Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет16/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   57

диагностике.

Разобъем пространство R

n

на два множества Q



1

и Q


2

:

Q



1

⊂ R


n

, Q


2

= R


n

\ Q


1

.

(1)



Очевидно, Q

1

∪ Q



2

= R


n

, Q


1

∩ Q


2

= ∅.


Будем использовать следующее идентификационное правило.

Если x ∈ Q

1

, то считаем, что x ∈ Ω



1

; если же x ∈ Q

2

, то считаем,



что x ∈ Ω

2

.



Все множество разбиений пространства R

n

на пары [Q



1

, Q


2

], удо-


влетворяющие (1), обозначим S:

S = {[Q


1

, Q


2

] | Q


1

⊂ R


n

, Q


2

= R


n

\ Q


1

}.

Требуется выбрать оптимальную в некотором смысле пару из



S. Положим F

1

(Q



1

, Q


2

) =


Q

2

f



1

(x)dx,


F

2

(Q



1

, Q


2

) =


Q

1

f



2

(x)dx.


Величина F

1

(Q



1

, Q


2

) представляет собой часть (долю) популяции

1

, неверно идентифицированной описанным выше идентификаци-



онным правилом, а величина F

2

(Q



1

, Q


2

) представляет собой часть

(долю) неверно идентифицированной популяции Ω

2

. Далее рассмат-



риваются два возможных функционала Φ

1

(Q



1

, Q


2

) и Φ


2

(Q

1



, Q

2

):



Φ

1

(Q



1

, Q


2

) =


Q

2

f



1

(x)dx +


Q

1

f



2

(x)dx = F

1

(Q

1



, Q

2

) + F



2

(Q

1



, Q

2

),



127

Φ

2

(Q



1

, Q


2

) = max{F

1

(Q

1



, Q

2

), F



2

(Q

1



, Q

2

)}.



При этом предполагается, что функции f

1

, f



2

и множества Q

1

,

Q



2

таковы, что интегралы в смысле Римана или Лебега существуют.

Теперь можно поставить две задачи на минимум.

Задача 1. Найти

inf

[Q

1



,Q

2

]∈S



Φ

1

(Q



1

, Q


2

) = Φ


1

(Q



1

, Q


2

).



Задача 2. Найти

inf


[Q

1

,Q



2

]∈S


Φ

2

(Q



1

, Q


2

) = Φ


2

(Q

∗∗



1

, Q


∗∗

2

).



Для задачи 1 оптимальное решение очевидно:

Q



1

= x ∈ R


n

| f


1

(x) ≥ f


2

(x) , Q


2

= x ∈ R



n

| f


1

(x) < f


2

(x) . (2)

Ниже подробно рассматривается случай R

1

= R = (−∞, +∞) (в п. 2



в общем виде, а в п. 3 для нормально распределенных величин).

2. Одномерный случай. Каждое множество Q ⊂ R с любой

степенью точности может быть аппроксимировано множеством, яв-

ляющимся объединением конечного числа интервалов.

Вначале рассмотрим множество

S

1



= {[Q

1

, Q



2

] | Q


1

= (−∞, x


1

], Q


2

= (x


1

, +∞)}.


Очевидно, S

1

⊂ S. Тогда



Φ

1

(Q



1

, Q


2

) = ϕ


1

(x

1



) =

x

1



−∞

f

2



(x)dx +

x



1

f

1



(x)dx.

(3)


При сделанных предположениях о непрерывности функций f

1

и f



2

функция ϕ

1

(x

1



) является непрерывно дифференцируемой на R. Из

(3) имеем необходимое условие минимума (и максимума) функции

ϕ

1

(x



1

) на R (и функции Φ

1

(Q

1



, Q

2

) на множестве S



1

)

f



1

(x



1

) = f


2

(x



1

).

(4)



Функционал Φ

2

(Q



1

, Q


2

) на множестве S

1

имеет вид



Φ

2

(Q



1

, Q


2

) = ϕ


2

(x

1



) = max

x

1



−∞

f

2



(x)dx,

x



1

f

1



(x)dx .

128


Так как ϕ

2

(x



1

) = max{F

1

(x

1



), F

2

(x



1

)}, где


F

1

(x



1

) =


x

1

−∞



f

2

(x)dx, F



2

(x

1



) =

x



1

f

1



(x)dx,

то из необходимого условия минимума функции максимума (см.

[1]) имеем следующие условия: если x

1



– точка минимума функции

ϕ

2



(x

1

), то в случае F



1

(x



1

) > F


2

(x



1

) должно быть f

2

(x



1

) = 0; в случае

F

1

(x



1

) < F



2

(x



1

): f


1

(x



1

) = 0; а в случае F

1

(x



1

) = F


2

(x



1

):

0 ∈ [f



1

(x



1

), −f


2

(x



1

)].


Так как функции f

1

и f



2

неотрицательны, то последнее условие

выполнено всегда, и требуется только найти точку x

1



, в которой

F

1



(x

1



) = F

2

(x



1

), т. е. найти корень уравнения h(x) = 0, где h(x) =



F

1

(x) − F



2

(x). Так как функция h(x) непрерывна на R (ее инфимум

равен −1, а супремум равен +1), то корень упомянутого уравнения

существует.

Теперь рассмотрим множество

S

2



= {[Q

1

, Q



2

] | Q


1

= (−∞, x


1

] ∪ (x


2

, +∞),


Q

2

= (x



1

, x


2

], x


1

< x

2

}.



Очевидно, S

2

⊂ S. Построим функцию



Φ

1

(Q



1

, Q


2

) = ϕ


1

(x

1



, x

2

) =



x

1

−∞



f

2

(x)dx +



+∞

x

2



f

2

(x)dx +



x

2

x



1

f

1



(x)dx.

При сделанных предположениях о непрерывности функций f

1

и f


2

функция ϕ

1

(x

1



, x

2

) является непрерывно дифференцируемой на R



2

,

причем ϕ



1

(x

1



, x

2

) = (f



2

(x

1



) − f

1

(x



1

), f


1

(x

2



) − f

2

(x



2

)). Необходимые

условия минимума имеют вид

f

2



(x

1



) = f

1

(x



1

),



f

1

(x



2

) = f



2

(x



2

).

Функционал Φ



2

(Q

1



, Q

2

) на множестве S



2

имеет вид

Φ

2

(Q



1

, Q


2

) = ϕ


2

(x

1



, x

2

) = max{F



1

(x

1



, x

2

), F



2

(x

1



, x

2

)},



где

F

1



(x

1

, x



2

) =


x

1

−∞



f

2

(x)dx +



+∞

x

2



f

2

(x)dx,



F

2

(x



1

, x


2

) =


x

2

x



1

f

1



(x)dx.

129


Функции F

1

(x



1

, x


2

) и F


2

(x

1



, x

2

) дифференцируемы на R



2

, причем


F

1

(x



1

, x


2

) = (f


2

(x

1



), −f

2

(x



2

)),


F

2

(x



1

, x


2

) = (−f


1

(x

1



), f

1

(x



2

)).


Из необходимого условия минимума функции максимума (см. [1])

имеем следующие условия: если (x

1

, x



2

) – точка минимума функции



ϕ

2

(x



1

, x


2

), то в случае F

1

(x



1

, x


2

) > F



2

(x



1

, x


2

) должно быть



f

2

(x



1

) = f



2

(x



2

) = 0;


(5)

в случае F

1

(x



1

, x


2

) < F



2

(x



1

, x


2

)



f

1

(x



1

) = f



1

(x



2

) = 0;


(6)

а в случае F

1

(x



1

, x


2

) = F



2

(x



1

, x


2

), соответственно,



(0, 0) ∈ co{F

1

(x



1

, x



2

), F



2

(x



1

, x


2

)},



т.е. должно найтись такое α ∈ [0, 1], что

(0, 0) = αF

1

(x



1

, x


2

) + (1 − α)F



2

(x



1

, x


2

).



Отсюда, учитывая вид производных, найдем

f

1



(x

1



)f

2

(x



2

) = f



1

(x



2

)f

2



(x

1



).

(7)


Аналогичные результаты можно получить для множеств S

k

(когда



R делится на k интервалов). В частности, для множества S

3

:



S

3

= {[Q



1

, Q


2

] | Q


1

= (−∞, x


1

] ∪ (x


2

, x


3

],

Q



2

= (x


1

, x


2

] ∪ (x


3

, +∞), x


1

< x

2

< x

3

}

для функционала Φ



1

условия минимума на S

3

имеют вид



f

2

(x



1

) = f



1

(x



1

),

f



1

(x



2

) = f


2

(x



2

),

f



1

(x



3

) = f


2

(x



3

).

Для функционала Φ



2

получаем следующие условия минимума на

S

3

: если (x



1

, x



2

, x



3

) – точка минимума функции ϕ



2

(x

1



, x

2

, x



3

), то в


случае F

1

(x



1

, x



2

, x



3

)) > F



2

(x



1

, x


2

, x



3

) должно быть



f

2

(x



1

) = f



2

(x



2

) = f


2

(x



3

) = 0;


(8)

в случае F

1

(x



1

, x


2

, x



3

)) < F



2

(x



1

, x


2

, x



3

)



f

1

(x



1

) = f



1

(x



2

) = f


1

(x



3

) = 0;


(9)

130


а в случае F

1

(x



1

, x



2

, x



3

)) = F



2

(x



1

, x


2

, x



3

), соответственно,



(0, 0) ∈ co{F

1

(x



1

, x



2

, x



3

), F



2

(x



1

, x


2

, x



3

)},



т. е. должно найтись такое α ∈ [0, 1], что

(0, 0) = αF

1

(x



1

, x


2

, x



3

) + (1 − α)F



2

(x



1

, x


2

, x



3

).



Отсюда, учитывая вид производных, получаем

f

1



(x

1



)f

2

(x



2

) = f



1

(x



2

)f

2



(x

1



),

(10)


f

1

(x



1

)f



2

(x



3

) = f


1

(x



3

)f

2



(x

1



).

(11)


3. Случай нормально распределенных величин. Рассмот-

рим случай, когда каждая из популяций распределена по нормаль-

ному закону. Тогда

f

1



(x) =

1



exp{−


(x − a

1

)



2

2



1

− lnσ


1

},

f



2

(x) =


1



exp{−

(x − a


2

)

2



2

2



− lnσ

2

}.



Здесь a

1

и a



2

– математические ожидания, а σ

2

1

и σ



2

2

– дисперсии



соответствующих случайных величин.

Условие (4) в данном случае имеет вид

(x − a


1

)

2



2

1



− lnσ

1

= −



(x − a

2

)



2

2



2

− lnσ


2

.

Оно представляет собой квадратное уравнение



x

2



2

2

− σ



2

1

) + x(−2a



1

σ

2



2

+ 2a


2

σ

2



1

)+ σ


2

2

a



2

1

− σ



2

1

a



2

2

+2σ



2

1

σ



2

2

(lnσ



1

− lnσ


2

) = 0.


(12)

Если σ


2

2

= σ



2

1

, то уравнение (12) имеет единственное решение



x

=



a

1

+ a



2

2

.



Если σ

2

2



= σ

2

1



, то существует два корня

x



1

=

1



σ

2

2



− σ

2

1



a

1

σ



2

2

− a



2

σ

2



1

− σ


1

σ

2



(a

1

− a



2

)

2



+ 2(σ

2

2



− σ

2

1



)(lnσ

2

− lnσ



1

) ,


131

x

2



=

1

σ



2

2

− σ



2

1

a



1

σ

2



2

− a


2

σ

2



1

+ σ


1

σ

2



(a

1

− a



2

)

2



+ 2(σ

2

2



− σ

2

1



)(lnσ

2

− lnσ



1

) .


Поскольку существует только два корня уравнения, то минимум

функции Φ

1

(Q

1



, Q

2

) на множестве S



2

совпадает с минимумом функ-

ции Φ

1

(Q



1

, Q


2

) на множестве S.

Выше уже приводилось решение задачи 1 (см. (2)). Однако про-

верка принадлежности конкретной точки x множеству Q

1

или мно-


жеству Q

2

может оказаться более простой, чем проверка условия (2).



Кроме того, выявление структуры множеств Q

1

и Q



2

может помочь

в решении более сложных задач.

Так как f

1

(x) > 0, f



2

(x) > 0 на R, то для функционала Φ

2

(Q

1



, Q

2

)



условия (5) и (6) невозможны, и остается только случай F

1

(x



1

, x



2

) =



F

2

(x



1

, x



2

), для которого должно выполняться условие (7). Найдем



решение уравнения F

1

(x



1

, x


2

) = F


2

(x

1



, x

2

). Из (7) имеем



exp{−

(x

1



− a

1

)



2

2



1

− lnσ


1

}exp{−


(x

2

− a



2

)

2



2

2



− lnσ

2

} =



= exp{−

(x

2



− a

1

)



2

2



1

− lnσ


1

}exp{−


(x

1

− a



2

)

2



2

2



− lnσ

2

}.



Отсюда

(x

1



− a

1

)



2

2



1

+

(x



2

− a


2

)

2



2

2



=

(x

2



− a

1

)



2

2



1

+

(x



1

− a


2

)

2



2

2



,

т.е.


σ

2

2



[(x

1

− x



2

)(x


1

+ x


2

− 2a


1

)] = σ


2

1

[(x



1

− x


2

)(x


1

+ x


2

− 2a


2

)].


(13)

При x


1

= x


2

будет F


2

(x

1



, x

2

) = 0, F



1

(x

1



, x

2

) = 1, т.е. F



2

(x

1



, x

2

) =



F

1

(x



1

, x


2

), что противоречит предположению. Следовательно,

x

1

= x



2

, и потому из (13)

(x

1

+ x



2

)(σ


2

2

− σ


Каталог: bitstream
bitstream -> С. торайғыровтың публицистикасы
bitstream -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
bitstream -> «Қазақ» газетіндегі ұлт-азаттық көтеріліс туралы мақалалардың маңызы
bitstream -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
bitstream -> Грам м атические форм ы вы раж ения ком паративны Х отнош ений в научно-популярной лингвистической литературе
bitstream -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
bitstream -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
bitstream -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет