Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет17/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   57


2

1

) = 2a



1

σ

2



2

− 2a


2

σ

2



1

,

т.е.



x

=



x

1

+ x



2

2

=



a

1

σ



2

2

− a



2

σ

2



1

σ

2



2

− σ


2

1

.



132

Таким образом, x

1

= x



− α, x


2

= x


+ α, где α – решение уравнения

h

1

(α) = h



2

(α). При этом

h

1

(α) =



x

−α



−∞

f

1



(x)dx +

x



f



1

(x)dx,


h

2

(α) =



x



x

−α



f

2

(x)dx.



Нахождение α не представляет трудностей. Так как h

1

(α) – убываю-



щая при увеличении α функция, а h

2

(α) – возрастающая, то сущест-



вует единственное решение этого уравнения, а потому существует

и единственная точка минимума функции Φ

2

(Q

1



, Q

2

) на множестве



S

2

.



Полученные решения (множества Q

1



и Q

2



и для задачи 1, и для

задачи 2) могут оказаться не точками минимума, а точками макси-

мума. В последнем случае необходимо поменять местами множества

Q



1

и Q


2

.



Рассмотрим теперь множество S

3

. Так как f



1

(x) > 0, f

2

(x) > 0 на



R, то для функционала Φ

2

(Q



1

, Q


2

) условия (8) и (9) невозможны, и

остается только случай F

1

(x



1

, x



2

, x



3

) = F



2

(x



1

, x


2

, x



3

), для которого



должны выполняться условия (10) и (11). Тогда из (10) и (11)

x

1



+ x

2

2



=

a

1



σ

2

2



− a

2

σ



2

1

σ



2

2

− σ



2

1

,



x

1

+ x



3

2

=



a

1

σ



2

2

− a



2

σ

2



1

σ

2



2

− σ


2

1

,



т.е. x

2

= x



3

. Отсюда заключаем, что

inf

[Q

1



,Q

2

]∈S



3

Φ

2



(Q

1

, Q



2

) =


inf

[Q

1



,Q

2

]∈S



2

Φ

2



(Q

1

, Q



2

).

Это означает, что



inf

[Q

1



,Q

2

]∈S



Φ

2

(Q



1

, Q


2

) =


inf

[Q

1



,Q

2

]∈S



2

Φ

2



(Q

1

, Q



2

).

Ранее подобное утверждение было установлено для функционала



Φ

1

(Q



1

, Q


2

).

Таким образом, в случае нормально распределенных величин для



задач 1 и 2 достаточно ограничиться множеством S

2

. При этом в оп-



тимальном решении (это пара множеств [Q

1



, Q

2



]) одно из множеств

является конечным интервалом, а второе – его дополнением до R.

Литература

1. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука,

1982. 144 с.

133


Долгов С.Л.

Санкт-Петербургский государственный университет

Математическое моделирование

многоострийной эмиссионной системы

с помощью точечных зарядов

Рекомендовано к публикации профессором Егоровым Н.В.

Рассматривается задача моделирования многоострийной эмисси-

онной системы, состоящей из периодически расположенных острий

на проводящей подложке (катод), и плоскости, параллельной под-

ложке (анод).

Предлагается для представления каждого острия использовать

набор точечных зарядов, расположенных на его оси. Аналитическое

выражение для потенциала в такой системе получено в работе [1].

Целью данной работы является дальнейшее исследование этого ана-

литического выражения и изучение возможности задания требуемой

формы острия выбором величин зарядов.

y

z

x



U = 0

U = U


0

Рис. 1. Общий вид системы

Итак, физической моделью в

нашей задаче являются две бес-

конечные проводящие плоскости

z = 0 и z = c с потенциала-

ми 0 и U

0

(рис. 1), перпенди-



кулярные оси z декартовой си-

стемы координат, и находящие-

ся в параллельных им плоскостях

z = z


1

, . . . , z = z

N

множества за-



рядов величиной соответственно

q

1



, . . . , q

N

, так что заряды q



p

за-


полняют все точки с координата-

ми (x, y, z)

q

p

= (2a i, 2b j, z



p

),

i, j = 0, ±1, . . . . Группа зарядов, со-



ответствующих фиксированной паре значений (i, j), представляет

острие.


Тогда задача сводится к решению уравнения Пуассона в замкну-

той области, задаваемой неравенствами |x| ≤ a, |y| ≤ b и 0 ≤ z ≤ c,

и являющейся «элементарной ячейкой» (рис. 2) с единственным

134


«острием» в центре [3]

2



U

∂x

2



+

2



U

∂y

2



+

2



U

∂z

2



= −

N

p=1



q

p

δ(x)δ(y)δ(z − z



p

).

(1)



y

x

z



z

1

q



1

z

r



q

r

z



r+1

q

r+1



z

N

q



N

z = z


0

= 0


z = z

N +1


= c

b

a



Рис. 2. Область, в которой решается уравнение

Граничные условия определяются заданными потенциалами об-

кладок и симметрией задачи:





z = 0 : U = 0,



z = c : U = U

0

,



x = ±a : ∂U /∂x = 0,

y = ±b : ∂U /∂y = 0.

(2)

Аналитическое решение системы (1) с граничными условиями (2)



получено в [1] в виде ряда для z

r

< z < z

r+1

U (x, y, z) = U



0

z

c



+

1

4abc



r

p=1


q

p

(c − z)z



p

+

N



p=r+1

q

p



(c − z

p

)z +



+

k,l=0



k2+l2=0

X

k



(x)Y

l

(y)



1

abλ


kl

sh λ


kl

c

r



p=1

q

p



sh λ

kl

(c − z) sh λ



kl

z

p



+

+

N



p=r+1

q

p



sh λ

kl

(c − z



p

) sh λ


kl

z , (3)


где величины X

k

(x), Y



l

(y) и λ


kl

определены формулами

X

0

(x) = Y



0

(y) =


1

2

, X



k

(x) = cos

a

x, Y



l

(y) = cos

b

y, k, l = 0,



135

λ

kl

= π



k

2

a



2

+

l



2

b

2



.

Положим z = z

r

+ ε. Ряд (3) можно представить как сумму N



рядов, соответствующих различным q

p

. При малых ε ряд, соответ-



ствующий q

r

, становится доминирующим и определяет скорость схо-



димости всего выражения (3). Обозначим

S

r



n

=

n



m=0

cos


a

x cos



(n − m)π

b

y



q

r

sh λ



m(n−m)

(c − z) sh λ

m(n−m)

z

r



abλ

m(n−m)


sh λ

m(n−m)


c

.

Для простоты рассмотрим квадратные в сечении ячейки,



a = b. Тогда min

m∈[0,n]


m(n−m)


} =

π

a



2

n, и, начиная с некоторо-



го n, справедлива оценка

sh λ(c − z) sh λz

r

sh λc


≤ 2e

π



a

2



n(z−z

r

)



= 2e

π



a

2



.

Тогда



|S

r

n



| ≤

n

m=0



2

|q

p



|

a

2



e

π



a

2



π

a



2

n



≤ 3

|q

p



|

2



e



π

a



2

,



и для остатка ряда получим

|R

r



K

| = |


n=K+1


S

p

n



| ≤

6|q


p

|

π



2

1

ε



e

π



a

2



.

Этим выражением можно пользоваться при вычислении суммы



ряда для определения момента останова, обеспечивающего заданную

погрешность. Другой смысл этой оценки, носящий ориентировочный

характер, таков. Она обеспечивает малость остатка ряда в случае,

если показатель экспоненты много больше единицы по модулю, т.е.

должно выполняться, по крайней мере, K >

a

ε



. Величина K – число

суммируемых членов ряда – ограничена используемой для вычисле-

ний программой. Таким образом, это же является ограничением на

отношение ε к a, т.е. на то, насколько близко по z возможно подойти

к плоскостям z = z

p

, проходящим через заряды, по сравнению с раз-



мером ячейки a. В частности, ε ограничивает допустимое расстояние

между зарядами и близость вершины острия к последнему заряду,

и радиус кривизны острия.

Решение (3) описывает электростатическое поле в системе с

136


 

¡

¢



£

 

£



¢

¤

£



¢

£

£



¢

¤

¡



¢

£

x



£

¢

£



£

¢

¥



£

¢

¦



£

¢

§



£

¢

¨



¡

¢

£



z

Рис. 3. Сечение эквипотенциальной

поверхности U = 0 плоскостью xOz

остриями в следующем смыс-

ле: нужно считать поверхностью

острия эквипотенциальную по-

верхность распределения (3) со

значением потенциала, равным

потенциалу на катоде (U = 0).

Тогда поле в оставшейся части

системы совпадает с полем си-

стемы с реальными проводящими

остриями такой же формы. То,

что форма такой эквипотенци-

альной поверхности действитель-

но может быть сходной с формой острия, иллюстрируется на рис. 3.

Здесь N = 10 и все заряды одинаковы.

Очевидно, что при фиксированных значениях точечных зарядов

форма таким образом задаваемого острия зависит от остальных гео-

метрических параметров системы.

 

¡

¢



£

¡

 



¡

¢

¡



¤

¡

¢



¡

¡

¡



¢

¡

¤



¡

¢

£



¡

x

¡



¢

¡

¡



¡

¢

¡



¤

¡

¢



£

¡

¡



¢

£

¤



¡

¢

¥



¡

¡

¢



¥

¤

z



Рис. 4. Пример задания формы

острия


Однако для применения ре-

зультата к исследованию много-

острийных эмиссионных систем с

различными расстояниями меж-

ду остриями (что необходимо, на-

пример, при рассмотрении вза-

имной экранировки острий) необ-

ходим способ задания формы

острия вне зависимости от этих

параметров. Это должно дости-

гаться соответствующим выбо-

ром положения и величины то-

чечных зарядов.

Простейший способ такого вы-

бора состоит в следующем. Обратим внимание, что выражение (3)

линейно относительно величин зарядов q

p

. Зафиксировав количество



(N ) и положения зарядов и потребовав обращения потенциала (3) в

нуль в N различных точках, придем к системе линейных алгебраи-

ческих уравнений относительно q

p

с квадратной матрицей. Заряды



с величинами, являющимися решениями этой системы, создают в

137


системе поле, нулевая эквипотенциальная поверхность которого га-

рантированно проходит через N выбранных точек. В этом и состоит

задание формы (рис. 4).

Возможность фиксации формы острия играет важную роль в за-

даче оптимизации многоострийной полевой эмиссионной системы –

выбора плотности упаковки острий, их высоты и формы, обеспечи-

вающих оптимальные эмиссионные характеристики системы в це-

лом: максимальный интегральный ток эмиссии, снижение рабочего

напряжения, уменьшение плотности потока с каждого отдельного

острия [2].

Таким образом, получена оценка скорости сходимости рядов в

(3), а также описан способ фиксации формы острия, пригодный к ис-

пользованию в практических расчетах. В дальнейшем на этой основе

могут быть рассчитаны эмиссионные характеристики системы, про-

изведена оптимизация геометрических параметров, построены тра-

ектории электронов и эмиссионные изображения.

Литература

1. Долгов С.Л. Расчет потенциала системы точечных зарядов во

внешнем поле // Процессы управления и устойчивость: Труды

36-й межвузовской научной конференции аспирантов и студентов

/ Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ,

2005. С. 137–140.

2. Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование

систем формирования электронных пучков. СПб.: Изд-во СПбГУ,

1998. 276 с.

3. Миролюбов Н.Н., Костенко М.В., Левинштейн М.Л., Тиходеев

Н.Н. Методы расчета электростатических полей. M.: Высшая

Школа, 1963. 416 с.

138


Дривотин О.И., Мазикина М.Г.

Санкт-Петербургский государственный университет

Математическая модель управления интенсивным

пучком заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ

Будем моделировать пучок в канале с пространственно однород-

ной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ) как совокупность тонких

дисков, толщина которых конечна, но мала по сравнению с харак-

терными продольными размерами системы (длина периода модуля-

ции электродов, длина, на которой существенно меняется плотность

сгустка). В фазовом пространстве продольного движения каждый

такой диск характеризуется фазовыми координатами ϕ и γ, где ϕ –

фаза внешнего поля, при которой диск проходит рассматриваемую

точку с продольной координатой ζ, γ = (1 − β

2

)



−1/2

– приведен-

ная энергия диска. Фазовая плотность дисков (ϕ, γ) удовлетворяет

уравнению Власова. При этом уравнения характеристик для урав-

нения Власова, которые можно рассматривать как уравнение дина-

мики диска, в самосогласованном поле пучка, имеют вид

dϕ/dζ = 2 π γ (γ

2

− 1)



−1/2

,

dγ/dζ = α(ζ, u) cos ϕ +



f

2

(ϕ, ϕ , γ ) (ϕ , γ ) dϕ dγ ,



(1)

где u = u(ζ) — вектор управления, который задается геометрически-

ми и другими характеристиками канала, в котором движутся части-

цы, u(ζ) ∈ K ⊂ R

l

;

f



2

(ϕ, ϕ , γ ) = q

1

sh

j



01

a

L



2

λ



|ϕ − ϕ |


γ

2

− 1



σ(ϕ − ϕ ),

(2)


q

1

=



e

2

mcε



0

ωa

2



J

2

1



(j

01

)sh( j



01

L/(2a))


.

Здесь L — пространственный период следования сгустков, L =

2πβc/ω, β — среднее значение приведенной скорости β. Выражение

139


(2) получено на основе главного члена решения по методу Фурье кра-

евой задачи для уравнения Пуассона с условием периодичности для

искомой функции в круговом цилиндре радиуса a (апертура канала).

Интегрирование в (1) производится по одному периоду, что реально

означает интегрирование в пределах одного сгустка. Отметим, что

выражение (1) учитывает воздействие на данный сгусток также и со

стороны соседних, в соответствии с условием периодичности. Далее,

σ(z) – гладкая функция, удовлетворяющая условию

σ(z) = sign (z),

|z| ≥ d,


σ(z) ∈ [−1, 1],

|z| ≤ d.


С физической точки зрения эта функция описывает "размазывание"

заряда, сосредоточенного при некотором значении z на интервал

длиной 2d. В результате вместо бесконечно тонкого диска, имеющего

нулевую толщину, получаем диск конечной толщины 2d. При этом,

если d

L, то заметные отличия в силе взаимодействия возникнут



только для частиц, расположенных достаточно близко друг к другу,

в то время как частицы, находящиеся на расстоянии порядка L, не

"почувствуют" этих изменений.

Такое сглаживание можно осуществить, например, следующим

образом. Будем считать, что бесконечно малый заряд, сосредото-

ченный в каждой точке тонкого диска, равномерно распределен на

интервале z ∈ [−d, d], d

L. Это означает, что диск имеет конечную

толщину, причем плотность заряда не зависит от координаты z. По-

тенциал такого диска может быть получен усреднением потенциала

бесконечно тонкого диска по продольной координате.

В фазовом пространстве поперечного движения диски рассмат-

риватриваются как четырехмерные эллипсоиды, описываемые мат-

рицей


B =

B

x



0

0

B



y

,

где B



x,y

— симметричные матрицы. Отметим, что при этом в плоско-

стях (x, ˙x) и (y, ˙y) частицы заполняют эллипсы, описываемые нера-

венствами (x, ˙x)(B

x

)

−1



(x, ˙x)

≤ 1, (y, ˙y)(B



y

)

−1



(y, ˙y)

≤ 1. Считая,



что уравнения поперечного движения линейны, можно получить,

что элементы обратных матриц удовлетворяют уравнениям

140


d s

x,y


11

d t


= 2s

x,y


12

,

d s



x,y

12

d t



= Q

x,y


s

x,y


11

+ s


x,y

22

,



d s

x,y


22

d t


= 2Q

x,y


s

x,y


12

.

(3)



Здесь

Q

x,y



= Q

x,y 0


(Z, u) +

M

h



2 x,y

(X, Z, X , Z ) (Z ) dZ ,

Z = (ϕ, γ)

– положение в фазовом пространстве продольного дви-



жения, X = (s

x

11



, s

x

12



, s

x

22



, s

y

11



, s

y

12



, s

y

22



)

— положение в фазовом про-



странстве поперечного движения, а

h

2 x,y



(X, Z, X , Z ) =

e

2



πγ

2

ε



0

m

0



H(β λ(ϕ − ϕ )/(2π))

s

x,y



11

s

x



11

+

s



y

11

;



H(z) = (dσ(z)/dz)/2. В уравнениях (3) легко перейти от дифферен-

цирования по t к дифференцированию по ζ

dZ/dζ = f

1

(ζ, Z, u) +



M

ζ,u


f

2

(Z, Z ) (ζ, Z ) dZ ,



dX/dζ = h

1

(ζ, Z, X, u) +



M

ζ,u


h

2

(X, Z, X (ζ, Z ), Z ) (ζ, Z ) dZ ,



(4)

ζ ∈ [0, T ], T < ∞. Предполагаем, что начальные значения Z запол-

няют некоторое компактное множество M

0

. Образ множества M



0

в силу первого уравнения системы (4) обозначен здесь через M

ζ,u

.

Интегральный член описывает взаимодействие между макрочасти-



цами [1].

Рассмотрим задачу минимизации функционала, зависящего от

промежуточной и конечной плотностей распределений макрочастиц

I(u) =


T

0 M


ζ,u

g(ζ, Z


ζ

, X


ζ

) (ζ, Z


Каталог: bitstream
bitstream -> С. торайғыровтың публицистикасы
bitstream -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
bitstream -> «Қазақ» газетіндегі ұлт-азаттық көтеріліс туралы мақалалардың маңызы
bitstream -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
bitstream -> Грам м атические форм ы вы раж ения ком паративны Х отнош ений в научно-популярной лингвистической литературе
bitstream -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
bitstream -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
bitstream -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет