Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет21/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   17   18   19   20   21   22   23   24   ...   57


2

)



=

u (x


1

).

169



Рассматриваемая граничная задача сводится к задаче Римана –

Гильберта нахождения кусочно-голоморфной функции по ее скач-

ку на заданной линии. Ее решение при отсутствии напряжений и

поворотов на бесконечности, согласно [1], имеет вид

Φ

1

(z) =



µ

1

µ



2

+ µ


1

κ

2



2

Σ(z) + 2µ



2

U (z)] , z ∈ Ω

2

,

Φ



1

(z) =


µ

1

µ



2

+ µ


1

κ

2



[Σ(z) − 2µ

2

U (z)] , z ∈ Ω



1

,

Φ



2

(z) = −Φ


1

(z) + Σ(z),

где

Σ(z) =


1

2πi


−∞

σ(t)



t − z

dt, U (z) = −

1

2πi


−∞

u (t)



t − z

dt.


Таким образом, решение задачи 1 построено, так как, зная функ-

ции Φ


1

(z) и Φ


2

(z), можно вычислить напряжения и перемещения в

каждой из полуплоскостей с помощью формул (4).

Задача 2. Рассмотрим задачу о криволинейной трещине, распо-

ложенной в изотропной плоскости со свойствами среды Ω

1

. На беско-



нечности напряжения и повороты отсутствуют. На берегах трещины

при |ξ


1

| ≤ l заданы напряжения, а вне трещины при |ξ

1

| ≥ l имеем



условия сопряжения

σ

±



1

) = p (ξ



1

),



1

| ≤ l,


σ

+



1

) = σ


1



),

u

+



1

) = u



1



), |ξ

1

| ≥ l.



(6)

Решение задачи сводится к нахождению двух комплексных потен-

циалов Φ(z), Υ(z), которые голоморфны во всей плоскости, кроме

разреза. Напряжения и перемещения выражаются через эти потен-

циалы по формулам (5).

Для решения задачи применим метод возмущений, комплексные

потенциалы и функцию p (ζ) разложим в ряды по степеням малого

параметра ε

Φ(ζ) =



n=0



ε

n

n!



Φ

n

(ζ), Υ(ζ) =



n=0


ε

n

n!



Υ

n

(ζ), p (ζ) =



n=0


ε

n

n!



p

n

(ζ). (7)



170

Граничные значения этих функций и их производных на Γ

c

предста-



вим в виде соответствующих рядов Маклорена в окрестности ξ

2

= 0,



рассматривая переменную ξ

1

как параметр. В итоге, в соответствии с



[3], решение данной задачи сводится к решению последовательности

двух независимых задач Гильберта и имеет вид

Φ

n

(ζ) =



1

2

(I



1n

(ζ) + I


2n

(ζ)) , Υ


n

(ζ) = Φ


n

(ζ) − I


1n

(ζ),


I

1n

(ζ) =



1

2πi


l

−l

H



1n

(t)


t − ζ

dt,


I

2n

(ζ) =



1

2πiX(ζ)


l

−l

X(t)(H



2n

(t) + p


n

(t))


t − ζ

dt,


X(ζ) =

ζ

2



− l

2

,



где функции H

1n

(ζ), H



2n

(ζ) зависят от предыдущих приближений, а

p

n

(ζ) — коэффициенты разложения в ряд неизвестной функции (6).



Перейдем к рассмотрению исходной задачи. Удовлетворим гра-

ничному условию на трещине (1). Подставив в него (3) — (5), придем

к следующему краевому условию

Φ(ζ) + Φ(ζ) + Υ(ζ) − Φ(ζ) + (ζ − ζ)Φ (ζ)

1 −

2if (ξ


1

)

1 + iεf (ξ



1

)

+



1

(z) + Φ



1

(z) − Φ


1

(z) + Φ


1

(z) − (z − z)Φ

1

(z) e


−2iα

= p


0

(ζ).


Воспользуемся связью между комплексными потенциалами 1 и 2 за-

дач, выразив Φ

1

(z), Φ


2

(z) через Φ(ζ), Υ(ζ). Заменим эти комплекс-

ные потенциалы рядами (7) и для n-го приближения получим сле-

дующее интегральное уравнение

p

n



1

) + M (Φ


n

, Υ


n

) =


(if (ξ

1

))



n

n!

p



(n)

0



1

) − A


n

1



),

(8)


где p

n



1

) – неизвестные функции; A

n



1



), – функции, зависящие от

всех предыдущих приближений; M (Φ

n

, Υ


n

) – интегральный опера-

тор.

171


Интегральное уравнение (8) в развернутом виде является очень

громоздким и сложным для решения. Поэтому предложен числен-

ный метод его решения. Суть метода состоит в том, что в каждом

приближении по малому параметру ε для заданной и искомой функ-

ций нагрузки используется полиномиальная аппроксимация по аргу-

менту. Для отыскания неизвестных коэффициентов искомой функ-

ции применяется метод коллокации. В соответствии с количеством

удерживаемых членов ряда, промежуток интегрирования разбива-

ется на части. В результате задача сводится к решению линейной

алгебраической системы уравнений.

Численное решение, соответствующее частному случаю прямо-

линейной наклонной трещины при µ

2

= 0 (свободная граница) и



µ

2

= ∞ (жесткая граница) для заданных нагрузок, построено и про-



анализировано в [1]. Решение поставленной задачи в первом прибли-

жении для криволинейной трещины является предметом дальней-

шего исследования.

Литература

1. Греков М.А. Сингулярная плоская задача теории упругости СПб.:

Изд-во СПбГУ, 2001. 192 с.

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической

теории упругости. М.: Наука, 1966. 140 с.

3. Греков М.А. Слабо искривленная трещина в изотропном теле //

Вестник СПбГУ, 2002. Сер. 1, вып. 3. С. 74–80.

172


Мутул М.Г.

Санкт-Петербургский государственный университет

Разработка адаптивного метода подавления шума

Рекомендовано к публикации доцентом Вараюнь М.И.

1. Введение. Известно, что результаты практических измере-

ний, подлежащие обработке, содержат определенный полезный сиг-

нал на фоне различного рода помех (шумов), при этом спектр полез-

ного сигнала наложен на спектр шумов. Проблема устранения шу-

мов стоит во многих областях науки и техники. В настоящее время

имеется целый ряд методов обработки данных, достаточно давно и

широко известных, которые относятся к методам фильтрации [1–4].

Сущность фильтрации сигналов состоит в направленном изменении

частотного состава данных, которые несет сигнал. Так, одним из

наиболее распространенных, эффективных и простых в применении

фильтров для подавления шума, в частности, нормально распреде-

ленного, является скользящее арифметическое усреднение

f

i

1



=

1

η



i+M

j=i−M


f

j

,



η = 2M + 1.

(1)


Здесь f , f — сигналы до и после обработки, соответственно, M —

параметр, определяющий ширину скользящего окна, M = 1, 2, . . .

Фильтры типа (1) могут быть обобщены путем введения весовых

множителей

f

i

2



=

1

η



i+M

j=i−M


α

j+M +1−i


f

j

,



(2)

где на весовые коэффициенты α

k

, k = 1, . . . , η, накладывается урав-



нение связи

η

k=1



α

k

= η.



(3)

Фильтр (2) можно назвать адаптивным, если выбор весов зави-

сит от значений последовательности обработанных данных. Целью

работы является построение алгоритма адаптивной обработки сиг-

нала на основе (2).

173


2. Построение метода. Рассмотрим меру колебания сигнала в

виде


J

2

=



N −1

i=1


(f

i+1


2

− f


i

2

)



2

,

(4)



где N — количество точек обрабатываемого сигнала.

Будем искать коэффициенты α

k

, k = 1, . . . , η, обеспечивающие



минимум функции (4). Задача поиска условного экстремума функ-

ционала (4) с уравнением связи (3) может быть сведена к определе-

нию безусловного экстремума функции Лагранжа

L = J


2

+ λ


η

k=1


α

k

− η ,



где λ — множитель Лагранжа. Неизвестные коэффициенты α

k

могут



быть найдены из системы линейных алгебраических уравнений

∂L

∂α



k

= 0,


∂L

∂λ

= 0,



k = 1, . . . , η.

(5)


После несложных преобразований система (5) сводится к виду

AX = B,


где коэффициенты матрицы A = {a

kj

}



(η+1)×(η+1)

имеют вид

a

kj

=



2

η

2



N −1

i=1


f

i+j+1−M


− f

i+j−M


f

i+k+1−M


− f

i+k−M


,

a

k,η+1



= a

η+1,j


= 1, k, j = 1, . . . , η,

a

η+1,η+1



= 0,

X, B — векторы-столбцы, составленные из неизвестных и свободных

членов соответственно

X =




α



1

..

.



α

η

λ





,



B =





0

..

.



0

η





.

Решение такой системы было получено аналитически и может быть



представлено в виде

174


α

k

=



k

, k = 1, . . . , η,

λ =

η+1


,

где


— определитель матрицы из коэффициентов уравнений си-

стемы,


k

— определитель, полученный заменой в определителе

столбца из коэффициентов при неизвестной x

k

столбцом свободных



членов системы.

Таким образом, был построен и реализован адаптивный фильтр

вида (2) для обработки зашумленного сигнала, где в качестве коэф-

фициентов выступает решение системы (5).

3. Реализация метода. Проанализируем работу адаптивного

фильтра на примере конкретного сигнала. В качестве анализируемо-

го сигнала рассмотрим плотность внешнего энергетического распре-

деления электронов металлического образца. Эта функция может

быть представлена в следующем виде

f

i



= N

ext


(E

i

, F ) =



4πmkT

h

3



ln 1 + exp −

E

i



−µ

kT

×



× exp −

4



2m

heF



(Φ − E

i

+ µ)



3

2

,



(6)

где E


i

— значения полной энергии электрона, F — напряженность

электрического поля, Φ — работа выхода, µ — электрохимический

потенциал, ¯h =

h



, h — постоянная Планка, T — температура в



Кельвинах.

Для моделирования зашумленного сигнала в идеальный сигнал

(6) внесем нормально распределенные случайные величины с нуле-

вым математическим ожиданием и постоянной дисперсией

f

i

= N



ext

= N


ext

+ ζ,


ζ ∈ N (0, σ

2

),



σ

2

= δN



max

= const.


Для сравнения результатов применения адаптивного фильтра (2)

и простого скользящего усреднения (1) было использовано графиче-

ское представление. Кроме того, производилось сравнение значений

мер колебания идеального, зашумленного и обработанного сигна-

лов, рассчитанные по формулам, аналогичным (4). Также составле-

ны таблицы относительных погрешностей методов при однократном

применении фильтров для различных значений параметра δ. Фор-

мула для расчета погрешностей приведена ниже:

ε

1

=



max

M +1≤i≤N −M

f

i

− f



i

f

i



.

175


По этим данным можно судить об ухудшении или улучшении ка-

чества обработки сигнала.

4,7

4,8


4,9

5,0


5,1

5,2


5,3

-1x10


21

0

1x10



21

2x10


21

3x10


21

4x10


21

E,

f



4,7

4,8


4,9

5,0


5,1

5,2


5,3

-1x10


21

0

1x10



21

2x10


21

3x10


21

4x10


21

,

 



f

а

б



Рис. 1. Обработка модельного сигнала. Кружками, пунктиром, сплошной

линией обозначены идеальный, зашумленный, обработанный сигналы

соответственно (а — простое усреднение, б — адаптивный фильтр).

J = 7, 62 ∗ 10

41

, J = 2, 16 ∗ 10



43

, J


1

= 2, 26 ∗ 10

42

, J


2

= 1, 89 ∗ 10

42

При моделировании зашумленного сигнала были использованы



следующие параметры: Φ = 4, 5 эВ, F = 10

9

В/м, µ = 5 эВ, T = 300



K, δ = 0, 09, N = 100, M = 2.

Как видно из графиков, адаптивный фильтр дает более сглажен-

ный результат, чем скользящее арифметическое усреднение. С точки

зрения меры колебания сигнала J обработка зашумленного сигнала

адаптивным методом также дает более качественный результат по

сравнению с простым усреднением.

Таблица 1. Погрешность простого усреднения

δ

0,03



0,05

0,07


0,09

ε

1



0,61

1,02


1,43

1,85


Таблица 2. Погрешность адаптивного усреднения

δ

0,03



0,05

0,07


0,09

ε

1



0,60

1,00


1,40

1,80


Из таблиц 1,2 видно, что в зависимости от параметров шума,

содержащегося в сигнале, могут быть получены различные резуль-

таты.

4. Выводы. В результате проделанной работы был построен



адаптивный фильтр на основе взвешенного скользящего усреднения.

176


Анализ работы реализованного адаптивного метода позволяет сде-

лать вывод о том, что фильтр (2) дает лучший результат, чем сколь-

зящее арифметическое усреднение.

Литература

1. Шумы при измерениях / Под ред. А.К. Нарышкина. М.: Мир,

1979. 220 с.

2. Адаптивная обработка сигналов / Под ред. В.В. Шахгильдяна.

М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

3. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. Справочник по высшей

математике. М.: ТетраСистемс, 1999. 480 с.

4. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений / Под

ред. Т.С. Хуанга. М.: Радио и связь, 1984. 340 с.

177


Перегудин С.И., Холодова С.Е.

Санкт-Петербургский государственный университет

Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва

Двумерные длинные волны в канале

с деформируемым основанием

Рассмотрим задачу о движении двух слоев идеальной тяжелой

несжимаемой жидкости в канале над деформируемым дном. Смо-

делируем рассматриваемую среду как трехслойную — два слоя од-

нородной жидкости, грунт. Нижняя жидкость имеет плотность ρ

1

,



верхняя — ρ

2

. Расположим декартову прямоугольную систему коор-



динат таким образом, что ось x совпадает с невозмущенной поверх-

ностью раздела водных слоев, ось z направлена вертикально вверх.

Средняя толщина верхнего слоя — H

2

, нижний слой в предполо-



жении горизонтальности дна имеет высоту H

0

. Внутренняя поверх-



ность недеформируемой твердой крышки имеет вид z = H

2

+ η



2

(x),


поверхность раздела водных слоев: z = η

1

(x, t), поверхность раздела



жидкость–грунт: z = −H(x, t) = −H

0

+ η



(

x, t). На поверхности раз-

дела водных слоев образуются волны, при движении нижнего слоя

происходит взаимодействие жидкости с грунтом, частицы донного

слоя при этом также приходят в движение. Движение жидкости в

слое будем считать потенциальным. Исходная задача в безразмерном

виде примет вид

µϕ

jxx



+ ϕ

jzz


= 0,

µ =


H

L



2

,

µ η



2x

ϕ

2x



= ϕ

2z

,



z = H

2

+ η



2

(x),


µ (η

1t

+ η



1x

ϕ

jx



) = ϕ

jz

,



z = η

1

(x, t),



ρ

1

ϕ



1t

+

1



2

1x



)

2

+



1

µ



1z

)

2



− ρ

2

ϕ



2t

+

1



2

2x



)

2

+



1

µ



2z

)

2



+

+(ρ


1

− ρ


2

1



= ρ

1

f



1

− ρ


2

f

2



,

z = η


1

(x, t),


µ (η

t

+ η



x

ϕ

1x



) = ϕ

1z

,



η

t

+ Q



x

= 0,


z = −H

0

+ η(x, t).



Здесь Q — скалярная функция, характеризующая твердый расход

[3, 6, 7–9], L и H

— соответственно характерный горизонтальный и



вертикальный масштабы.

Проинтегрируем каждое уравнение Лапласа по переменной z с

учетом соответствующих граничных условий [1–4]. Предположим,

178


согласно Ф. Экснеру, что зависимость твердого расхода от придонной

скорости жидкости происходит по линейному закону [3, 4, 7–10]:

Q(x, t) = κu

b

(x, t),



u

b

(x, t) =



∂ϕ

∂x

z=−H



0

+η(x,t)


,

где величина κ характеризуется реологией грунта и для каждого ка-

нала должна быть определена экспериментально. С учетом данного

предположения последнее граничное условие примет вид

η

t

+ κu



bx

= 0,


z = −H

0

+ η(x, t).



Рассматривая уравнения движения жидкости и граничные усло-

вия на деформируемом дне и твердой крышке, представляя потенци-

алы скорости в виде степенных рядов по дисперсионному параметру

µ [1–4]:


ϕ

j

(x, z, t; µ) =



i=0


ϕ

ji

(x, z, t)µ



i

,

заключаем, что зависимость ϕ



j

(x, z, t) от вертикальной координаты

имеет вид

ϕ

1



(x, z, t) =

k=0



α

k

(x, z, t; µ) (z + H



0

− η(x, t))

k

,

ϕ



2

(x, z, t) =

k=0


β

k

(x, z, t; µ) (z − H



2

− η


2

(x, t))


k

.

(1)



Произведя необходимое дифференцирование, заключаем, что урав-

нение Лапласа в длинноволновом приближении эквивалентно рекур-

рентному соотношению для коэффициентов соответствующего сте-

пенного ряда

α

k+2


= µ

(k + 1) 2 η

x

α

(k+1)x



+ η

xx

α



k+1

− α


kxx

(k + 1)(k + 2) [1 + µη

x

2

]



,

β

k+2



= µ

(k + 1) 2 η

2x

β

(k+1)x



+ η

2xx


β

k+1


− β

kxx


(k + 1)(k + 2) [1 + µη

2x

2



]

,

k ≥ 0.



(2)

Кинематические условия на поверхности деформируемого дна и

недеформируемой крышки означают

α

1



= µ

η

t



+ η

x

α



x

1 + µη


x

2

,



β

1

= µ



η

2x

β



x

1 + µη


2x

2

,



α = α

0

,



β = β

0

,



179
1   ...   17   18   19   20   21   22   23   24   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет