Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет15/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   57

dt.

При равномерной сетке узлов {x

j

} с достаточно мелким шагом h



имеем

j



(x)| ≤ 1, 057 ,

j+1



(x)| ≤ 1 ,

j−1



(x)| ≤ 0, 316 ,

j−2



(x)| < 0, 065. Отсюда получаем оценку погрешности

|u(x) − u(x)| ≤ K

0

h

4



u

− 6u + 11u − 6u

[x

j−1


,x

j+2


]

, K


0

≈ 0,4453.

5. Результаты численного эксперимента на промежутке

[0, 1] при равномерной сетке с шагом h

1

= 0, 1 и h



2

= 0, 001.

Будем использовать обозначения: R

e

h



i

= max


x∈[0,1]

|u(x) − u(x)| —

экспериментальная погрешность, R

t

h



i

= max


x∈[0,1]

|u(x)−u(x)| — тео-

ретическая погрешность при шаге h

i

.



Таблица 1. Результаты численного эксперимента

u(x)


R

e

h



1

R

t



h

1

R



e

h

2



R

t

h



2

e

4x



0, 4 · 10

−3

0, 6 · 10



−3

0, 5 · 10

−6

0, 6 · 10



−5

sin(4x)


0, 2 · 10

−3

0, 2 · 10



−2

0, 2 · 10

−6

0, 2 · 10



−5

Литература

1. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория минимальных сплайнов.

СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 316 с.

2. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифферен-

циальных уравнений. СПб.: Лань, 2003. 832 c.

118


Бурова И.Г., Тимофеев В.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Об эрмитовых аппроксимациях с заданным

свойством точности

Здесь предложены аппроксимации, обладающие свойством точ-

ности на степенях достаточно произвольной функции ϕ с носителя-

ми, занимающими заданное связное множество сеточных интерва-

лов.


На интервале (a, b) рассмотрим сетку {x

j

}, . . . < x



j−1

< x

j

<

x

j+1


< . . . . Функцию u ∈ C

m+1


(a, b) будем приближать функциями

u(t) вида

u(t) =

j

s



α=0

u

(α)



(x

j



j,α

(t),


(1)

где s — неотрицательное число, а ω

def

=



j,α

| j ∈ Z, α = 0, . . . , s} —

семейство функций с компактным носителем на (a, b). Предположим,

что кратность семейства ω конечна: æ

(t)

(a,b)


(ω) < +∞.

Нетрудно видеть, что аппроксимация (1) точна на функциях

ϕ

α

(t) = ϕ



α

(t), α = 0, . . . , m тогда и только тогда, когда

j

s

α =0



ϕ

α−α


(x

j

)



(α − α )!

ω

j,α



(t) =

ϕ

α



(t)

α!

,



α = 0, . . . , m;

здесь считаем, что g

γ

/γ! = 0 при γ < 0, и x



γ

/γ! = 1 при γ = 0.

Предполагаем, что вронскиан системы функций ϕ

α

(t) = ϕ



α

(t),


α = 0, . . . , m, отличен от нуля на промежутке [a, b].

Предположим, что неотрицательные числа r и r

1

таковы, что r +



r

1

= M , (s + 1)M = m + 1, supp ω



j,α

= [x


j−r

.x

j+r



1

], α = 0, . . . , s.

Тогда, при t ∈ (x

k

, x



k+1

) получаем

k+r

j=k−r


1

+1

s



k,j

α=0


β

(x



j

))

(α)



ω

j,α


(t) = ϕ

β

(t), 0 ≤ β ≤ m,



(2)

здесь (ϕ


β

(x

j



))

(α)


означает производную порядка α от функции ϕ

β

(t)



в точке x

j

.



119

Матрица системы уравнений (2) состоит из прямоугольных бло-

ков (X


j

, X


(1)

j

, . . . , X



(s)

j

),



j = 1, . . . , M , здесь и далее через X бу-

дем обозначать вектор-столбец (1, ϕ(t), . . . , ϕ

m

(t)), а X



(i)

j

— вектор-



столбец, составленный из i-x производных компонент вектора X ,

причем символ j означает, что вектор-функции от t вычислены в

точке t = x

j

.



Итак, матрица системы (2) может быть записана в виде суммы

k−r


1

+1


(X

j

, X



(1)

j

, . . . , X



(s)

j

).



Теорема 1. Справедлива формула

det(X


1

, X


(1)

1

, . . . , X



(s)

1

. . . X



M

, X


(1)

M

, . . . , X



(s)

M

=



= (1! 2! . . . s!)

M

1≤j

(ϕ(x

i

) − ϕ(x



j

))

(s+1)



2

M

i=1



ϕ (x

i

).



Доказательство. Доказательство проводится дифференцирова-

нием определителя Вандермонда det(X

1

, . . . , X



s+1

, . . . , X

M (s+1)

), по


входящим в него переменным x

j

, j = 1, . . . , M следующим образом:



один раз по x

2

, два раза по x



3

, . . ., s раз по x

s+1

и, полагая x



1

=

x



2

= . . . = x

s+1

, и т.д.


Рассмотрим теперь систему линейных алгебраических уравнений

X

1



, X

(1)


1

, . . . , X

(s)

1

, . . . , X



M

, X


(1)

M

, . . . , X



(s)

M

V = X ,



где вектор-функция V имеет вид

V = (v


1,0

, . . . , v

1,s

, . . . , v



M,0

, . . . , v

M,s

).

По теореме Крамера имеем



v

j,i


(t) =

det(. . . + (X

j

, X


(1)

j

, . . . , X



(i−1)

j

, X , X



(i+1)

j

, . . . , X



(s)

j

) + . . .)



det

1≤j ≤M


(X

j

, X



(1)

j

, . . . , X



(s)

j

)



,

j = 1, . . . , M , i = 1, . . . , s. Здесь определитель в числителе получается

из определителя в знаменателе заменой столбца X

(i)


j

на столбец X , в

120


первом из определителей выписана j-я группа столбцов, а остальные

группы обозначены многоточием.

Пусть s = 0. В этом случае m + 1 = M , имеем

ω

j,0



(t) =









j =j

k+1−r


l

≤j ≤k+r


ϕ(t) − ϕ(x

j

)



ϕ(x

j

) − ϕ(x



j

)

,



t ∈ [x

k

, x



k+1

),

k = j − r, . . . , j + r



1

− 1;


0,

t ∈ [x


j−r

, x


j+r

1

].



Приведенные здесь сплайны успешно использовались при реше-

нии соответствующих интерполяционных задач. Приведем результа-

ты численных экспериментов.

Пример. Пусть на промежутке [0, 1] задана равномерная сетка

узлов с шагом h = 0, 1.

Таблица 1. Результаты численного эксперимента для u(t) = e

sin(3t)

max


t∈[0,1]

|u(t) − u(t)|

ϕ(t)

s

r



1

= r


0, 1 · 10

−5

e



t

1

2



0, 2 · 10

−7

e



t

1

3



0, 6 · 10

−13


t

2

3



Таблица 2. Результаты численного эксперимента для u(t) = e

−t

2



max

t∈[0,1]


|u(t) − u(t)|

ϕ(t)


s

r

1



= r

0, 3 · 10

−8

e

t



1

2

0, 6 · 10



−11

e

t



1

3

Литература



1. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория минимальных сплайнов.

СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 316 с.

2. Бурова И.Г., Тимофеев В.А. Построение сплайнов ненулевой вы-

соты // Методы вычислений. Вып. 21. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005.

С. 31–39.

121


Давыденко А.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Условие вылета звезды из скопления

в галактическом поле

Рекомендовано к публикации доцентом Осипковым Л.П.

Введение. Исследование динамики звездных скоплений не явля-

ется тривиальным и определяется большим количеством факторов:

локальных и глобальных, случайных и постоянных. Так, на дина-

мику скопления оказывают влияние: поле скопления, галактическое

поле, возмущения, вызванные средой, в которой движется скопле-

ние и пр. В этом случае нахождение движения звезд, с учетом сово-

купности всевозможных возмущений, представляется ресурсоемким

процессом, более того, является малореализуемым. Часто бывает до-

статочным учитывать два фактора: поле скопления и галактическое

поле. Задачу о движении звезды в поле скопления и Галактики пер-

вым рассмотрел Бок [1].

Одним из способов исследования динамики скопления является

численное решение задачи N тел. При текущем уровне развития вы-

числительной техники этот подход является очень ресурсоемким.

В случае изолированного скопления, существуют критерии ухо-

да звезды из скопления. Так, уход звезды из скопления будет воз-

можен, когда значения интеграла энергии рассматриваемой звезды

будет превышать критическое значение (J > J

). В случае, когда



движение звезды определяется как полем скопления, так и полем

Галактики, критерии ухода звезды из скопления для изолированно-

го скопления не всегда применимы. При выполнении условия ухода

из изолированного скопления звезда под действием поля Галактики

может оказаться связанной со скоплением. Данную задачу рассмот-

рели Хегги с соавторами [2]. Моделируя скопление точечной мас-

сой, они нашли достаточное условие вылета звезды из скопления. В

данной работе производится обобщение условия вылета звезды для

различных моделей скопления.

Уравнения движения. Будем рассматривать скопление, дви-

жущееся по круговой орбите в Галактике с круговой скоростью Ω

0

.



Предположим, что потенциал Галактики обладает ротационной и

зеркальной симметрией.

122


Введем неподвижную галактоцентрическую правую систему ко-

ординат (X, Y, Z). Начало отсчета данной системы совпадает с цен-

тром Галактики. Плоскость XY совпадает с плоскостью Галактики,

а ось Z перпендикулярна ей. Введем вращающуюся систему коорди-

нат (x, y, z). Начало данной системы совпадает с центром рассмат-

риваемого скопления. Здесь ось x направлена от центра Галактики,

ось y направлена в сторону движения скопления, а ось z параллельна

оси Z.


Для потенциала Галактики будем принимать приливное прибли-

жение:


Φ

g

=



1

2



2

r

x



2

− κ


2

z

z



2

).

Здесь κ



r

– так называемый приливной инкремент [3], κ

z

– частота



малых вертикальных колебаний.

Ограничимся исследованием движений в плоскости xy. Безраз-

мерные уравнения движения звезды в поле скопления и Галактики

запишутся в следующем виде

¨

x − γ ˙y − x =



∂Φ

∂x,


¨

y + γ ˙x =

∂Φ

∂y.


(1)

За единицу длины принят радиус критической поверхности Хил-

ла, за единицу времени – κ

−1

r



, за единицу массы – массу скопления.

Безразмерный параметр γ = 2Ω

0



r



определяет влияние поля Га-

лактики на скопление. Увеличение данного параметра соответствует

большему влиянию Галактики, а уменьшение, соответственно, боль-

шему влиянию скопления на движение звезд. На околосолнечном

расстоянии от центра Галактики γ

1, 28.


Для потенциала скопления Φ будем рассматривать следующие

модели:


—потенциал Шустера–Пламмера Φ(r) =

Φ

0



(1+

r2

a2



)

1/2


,

—потенциал скопления, представленный рядом Φ(r) =

k=1


A

k

r



k

.

Вторая модель является более общей.



При допущениях, принимаемых в статье, анализ обеих моделей

проводится одинаково. Поэтому основные результаты будем приво-

дить для второй модели.

Под уходом звезды из скопления будем понимать такое движение,

при котором r → ∞ при t → ∞. В пределе при r → ∞ правую часть

123


уравнения (1) в первом приближении можно не учитывать. Тогда

решение принимает вид

x = −γC

2



g

y

C



3

cos gt +


g

γ

C



4

sin gt,


g =

γ

2



− 1,

y = C


1

+ C


2

t + C


3

sin gt + C

4

cos gt,


константы C

1

, C



2

, C


3

, C


4

определяются из начальных данных. За-

пишем решение в более удобном для анализа виде:

x = X + a cos gt + θ,

y = Y −

γ

g



a sin gt + θ,

(2)


где Y = Y

0



1

γ

Xt. Постоянные X, Y, Y



0

, a, θ определяются следущим

образом:

X = −C


2

γ,

Y = Y



0

1



γ

Xt,


Y

0

≡C



1

,

a = −



g

γ

C



2

3

+ C



2

4

,



tgθ =

C

4



C

3

.



Такое решение представляет движение звезды по эпициклической

орбите, а X, Y выполняют роль ведущего центра. Если учитывать

правую часть уравнений (1), то указанные величины будут меняться

со временем. Используя метод вариации постоянных, найдем выра-

жения для этих констант в общем виде:









˙



X =

γ

g



2

∂Φ

∂y



,

˙

Y = −



1

γ

X −



γ

g

2



∂Φ

∂x

,



˙a = −

1

g



∂Φ

∂x

sin(gt + θ) −



γ

g

2



∂Φ

∂y

cos(gt + θ).



(3)

Подставляя в уравнение (3) используемый потенциал, получаем

















˙

X =


γ

g

2



y

n=1



nA

n

(x



2

+ y


2

)



n+2

2

,



˙

Y = −


γ

g

2



x

n=1



nA

n

(x



2

+ y


2

)



n+2

2



1

γ

X,



˙a = −

1

g



sin(gt + θ)

n=1



nA

n

(x



2

+ y


2

)



n+2

2



γ

g



2

cos(gt + θ)y

n=1


nA

n

(x



2

+ y


2

)



n+2

2

.



(4)

124


Подставим (2) в (4), будем учитывать только члены старших поряд-

ков, а также проведем усреднение по эпициклическому движению.

В результате получим:

˙

X = −



γ

g

2



A

1

β



Y

a

3



, ˙

Y =


γ

g

2



A

1

α



X

a

3



1

γ



X, ˙a = 0.

где


α =

1



0

γ



2

g

2



sin(τ )

2

− 2 cos(τ )



2

(cos(τ )


2

+

γ



2

g

2



sin(τ )

2

)



5/2

dτ,


β =

1



0

1



(cos(τ )

2

+



γ

2

g



2

sin(τ )


2

)

3/2



dτ.

Критерий ухода. Из уравнений (2) видно, что уход возможен

как при X > 0, в этом случае Y → − ∞, так и при X < 0, в этом

случае Y → + ∞. Из уравнений (3) видно, что хоть X и не являет-

ся константой, все же, с увеличением r изменения данной величины

уменьшаются. Идея критерия заключается в следующем: необходи-

мо наложить такие условия на начальные данные, чтобы X не могла

бы поменять со временем знак, и, таким образом, центр эпицикли-

ческого движения удалялся на бесконечность от центра скопления,

уводя с собой звезду.

Очевидно, что

r≥|y|≥|Y | −

γ

g

|a|.



(5)

Для того, чтобы обеспечить уход звезды из скопления, достаточно

показать, что R → ∞ при t → ∞, где

R = |Y | −

γ

g

|a|.



(6)

Выделим ограничения на начальные данные, с помощью которых

попытаемся оценить решение (3). Во-первых, R

0

> 0, во-вторых, X



0

и Y


0

должны иметь разные знаки, и в-третьих, должна существовать

положительная величина V , такая что R≥R

0

+ V t.



Заметим, что y не может менять знак (следует из первого и тре-

тьего условий и (5)), а сохраняет знак Y

0

, и, таким образом, y со-



храняет знак и X

0

(согласно второму условию). Отсюда, из первого



125

уравнения (3) имеем |X|≥|X

0

|, t≥0. Исследуя второе и третье урав-



нения в (3), получаем следующие оценки:

|Y |≥|Y


0

| +


1

γ

|X



0

|t +


γ

g

2



t

0



r

2

,



t≥0,

|a|≤|a


0

| +


1

γ

|X



0

|t −


g + γ

g

2



t

0

dt



r

2

,



t≥0.

Тогда из (6) следует

R≥R

0

+



1

γ

|X



0

|t +


γ

g

2g + γ



g

2

t



R

2

0



,

t≥0.


Это согласуется с последним условием, т.е.

3

2



|X

0

| +



γ

g

2g + γ



g

2

1



R

2

0



> V.

Критерий ухода звезды из скопления даёт

Утверждение. Для того, чтобы обеспечить уход звезды из

поля скопления, т.е. обеспечить выполнение условия R → ∞ при

t → ∞, достаточно, чтобы в момент времени t = 0, выполнялись

следующие условия: 1) R

0

> 0, 2) X



0

Y

0



< 0, 3) ∃V > 0 : R≥R

0

+ V t,



∀t > 0.

Литература

1. Bok B.J. The stability of moving clusters // Harvard College Observ.

Circular. 1934. № 384. P. 1–41.

2. Ross D.J., Mennim A., Heggie D.C. Escape from a tidally limited

star cluster // Mon. Not. Astron. Soc. 1997. Vol. 284. P. 811–814.

3. Кутузов С.А., Олемской И.В., Осипков Л.П., Старков В.Н. Ма-

тематические методы исследования космических систем. СПб.:

КМУ физ. ф-та СПбГУ, 2003. С. 155–178.

126


Демьянов И.С.

Санкт-Петербургский государственный университет

Оптимизационные модели в задачах

распознавания популяций

Рекомендовано к публикации доцентом Иголкиным В.Н.

1. Введение. Рассматривается следующая задача. В простран-

стве R

n

заданы две популяции Ω



1

и Ω


2

с плотностями распределения

вероятностей, соответственно, f

1

и f



2

:

f



1

(x) ≥ 0, f

2

(x) ≥ 0,


R

n

f



1

(x)dx =


R

n

f



2

(x)dx = 1.

Будем предполагать, что функции f

1

и f



2

непрерывны на R

n

. Тре-


буется найти правило, по которому точка x ∈ Ω

1

∪ Ω



2

идентифици-

руется как точка из популяции Ω

1

или из популяции Ω



2

. Подобные

задачи возникают, например, в теории распознавания образов и в


Каталог: bitstream
bitstream -> С. торайғыровтың публицистикасы
bitstream -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
bitstream -> «Қазақ» газетіндегі ұлт-азаттық көтеріліс туралы мақалалардың маңызы
bitstream -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
bitstream -> Грам м атические форм ы вы раж ения ком паративны Х отнош ений в научно-популярной лингвистической литературе
bitstream -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
bitstream -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
bitstream -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет