;


−p

j+r


1

(x);


x ∈ [x

j+r


1

, x


j+r

1

+1



);

0,

x ∈ [x



j−r

, x


j+r

1

+1



],

а многочлен p

k

(x) степени 2l + 1 можно взять в виде



p

k

(x) =



l

λ=1


1

λ!

p



(λ)

k

(x



k

)(x − x


k+1

)

l+1



×

×

l−λ



s=0

(−1)


s

(l + s)!


l! s!

(x − x


k

)

λ+s



(x

k

− x



k+1

)

l+s+1



,

p

(λ)



k

(x

k



) = −

−r

1



+1≤j −k≤r−1

(ϕ(x) − ϕ(x

j

))

(λ)



x=x

k

−r



1

+1≤j −k≤r−1

(ϕ(x

k−r


1

) − ϕ(x


j

))

,



обладает свойством u(x) ≡ u(x), при u(x) = ϕ

i

(x), i = 0, . . . , m.



Здесь ω

j

∈ C



l

[x

j−r



, x

j+r


1

].

3. Численные эксперименты. Ниже приведены результаты



численных экспериментов на равномерной сетке с шагом h = 0, 1. В

первом столбце находятся аналитические выражения приближаемых

функций, а в остальных — погрешности приближения. В заголовках

столбцов указаны значения (r

1

, r). Погрешности приближения стро-



им по формуле max

[0, 1]


|u − u|.

Таблица 1. Приближения непрерывными сплайнами при ϕ(x) = x

(1, 1)

(2, 2)


(3, 3)

x

3



7, 13 · 10

−3

0



0

x

5



2, 15 · 10

−2

2, 67 · 10



−4

0

sin x



1, 02 · 10

−3

1, 91 · 10



−6

4, 20 · 10

−9

e

x



3, 23 · 10

−3

6, 07 · 10



−6

1, 26 · 10

−8

114


Таблица 2. Приближения непрерывными сплайнами при ϕ(x) = e

x

(1, 1)



(2, 2)

(3, 3)


x

1, 25 · 10

−3

1, 40 · 10



−5

5, 85 · 10

−7

x

3



3, 74 · 10

−3

7, 71 · 10



−5

6, 25 · 10

−6

x

5



1, 63 · 10

−2

1, 09 · 10



−4

6, 98 · 10

−6

sin x


1, 77 · 10

−3

1, 90 · 10



−5

4, 90 · 10

−7

e

3x



1, 30 · 10

−1

0



0

Таблица 3. Приближения гладкими сплайнами при ϕ(x) = x

(1, 1)

(2, 2)


(3, 3)

x

3



6, 19 · 10

−3

0



0

x

5



1, 50 · 10

−2

2, 33 · 10



−4

0

sin x



9, 11 · 10

−4

1, 71 · 10



−6

3, 86 · 10

−9

e

x



2, 84 · 10

−3

5, 34 · 10



−6

1, 23 · 10

−8

Таблица 4. Приближения гладкими сплайнами при ϕ(x) = sin x



(1, 1)

(2, 2)


(3, 3)

x

1, 74 · 10



−3

1, 29 · 10

−4

4, 82 · 10



−5

x

3



1, 18 · 10

−2

9, 31 · 10



−4

3, 52 · 10

−4

x

5



2, 84 · 10

−2

3, 30 · 10



−3

1, 34 · 10

−3

sin 3x


1, 13 · 10

−2

0



0

e

x



7, 70 · 10

−3

6, 02 · 10



−4

2, 28 · 10

−4

Таблица 5. Приближения гладкими сплайнами при ϕ(x) = e



x

(1, 1)


(2, 2)

(3, 3)


x

1, 20 · 10

−3

1, 34 · 10



−5

5, 50 · 10

−7

x

3



2, 95 · 10

−3

7, 29 · 10



−5

5, 86 · 10

−6

x

5



1, 28 · 10

−2

7, 94 · 10



−5

6, 41 · 10

−6

sin x


1, 53 · 10

−3

1, 36 · 10



−5

3, 72 · 10

−7

e

3x



1, 02 · 10

−1

0



0

Литература

1. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория минимальных сплайнов.

СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 316 с.

115


Бурова И.Г., Разжигаев С.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Оценка погрешности приближения непрерывными

экспоненциальными сплайнами третьего порядка

1. Построение непрерывных базисных функций. Пусть

l, s — целые неотрицательные числа, связанные соотношением l +

s = n, {x

j

} — упорядоченная по возрастанию сетка узлов на про-



межутке [a, b]. Функция u(x) задана в узлах сетки. Будем счи-

тать, что u ∈ C

n

[a, b]. Приближение u(x) для функции u(x) на



промежутке [x

j

, x



j+1

] строим по формуле u(x) =

k

u(x


k

k



(x).

Функции ω

k

(x), называемые базисными, будем находить из условий



u(x) − u(x) = 0, u = ϕ

i

(x), i = 1, . . . , n, где ϕ



i

∈ C


n

[x

j−l+1



, x

j+s


].

При условии supp ω

j

= [x


j−s

, x


j+l

] количество уравнений в систе-

ме совпадает с количеством неизвестных. Система принимает вид

j+s


k=j−l+1

ϕ

i



(x

k



k

(x) = ϕ


i

(x), i = 1, . . . , n.

В предположении, что определитель Вандермонда, построенный по

системе {ϕ

i

}, i = 1, . . . , n, D =



k+1−l≤i

(ϕ(x


j

) − ϕ(x


i

)), отличен

от нуля на промежутке [x

j−l+1


, x

j+s


] ⊂ [a, b] получаем

ω

j



(x) =









j =j

k+1−l≤j ≤k+s

ϕ(x) − ϕ(x

j

)



ϕ(x

j

) − ϕ(x



j

)

,



x ∈ [x

k

, x



k+1

),

k = j − s, . . . , j + l − 1,



0,

x ∈ [x


j−s

, x


j+l

].

Заметим, что в соответствии с результатами [1], при l ≥ 1, s ≥ 1



базисные сплайны ω

j

непрерывны на промежутке [a, b].



2. Построение решения ассоциированного дифференци-

ального уравнения. Предположим, что определитель Вронского

W (x), построенный по системе {ϕ

i

}, i = 1, . . . , n, отличен от нуля на



промежутке [x

j−l+1


, x

j+s


] ⊂ [a, b].

Пусть Lu = u

(n)

(x) + p


1

(x)u


(n−1)

(x) + . . . + p

n

(x)u(x) = 0 — ли-



нейное, однородное, дифференциальное уравнение, имеющее фунда-

ментальную систему решений ϕ

1

(x), . . . , ϕ



n

(x). Построим общее ре-

116


шение u(x) неоднородного уравнения Lu = f (x) методом вариации

произвольных постоянных [2]. Получаем

u(x) =

n

i=1



ϕ

i

(x)



x

η

W



ni

(t)f (t)


W (t)

dt +


n

i=1


C

i

ϕ



i

(x),


где C

i

— произвольные постоянные, а η — точка из промежутка



[x

j

, x



j+1

], W


ni

— алгебраические дополнения.

3.

Оценка


погрешности.

Оценим


|u(x) − u(x)|.

При


x ∈ [x

j

, x



j+1

] имеем


u(x) − u(x) =

j+s


k=j−l+1

u(x


k

k



(x) − u(x) =

=

j+s



k=j−l+1

ω

k



(x)

n

i=1



ϕ

i

(x



k

)

x



k

η

W



ni

(t)f (t)


W (t)

dt +


n

i=1


C

i

ϕ



i

(x

k



) −

n



i=1

ϕ

i



(x)

x

η



W

ni

(t)f (t)



W (t)

dt −


n

i=1


C

i

ϕ



i

(x).


Ввиду аппроксимационных соотношений из п. 1 и η = x, искомая

оценка принимает вид

|u(x) − u(x)| ≤ Lu

[x

j−l+1



,x

j+s


]

n

i=1



j+s

k=j−l+1


max

x∈[x


j

,x

j+1



]

k



(x)| ×

× sign(x


k

− x)


x

k

x



ϕ

i

(x



k

)

W



ni

(t)f (t)


W (t)

dt.


4. Оценки погрешности экспоненциальными сплайнами.

Пусть даны функции ϕ

1

(x) = 1, ϕ



2

(x) = e


(x)

, ϕ


3

(x) = e


(2x)

, ϕ


4

(x) =


e

(3x)


. Вронскиан данной системы функций W = 12e

(6x)


. При доста-

точно густой сетке узлов рассмотрим приближение

u(x) =

j+3


k=j

u(x


k

k



(x), x ∈ [x

j

, x



j+1

],

где из условия u(x) = u(x), u(x) = ϕ



i

(x), i = 1, . . . , 4, s = 1, l = 3,

supp ω

j

= [x



j−1

, x


j+3

], получаем ω

k

, k = j − 2, j − 1, j, j + 1.



117
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет