Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет20/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   57

Рис. 1. Острие на сферической подложке

2. Математическая модель. Распределение потенциала удо-

влетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям

∆U = 0,


U

0 β=β


0

= 0, α


0

< α < π,

U

1 β=β



1

= V, 0 < α < π.

3. Решение задачи. Данную задачу будем решать в бисфери-

ческой системе координат. Для этого вся область разбивается на две

подобласти: 1) β

0

≤ β < ∞, 0 ≤ α ≤ π, 2) β



1

≤ β < β


0

, 0 ≤ α ≤ π. В

первой решение записывается в виде разложения

U

0



=

2(ch β − cos α) ×

n=0


A

n2

e



(n+1/2)(β

0

−β)



P

n

(cos α),



(1)

во второй области распределение потенциала имеет вид

U

1

=



2(ch β − cos α)

n=0



A

n1

sh (n + 1/2)(β − β



1

)+

+B



n

sh(n + 1/2)(β

0

− β) P


n

(cos α).


(2)

Пользуясь граничным условием U

1 β=β

1

= V , 0 < α < π, получа-



ем

160


V / 2(ch β

1

− cos α) =



n=0


B

n

sh(n + 1/2)(β



0

− β


1

)P

n



(cos α).

Используя второе граничное условие и проводя соответствующие

вычисления [4], коэффициенты B

n

можно выписать в явном виде



B

n

=



V e

−(n+1/2)β

1

sh(n + 1/2)(β



0

− β


1

)

.



(3)

Далее используем непрерывность потенциала U

0

(α, β


0

− 0) =


U

1

(α, β



0

+ 0),


0 ≤ α ≤ π, находим связь между коэффициентами

A

n2



= A

n1

sh(n + 1/2)(β



0

− β


1

). Учитывая непрерывность производ-

ной по нормали на границе раздела двух областей

∂U

0



∂β

β=β


0

+0

=



∂U

1

∂β



β=β

0

−0



, 0 < α < α

0

, и (3), приходим к уравнению



n=0


(n + 1/2) A

n1

e



(n+1/2)(β

0

−β



1

)

+



+

V e


−(n+1/2)β

1

sh(n + 1/2)(β



0

− β


1

)

P



n

(cos α), 0 < α < α

0

.

(4)



Введем новые коэффициенты

C

n



= A

n1

e



(n+1/2)(β

0

−β



1

)

+



V e

−(n+1/2)β

1

sh(n + 1/2)(β



0

− β


1

)

,



(5)

тогда уравнение (4) преобразуется к виду

n=0


(n + 1/2)C

n

P



n

(cos α) = 0, 0 < α < α

0

.

(6)



Используя граничное значение U

0 β=β


0

= 0, α


0

< α < π, получа-

ем второе уравнение

n=0


A

n2

P



n

(cos α) = 0, α

0

< α < π.

(7)


Из (5) коэффициенты A

n2

можно записать так:



161

A

n2

=



C

n

sh(n + 1/2)(β



0

− β


1

) − V e


−(n+1/2)β

1

e



(n+1/2)(β

0

−β



1

)

.



(8)

Тогда уравнение (7) примет вид

n=0


C

n

sh(n + 1/2)(β



0

− β


1

)

e



(n+1/2)(β

0

−β



1

)

P



n

(cos α) =

=



n=0



V e

−(n+1/2)β

1

e

(n+1/2)(β



0

−β1)


P

n

(cos α), α



0

< α < π.

(9)


Введем обозначения

f (α) =


n=0


V e

−(n+1/2)β

1

e

(n+1/2)(β



0

−β1)


P

n

(cos α),



(10)

g

n



=

sh(n + 1/2)(β

0

− β


1

)

e



(n+1/2)(β

0

−β1)



.

(11)


Так как lim g

n

= 1/2, n → ∞, то ряд (9) примет вид



n=0


(1 − g

n



)C

n

P



n

(cos α) = f

(α),


где g

n



= 1−2g

n

, f



(α) = 2f (α). Коэффициенты A

n1

можно выразить



через коэффициенты

A

n1



=

C

n



sh(n + 1/2)(β

0

− β



1

) − V e


−(n+1/2)β

1

e



(n+1/2)(β

0

−β1)



sh (n + 1/2)(β

0

− β



1

)

.



(12)

Итак, ряды (4) и (7) сводятся к стандартным парным рядам

n=0


(n + 1/2)C

n

P



n

(cos α) = 0, 0 < α < α

0

,



n=0

(1 − g


n

)C

n



P

n

( cos α) = f (α), α



0

< α < π.

(13)


Решение системы (13) известно [1-3]. Полагая

162


C

n

=



π

α

0



ϕ(t) sin(n + 1/2)tdt,

(14)


получаем уравнение Фредгольма второго рода относительно функ-

ции ϕ(x)


ϕ(x) −

1

π



π

α

0



K(x, t)ϕ(t)dt =

2

π



d

dx

π



x

f



(α) sin α

2(cos x − cos α)

,

α

0



≤ α ≤ π,

(15)


ядро которого имеет вид

K(x, t) = e

−2(n+1/2)(β

0

−β



1

)

×



× cos(n + 1/2)(t − x) − cos(n + 1/2)(t + x) ,

а правая часть после преобразований выглядит так:

4V



2π(1 + cos x)



2

n=0



e

−(n+1/2)β

0

n + 1/2


×

× (n sin nx + (n + 1) sin(n + 1)x)(1 + cos x)−

− sin x(cos nx + cos(n + 1)x) .

Таким образом, решив уравнение (15), согласно формулам (3–14)

найдем распределение потенциала (1), (2) в любой точке системы.

Литература

1. Виноградова Е.М. Метод парных уравнений в задачах матфизи-

ки. Методические указания. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 24 с.

2. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической

физики. Л.: Наука, 1977. 220 с.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физи-

ки. М.: Наука, 1977. 736 с.

4. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовица

М., Стиган И. М.: Наука, 1979. 832 с.

163


Макаров А.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Об алгебраических тождествах

в теории B

ϕ

-сплайнов



1

Рекомендовано к публикации профессором Демьяновичем Ю.К.

1. Введение. Аппроксимация и интерполяция широко использу-

ются при построении приближенных методов решения задач мате-

матической физики и обработки информации. В работе [1] введены

непрерывно дифференцируемые B

ϕ

-сплайны второго порядка, даны



условия существования и единственности пространств таких сплай-

нов. При построении теории B

ϕ

-сплайнов (вообще говоря, неполино-



миальных) возникает необходимость в упрощении полученных фор-

мул [2]. В данной работе рассматриваются алгебраические тожде-

ства, природа появления которых изначально не была ясна, но ис-

пользование которых существенно упрощает доказательство ряда

утверждений из общей теории.

2. Пространство B

ϕ

-сплайнов второго порядка. Пусть Z –



множество всех целых чисел, R

1

– множество всех вещественных



чисел, {a

j

}



j∈Z

– множество трехмерных вектор-столбцов a

j

с ве-


щественными компонентами. Квадратную матрицу третьего поряд-

ка с трехкомпонентными вектор-столбцами a, b, c будем обозначать

(a, b, c), а ее определитель det(a, b, c). Точкой ”·” обозначим скалярное

произведение векторов, а ”×” – векторное произведение векторов. На

вещественной оси R

1

введем сетку



X :

. . . < x

−2

< x

−1

< x

0

< x

1

< x

2

< . . .

и положим

lim

j→−−∞


x

j

= α, lim



j→+∞

x

j



= β.

Пусть M =

j∈Z

(x

j



, x

j+1


), S

j

= [x



j−1

, x


j+2

], J


k

= {k − 1, k, k + 1},

k, j ∈ Z. Рассмотрим трехкомпонентную непрерывно дифференци-

руемую вектор-функцию ϕ(t), t ∈ (α, β). Пусть N (t) = ϕ(t) × ϕ (t),

ϕ

j

= ϕ(x



j

), ϕ


j

= ϕ (x


j

), N


j

= N


j

(x

j



), a

j

= N



j

× N


j+1

.

1



Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 04-01-00692 и

04-01-00026)

164


Предположим, что {a

j

}



j∈Z

– полная цепочка векторов, т.е. для

всех j ∈

Z имеем det(a

j−1

, a


j

, a


j+1

) = 0. Рассмотрим функции

j

(t), заданные на M, равные нулю на множестве M \S



j

и удо-


влетворяющие аппроксимационным соотношениям

j∈Z


a

j



j

(t) ≡


ϕ(t), для всех t ∈ M. Отсюда по формулам Крамера получаем

j



(t) ≡ 0 t ∈ M \S

j

,



j ∈ Z,

j



(t) =

det(a


j−2

, a


j−1

, ϕ(t))


det(a

j−2


, a

j−1


, a

j

)



при t ∈ (x

j−1


, x

j

),



j

(t) =



det(a

j−1


, ϕ(t), a

j+1


)

det(a


j−1

, a


j

, a


j+1

)

при t ∈ (x



j

, x


j+1

),



j

(t) =


det(ϕ(t), a

j+1


, a

j+2


)

det(a


j

, a


j+1

, a


j+2

)

при t ∈ (x



j+1

, x


j+2

).

(1)



Функции Ω

j

(t) называются координатными B



ϕ

-сплайнами на сетке

X . Линейную оболочку этих функций обозначим B

ϕ

(X ) и будем ее



называть пространством B

ϕ

-сплайнов второго порядка на сетке X .



3. Алгебраические тождества. Сформулируем ряд утвержде-

ний, в которых содержатся интересующие нас алгебраические тож-

дества.

Лемма 1. Для векторов a, b, c, d, e, f ∈ R



3

справедливо тождест-

во det(a × b, c × d, e × f ) = det(a, c, d)det(b, e, f ) − det(b, c, d)det(a, e, f ).

При доказательстве используется следующая формула двойно-

го векторного произведения: (x × y) × (z × w) = det(x, z, w)y −

−det(y, z, w)x, x, y, z, w ∈ R

3

и формула представления смешанного



произведения векторов в виде определителя.

Лемма 2. Для векторов A, B, C, D ∈ R

3

справедливо соотноше-



ние det(A × B, B × C, C × D) = det(A, B, C)det(B, C, D).

Доказательсво основывается на подстановке a = A, b = c = B, d =

e = C, f = D в предыдущую лемму.

Лемма 3. Для векторов A, B, C, c ∈ R

3

справедливо соотноше-



ние det(A × B, B × C, c) = det(A, B, C)(B · c).

Доказательсво аналогично доказательству леммы 1.

Лемма 4. Для векторов B, C, D, E, c ∈ R

3

таких, что C · c = 0



справедливо соотношение det(B × C, c, D × E) = det(C, D, E)(B · c).

При доказательстве используется следующая формула двойно-

го векторного произведения: (x × y) × (z × w) = det(x, y, w)z −

−det(x, y, z)w, x, y, z, w ∈ R

3

.

165



Лемма 5. Для векторов B, c, c , D ∈ R

3

справедлива формула



det

B · c


B · c

D · c


D · c

= det(B, C, D), где C = c × c .

Доказательство опирается на тождество Лагранжа

det


x · z x · w

y · z


y · w

= (x × y) · (z × w).

Лемма 6. Для произвольных векторов P, Q, R, S, T из R

3

спра-



ведлива формула det(P, Q, R)det(R, S, T ) + det(Q, R, S)det(P, R, T ) =

det(Q, R, T )det(P, R, S).

Доказательство основывается на использовании формулы опре-

делителя ступенчатой матрицы и на свойстве определителя матри-

цы, в которой каждый элемент некоторого столбца представляется

в виде суммы двух слагаемых.

4. Примеры. Рассмотрим два примера B

ϕ

-сплайнов второго по-



рядка. В первом случае получается известный полиномиальный B-

сплайн второй степени, во втором случае получается, вообще говоря,

неизвестный тригонометрический B

ϕ

-сплайн.



Пример 1. Пусть ϕ(t) = (1, t, t

2

)



T

; получаем полную цепочку

векторов a

j

= 1,



x

j+1


+x

j

2



, x

j+1


x

j

T



. По формулам (1) находим из-

вестный полиномиальный B-сплайн ω

B

j

второй степени, supp ω



B

j

=



[x

j−1


, x

j+2


].

Пример 2. Пусть ϕ(t) = (1, sin t, cos t)

T

. Предполагая, что



x

j+1


− x

j

< π,

j ∈ Z, получаем полную цепочку векторов

a

j



= cos

x

j+1



−x

j

2



, sin

x

j+1



+x

j

2



, cos

x

j+1



+x

j

2



T

. На сетке X по форму-

лам (1) находим тригонометрический B

ϕ

-сплайн ω



B

ϕ

j



второго поряд-

ка, supp ω

B

ϕ

j



= [x

j−1


, x

j+2


].

Литература

1. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. О сплайнах максимальной гладко-

сти // Вестник Санкт-Петербургского университета. 2004. Сер. 1.

Вып. 4. С. 3–11.

2. Демьянович Ю.К. Гладкость пространств сплайнов и всплесковые

разложения // Докл. АН, 2005. Т. 401, № 4. С. 1–4.

166


Малькова Ю.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Слабо искривленная трещина около

границы раздела двух сред

1

Рекомендовано к публикации профессором Грековым М.А.



Введение. Строится решение задачи для двухкомпонентной

плоскости с криволинейной трещиной около границы раздела сред.

Для решения этой задачи используется метод суперпозиции реше-

ний частных более простых задач. Основной является задача для

однородной плоскости с криволинейной трещиной. Задача решается

методом разложения по малому параметру, который входит в урав-

нение гладкой кривой, описывающей криволинейную трещину.

Постановка задачи. Рассматривается плоская задача теории

упругости (плоская деформация или плоское напряженное состоя-

ние) для двухкомпонентного тела. Обозначим Ω

k

(k = 1, 2) полу-



плоскости на плоскости комплексной переменной z = x

1

+ ix



2

. На


линии сопряжения полуплоскостей Γ выполняются условия идеаль-

ного контакта. В нижней полуплоскости находится криволинейная

трещина Γ

c

конечной длины, которая представляется как малое воз-



мущение прямолинейной базовой трещины, наклоненной по отноше-

нию к границе раздела на угол α

1

. В локальной системе декартовых



координат, связанной с трещиной, ее граница Γ

c

определяется урав-



нением

ζ

c



= ξ

1

+ iξ



2

= ξ


1

+ iεf (ξ


1

),

где функция f (ξ



1

) задает форму криволинейной трещины, кривая

Γ

c

предполагается простой и гладкой, |f (ξ



1

)| = O(1), |f (ξ

1

)| = O(1),



ε

1 – параметр, характеризующий величину максимального от-

клонения формы трещины от прямолинейной. Связь между двумя

системами координат имеет вид

ζ = (z + ih)e

−iα


1

,

h > l sin α



1

,

0 ≤ α



1

≤ π.


1

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фунда-

ментальных исследований (проекты № 05-01-00274 и № 06-01-00658)

167


Рис. 1. Двухкомпонентная плоскость с трещиной

На межфазной границе Γ имеют место условия сопряжения

u



(x



1

) = u


+

(x

1



), σ

(x



1

) = σ


+

(x

1



), x

1

∈ Γ,



а на трещине действуют самоуравновешенные постоянные усилия

σ

±



1

) = p



0

1



), |ξ

1

| ≤ l,



(1)

где u = u

1

+iu


2

, σ = σ


nn

+iσ


nt

, u


1

, u


2

– компоненты вектора переме-

щений, соответственно, вдоль осей x

1

и x



2

; σ


nn

, σ


nt

– нормальное и

касательное усилия на контуре трещины. Условия на бесконечности

имеют вид

lim

|z|→∞


σ

ij

(z) = 0,



lim

|z|→∞


ω(z) = 0,

где σ


ij

и ω – напряжения и угол поворота.

Основные соотношения. Напряжения и перемещения выража-

ются через комплексные функции по формулам Колосова – Мусхе-

лишвили [1, 2]

σ

11



+ σ

22

+ 8iµ (1 + κ)



−1

ω = 4Φ (z),

σ

22

− σ



11

+ 2iσ


12

= 2 [zΦ (z) + Ψ (z)],

2µ (u

1

+ i u



2

) = κ ϕ(z) − z ϕ (z) − ψ (z),

(2)

168


где κ = (3 − ν)/(1 + ν) при плоском напряженном состоянии, κ =

3 − 4ν при плоской деформации, ν и µ — соответственно, коэф-

фициент Пуассона и модуль сдвига среды. Комплексные функции

Φ (z) = ϕ (z) и Ψ (z) = ψ (z) кусочно-голоморфны во всей плоскости

[2], кроме концов разреза Γ

c

.



Для решения поставленной задачи используется метод суперпо-

зиции решений [1]. Следуя этому методу, решение ищется в виде

суммы решений двух задач: задача 1 – для двухкомпонентной плос-

кости со скачками напряжений и перемещений на линии сопряжения,

задача 2 – для изотропной плоскости с криволинейной трещиной,

σ

ij



=

σ

b



ij

+ σ


c

ij

, z ∈ Ω



1

,

σ



b

ij

,



z ∈ Ω

2

,



u

i

=



u

b

i



+ u

c

i



z ∈ Ω

1

,



u

b

i



z ∈ Ω

2

.



(3)

После замены комплексных потенциалов в формулах (2) для напря-

жений и перемещений получим выражения

σ

b



(z) = Φ

k

(z) + Φ



k

(z) − Φ


k

(z) + Φ


k

(z) − (z − z)Φ

k

(z) e


−2iα

−2µ


k

(du


b

/dz) = η


k

Φ

k



(z) + Φ

k

(z)−



(4)

Φ

k



(z) + Φ

k

(z) − (z − z)Φ



k

(z) e


−2iα

,

σ



c

(ζ) = Φ(ζ) + Φ(ζ) + Υ(ζ) − Φ(ζ) + (ζ − ζ)Φ (ζ) e

−2iβ

−2µ


1

(du


c

/dζ) = η


1

Φ(ζ) + Φ(ζ)+

(5)

Υ(ζ) − Φ(ζ) + (ζ − ζ)Φ (ζ) e



−2iβ

,

где α – угол между касательной к трещине t и осью x



1

, отсчитыва-

емый от оси x

1

против часовой стрелки, β = α − α



1

.

Задача 1. Рассматривается двухкомпонентная плоскость без



трещины, состоящая из двух областей, которые выполнены из раз-

ных материалов. На линии сопряжения полуплоскостей имеют место

скачки напряжений и перемещений, точнее, скачки производных от

перемещений по x

1



22



− iσ

21

)



+

− (σ


22

− iσ


21

)



=

σ (x


1

),

(u



1

+ iu


2

)

+



− (u

1

+ iu


Каталог: bitstream
bitstream -> С. торайғыровтың публицистикасы
bitstream -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
bitstream -> «Қазақ» газетіндегі ұлт-азаттық көтеріліс туралы мақалалардың маңызы
bitstream -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
bitstream -> Грам м атические форм ы вы раж ения ком паративны Х отнош ений в научно-популярной лингвистической литературе
bitstream -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
bitstream -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
bitstream -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет