Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет22/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   ...   57
2

, β


1

, β


2

имеют порядок µ, α

3

, α


4

, β


3

, β


4

— порядок µ

2

,

остальные α



k

, β


k

, k ≥ 5 будут иметь порядок не ниже µ

3

. С точ-


ностью µ

2

приведем приближенные выражения для α



k

, β


k

, k ≤ 4.


Уравнения Лапласа для каждого слоя жидкости можно представить

в виде


h

1t

+



∂x



k=0

α

kx



k + 1

− η


x

α

(k+1)



h

k+1


1

= 0,


(4)

h

2t



+

∂x



k=0


β

kx

k + 1



− η

2x

β



(k+1)

h

k+1



2

= 0.


(5)

Динамическое условие на поверхности раздела запишем в виде

1

− ρ



2

1



+ ρ

1



k=0

α

kt



− (k + 1)η

t

α



(k+1)

h

k



1

+

+



1

2



k=0

α

kx



− (k + 1)η

x

α



(k+1)

h

k



1

2

+



1



k=0

(k + 1)α


(k+1)

h

k



1

2



 −

−ρ

2





k=0

kt



)h

k

2



+

1

2



k=0


β

kx

− (k + 1)η



2x

β

(k+1)



h

k

2



2

+

+



1



k=0

(k + 1)β


(k+1)

h

k



2

2



 = ρ

1

f



1

(t) − ρ


2

f

2



(t).

(6)


Так как α

k

, β



k

, k ∈ N выражаются через α = α

0

, β = β


0

, уравне-

ния (3)–(6) образуют замкнутую систему относительно неизвестных

функций α(x, t), β(x, t), η(x, t), η

1

(x, t). Данная система описывает



двумерную задачу о распространении длинных волн в двухслойной

жидкости в канале над деформируемым дном. В данной системе

уравнений использовалось асимптотическое представление по дис-

персионному параметру коэффициентов степенных рядов (1). При-

нимая во внимание малость амплитудного параметра ε =

a

H



(a —


180

амплитуда внутренней волны) и полагая при этом α ∼ εα, β ∼ εβ,

η ∼ εη, η

1

∼ εη


1

, заключаем, что представленная выше система урав-

нений с частными производными включает следующие частные за-

дачи — линейные модели без дисперсии и с дисперсией, нелинейную

модель без дисперсии µ = 0. Если в представленной математической

модели произвести учет амплитудного и дисперсионного параметров

степени не выше первой, а также их произведения, можно говорить

о распространении внутренних волн в приближении Кортевега и де–

Вриза в канале с деформируемым основанием.

Литература

1. Алешков Ю.З. Теория взаимодействия волн с преградами. Л.:

Изд-во ЛГУ, 1990. 372 с.

2. Алешков Ю.З. Течение и волны в океане. С-Пб.: Изд-во СПбГУ,

1996. 226 с.

3. Алешков Ю.З. Волны на поверхности сыпучих сред, вызван-

ные потоком жидкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001.

Вып. 4 (№ 25). С. 35–43.

4. Алешков Ю.З. Замечательные работы по прикладной матема-

тике. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006. 311 с.

5. Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М.:

Физматлит, 2003. 256 с.

6. Краусс В. Внутренние волны. Л.: Гидромет, 1968. 270 с.

7. Перегудин С.И. Волновые движения в жидких и сыпучих сре-

дах. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. 288 с.

8. Перегудин С.И. Течение жидкости над сыпучей средой // Ма-

тематическое моделирование, 2004. Т. 16, № 8. С. 70–76.

9. Перегудин С.И. Распространения длинных волн в неоднородной

жидкости над деформируемым дном // Математическое моде-

лирование, 2005. Т. 17, № 4. С. 3–9.

10. Франкль Ф.И. О движении песчаных волн // Докл. АН СССР,

1953. Т. 89, № 1. С. 29–32.

181


Синибабнова М.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Применение метода квадратного корня

для плохо обусловленных систем

Рекомендовано к публикации доцентом Сергеевым В.О.

1. Введение. Действия приборов, регистрирующих нестацио-

нарные физические поля, описываются следующей схемой: на вход

прибора поступает сигнал z(s), на выходе прибора регистрируется

функция u(x). В случае "линейного" прибора функции z(s) и u(x)

связаны соотношением

b

a

K(x, s)z(s)ds = u(x).



(1)

K(x, s) в этом случае называется импульсной переходной функцией

прибора. Теоретически K(x, s) представляет собой функцию, кото-

рая регистрируется прибором в случае, если на вход прибора посту-

пает обобщенная дельта-функция Дирака. На практике для полу-

чения функции K(x, s), характеризующей работу прибора, на вход

подают достаточно короткий импульс. Таким образом, задача интер-

претации показаний прибора, т.е. определения формы поступившего

сигнала, сводится к решению интегрального уравнения первого рода

(1).


2. Постановка задачи. Рассмотрим интегральное уравнение

Фредгольма относительно функции z(s)

Az =

b

a



K(x, s)z(s)ds = u(x), a ≤ x ≤ b, z, u ⊆ L

2

(a, b).



(2)

Известно [1–3], что задача решения этого уравнения поставлена

некорректно: при малых вариациях правой части u вариация реше-

ния z будет сколь угодно велика.

3. Математическая модель. Используется стандартная схема

Тихонова построения регуляризирующего алгоритма. В работе рас-

сматривается задача минимизации функционала Тихонова

182


M

α

[z, ˜



u

δ

] = Az − ˜



u

δ

2



L

2

+ α z



2

W

1



2

=

=



b

a

b



a

K(x, s)z(s)ds − ˜

u

δ

(x)



2

dx + α


b

a

[z



2

(s) + z (s)

2

]ds,


(3)

где Ω[z] = α

b

a

[z



2

(s) + z (s)

2

]ds – стабилизирующий функционал.



Пусть известно, что точное решение ¯

z(s) удовлетворяет одному из

граничных условий: 1) ¯

z (a) = ¯

z (b) = 0, либо 2) ¯

z(a) = z


1

, ¯


z(b) = z

2

(z



1

, z


2

— известные числа). Условием минимума функционала (3) яв-

ляется равенство нулю его первой производной. Учитывая гранич-

ные условия, уравнение для функционала Тихонова можно записать

в виде A

Az − A



˜

u



δ

+ αz − αz = 0. Здесь A

f =


b

a

K(x, s)f (x)dx,



f (x) ⊆ L

2

[a, b]. Перепишем это уравнение в эквивалентном виде



b

a

B(s, t)z(t)dt + αz(s) − αz (s) =



b

a

K(x, s)˜



u

δ

(x)dx,



где B(s, t) =

b

a



K(x, s)K(x, t)dx. Рассмотрев конечные разности и

квадратурные формулы, получим

N

j=1


B(s

i

, t



j

)z

j



h + αz

i

+ α



2z

i

− z



i+1

− z


i−1

h

2



= f

i

,



f

i

=



b

a

K(x, s



i

u



δ

(x)dx, z


i

= z(s


i

), i = 1, . . . , N.

(4)

Таким образом, нахождение при фиксированном α > 0 экстремали



функционала Тихонова (3) сведем к решению системы линейных ал-

гебраических уравнений (4). Матрица этой системы вещественная,

симметричная и положительно-определенная. Поэтому, следуя мето-

ду квадратного корня (Холецкого), ее можно представить как про-

изведение матриц T

α∗

DT



α

, где T


α

– треугольная матрица, T

α∗



транспонированная к T



α

матрица, причем матрицы T

α∗

и T


α

ве-


щественны. Элементы матрицы T

α

находятся последовательно из



формул

t

α



11

=

B



α

11

, t



1j

=

B



α

1j

t



α

11

, j > 1, t



α

ii

=



|B

α

ii



i−1


k=1

d

kk



(t

α

ki



)

2

|, 1 ≤ i ≤ j,



183

d

ii

= sign(B



ii

i−1



k=1

(t

ki



)

2

),



t

α

ij



=

B

α



ij

i−1



k=1

d

kk



t

α

ki



t

α

kj



t

ii

d



ii

, i < j, t

α

ij

= 0, i > j.



Теперь нужно решить систему уравнений

B

α



z

α

= f.



(5)

Заменив в (5) матрицу B

α

на произведение матриц T



α∗

и T


α

, по-


лучим T

α∗

DT



α

z

α



= f . Вводя обозначение y

α

= T



α

z

α



, заменим урав-

нение (5) эквивалентно на два уравнения: T

α∗

Dy

α



= f, T

α

z



α

= y


α

.

Каждое из этих уравнений решается элементарно, так как имеет тре-



угольную матрицу.

4. Выбор параметра регуляризации. Начальное значение па-

раметра α

0

задается таким, что ρ(α



0

) > δ. Каждое следующее зна-

чение параметра выбирается по формуле α

s

=



α

s−1


n

. Для каждого α

s

находится экстремаль функционала Тихонова ˜



z

α

δ



(s) и вычисляется

значение невязки

ρ(α) = A˜

z

α



δ

− ˜


u

δ u


= δ.

(6)


Процесс продолжается до тех пор, пока ρ(α

s

) не станет меньше или



равно δ. Значение α

s

принимается за приближенное решение уравне-



ния (6). Приближенное решение нелинейного уравнения (6) относи-

тельно α находится методом последовательных приближений. Легко

показать, что решение этого уравнения существует. Для аналитиче-

ской оценки параметра α перепишем исходное уравнение в виде

A = K



Kz = K



u,

¯



u − u

ε

≤ ε,



где ¯

u — точная правая часть уравнения (2). Рассмотрим регуляри-

зирующий оператор

B

α



= (αE + K

K)



−1

.

(7)



Для любых α верно

z

ε



α

− ¯


z = B

α

u



ε

− B


α

¯

u + B



α

¯

u − ¯



z =

= B


α

(u

ε



− ¯

u) + (B


α

z − ¯



z) ≤ |B

α

ε + ψ(α, ¯



z).

184


Величину B

α

удается оценить без дополнительных предположений о



точном решении, т.е. B

α

≤ C. Величина же ψ(α, ¯



z) существенно за-

висит от свойств точного решения. Выбрав α из условия ψ(α, ¯

z) = C,

получим ¯



z − z

ε

α



≤ 2C. Таким образом, получаем зависимость па-

раметра регуляризации от погрешности правой части и оценку точ-

ности приближенного решения уравнения (2).

Рис. 1. 1 — точное решение; 2 — приближенное решение (количество точек

сетки по x и s равно 62); 3 — приближенное решение (количество точек сетки

по x и s равно 10).

На рисункe 1 изображены результаты численного эксперимента

с ядром K(x, s) =

x − s. Приближенное значение параметра регу-



ляризации по невязке равно α ≈ 5 · 10

−3

.



Литература

1. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некоррект-

ные задачи. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 557 с.

2. Гончарский А.В., Черепашук А.М., Ягола А.Г. Численные методы

решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978. C. 90–132.

3. Арсенин А.Н., Тихонов А.Н. Методы решения некорректных за-

дач. М.: Наука, 1979. C. 128–158.

185


Смирнов О.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Исследование движения массы на многослойном

эластомерном вязкоупругом амортизаторе

1

Рекомендовано к публикации профессором Мальковым В.М.



Эластомерные амортизаторы широко используются в качестве

конструктивных элементов для сейсмоизоляции зданий и других

объектов. В работе [1] исследовано движение массы на однослой-

ном вязкоупругом эластомерном элементе при произвольных гори-

зонтальных воздействиях. Однако на практике, в качестве аморти-

заторов, как правило, используются многослойные элементы, состо-

ящие из чередующихся слоев резины и металла. Статья посвящена

аналитическому описанию движения объектов на таких амортизато-

рах при горизонтальных динамических воздействиях.

Решать подобную задачу для каждого слоя в отдельности, сопря-

гая при этом условия на границе слоев, является крайне затрудни-

тельной задачей. Если амортизатор имеет большое количество слоев,

то можно перейти от дискретной модели пакета к распределенной с

приведенными упругими и инерционными характеристиками.

Для вывода уравнений изгибных колебаний композитного стерж-

ня воспользуемся следующим законом упругости [2]

Q = K

S

γ,



M = K

B

ω



X

,

(1)



где Q и M – поперечная (сдвигающая) сила и изгибающий момент в

сечении балки; γ = u

X

− ω – сдвиг; ω – поворот сечения; K



S

, K


B

интегральные операторы, включающие в себя сдвиговые и изгибные



жесткости

K

S



= K

S0

(1 − K



S

),



K

S



u(t) =

t

−∞



¯

K

S



(t, τ )u(τ )dτ ,

K

B



= K

B0

(1 − K



B

),



K

B



u(t) =

t

−∞



¯

K

B



(t, τ )u(τ )dτ

Динамические жесткости вычисляются по жесткостям резиновых

слоев по тем же формулам, что и в статических задачах

1

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фунда-



ментальных исследований (проект № 06-01-00658)

186


K

S0

=



µh

2

,



K

B0

=



2R

3

h



1

3

+ λ



−2

cosh(λ)



λ sinh(λ)

K,

λ



2

=

18(1 − 2ν)



1 + ν

R

2



h

2

,



где µ – параметр Ляме, h – высота амортизатора, R – его радиус, K

– модуль объемного сжатия, ν – коэффициент Пуассона.

Уравнения движения элемента композитной балки

u = Q



X

,

I ¨



ω = M

X

+ Q.



(2)

Подставим (1) в (2)

u − K


S

u

X



+ K

S

ω



X

= 0,


I ¨

ω − K


B

ω

X



+ K

S

(ω − u



X

) = 0.


Полученные уравнения совпадают по форме с уравнениями С.П.

Тимошенко, но содержание коэффициентов жесткости будет, конеч-

но, другим.

Начальные и граничные условия формулируются следующим об-

разом

u(0, x) = u



t

(0, x) = 0,

ω(0, x) = ω

t

(0, x) = 0,



u(t, 0) = u

0

(t),



ω(t, 0) = ω

0

(t),



при

M u


tt

+ K


S

(u

x



− ω) = 0,

I

0



ω

tt

+ K



B

ω

x



= 0.

Для решения интегро-дифференциальной системы уравнений

применяется метод последовательных приближений

u(x, t) =

i=1


ε

i−1


u

i

(x, t),



ω(x, t) =

i=1



ε

i

ω



i

(x, t),


где ε – малый параметр, который, в последствие, полагается равным

единице.


Первое приближение находится из следующих соотношений

187


u

1



− K

S

u



1,X

= 0,


I ¨

ω

1



− K

B

ω



1,X

= K


S

u

1,X



,

Первое приближение находится из следующих соотношений

u

1



− K

S

u



1,X

= 0,


I ¨

ω

1



− K

B

ω



1,X

= K


S

u

1,X



,

t = 0 :


u

1

(0, x) = u



1,t

(0, x) = 0,

ω

1

(0, x) = ω



1,t

(0, x) = 0,

x = 0 :

u

1



(t, 0) = u

0

(t),



ω

1

(t, 0) = ω



0

(t),


x = h :

M u


1,t

+ K


S

u

1,x



= 0,

I

0



ω

1,t


+ K

B

ω



1,X

= 0.


N -ое приближение

u



n

− K


S

u

n,X



= −K

S

ω



n−1,X

,

I ¨



ω

n

− K



B

ω

n,X



= K

S

u



n,X

− K


S

ω

n−1



,

x = 0 :


u

n

(t, 0) = 0,



ω

n

(t, 0) = 0,



x = h :

M u


n,t

+ K


S

u

n,X



= K

S

ω



n−1

,

I



0

ω

n,t



+ K

B

ω



n,x

= 0.


Построение каждого приближения представляет собой сложную

вычислительную задачу. Для ее решения применяется метод раз-

деления переменных, который сводит решение системы к решению

интегро-дифференциального уравнения, зависящего только от пере-

менной t [1].

Литература

1. Смирнов О.А. Движение массы на эластомерном амортизаторе с

учетом диссипации энергии // Процессы управления и устойчи-

вость: Труды 36-й научной конференции аспирантов и студентов

/ Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ,

2005. С. 186–190.

2. Мальков В.М. Механика многослойных эластомерных конструк-

ций. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 320 с.

188


Тамасян Г.Ш., Христич Е.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Оптимизация расположения атомов в молекуле

1

В статье рассматривается оптимизационный подход к решению



задачи о строении молекулы по известным взаимным расстояниям

между атомами, а также приведено аналитическое решение указан-

ной задачи в случае её “точного” разрешения.

1. Постановка задачи. Требуется найти координаты атомов

x

1

,. . . , x



m

в пространстве R

n

, удовлетворяющие следующим огра-



ничениям

x

i



− x

j

= δ



ij

при 1 ≤ i < j ≤ m,

где δ

ij

> 0 — заданные расстояния между i-м и j-м атомами при



1 ≤ i < j ≤ m. Обозначим, через x

ij

— j-ю координату i-й точки, а



через x — вектор (x

11

, . . . , x



1n

, x


21

, . . . , x

2n

, . . . , x



m1

, . . . , x

mn

).

Для решения данной задачи можно рассмотреть следующие



функционалы

F

1



(x) =

m

i,j=1



x

i

− x



j

2

− δ



2

ij

2



,

(1)


F

2

(x) =



m

i,j=1


x

i

− x



j

2

− δ



2

ij

,



(2)

F

3



(x) =

max


1≤ix

i



− x

j

2



− δ

2

ij



.

(3)


Минимизируя данные функционалы, можно получить решения

исходной задачи. Отметим, что в общем случае найденные для дан-


Каталог: bitstream
bitstream -> С. торайғыровтың публицистикасы
bitstream -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
bitstream -> «Қазақ» газетіндегі ұлт-азаттық көтеріліс туралы мақалалардың маңызы
bitstream -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
bitstream -> Грам м атические форм ы вы раж ения ком паративны Х отнош ений в научно-популярной лингвистической литературе
bitstream -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
bitstream -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
bitstream -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет