Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет23/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   19   20   21   22   23   24   25   26   ...   57

ных критериев оптимумы будут различны.

В работе [1] изучались аналоги функционала (1), которые явля-

ются гладкими. Нами же рассматриваются функционалы (2) и (3),

которые по сути являются негладкими [2, 3].

Рассмотрим следующий пример.

1

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 03-01-00668)



189

Пример 1. Пусть m = 4, n = 2. Для молекулы задана матрица

δ расстояний между атомами x

k

, k = 1, 4,



δ =



0



10 5 3

10

0



3 5

5

3



0 4

3

5



4 0



 ,


т.е. δ

ij

= x



i

− x


j

— расстояние от i-го до j-го атома. Требует-

ся найти структуру молекулы, т.е. координаты атомов x

k

, k = 1, 4, в



некотором смысле наилучшим образом соответствующую имеющим-

ся данным.

Не умаляя общности, зафиксируем x

1

в начале координат. В



нашем случае минимум функции F

1

достигается в точке x



=

(0, 0, 4, 8889, 0, 3249, 4, 1523, 3, 0057, 0, 3728, 2, 7518).



Если в качестве минимизируемой функции выбрать суммарную

невязку (2) и найти минимум этой функции, то окажется, что F

2

достигает наименьшего значения при x



∗∗

=(0, 0, 7, 2341, 3, 9243,

5, 0389, 1, 1899, 2, 1952, 2, 7343).

Если же выбрать функцию наименьшего уклонения F

3

и найти


минимум по этому критерию, то минимум достигается при x

∗∗∗


=

(0, 0, 9, 2283, 1, 5351, 4, 7992, 2, 7343, 3, 1172, 1, 9044).

Сравним значения невязок в точках минимума функционалов (2)

и (3):


δ

2

=





0

8, 23 5, 17



3, 5

8, 23


0

3, 5


5, 17

5, 17


3, 5

0

3, 23



3, 5

5, 17 3, 23

0





 , δ


3

=





0

9, 3


5, 52 3, 65

9, 3


0

4, 58 6, 12

5, 52 4, 58

0

1, 87



3, 65 6, 12 1, 87

0



 .



Видим, что у функционалов различные оптимумы и поэтому вы-

бор конкретной функции (см. (1)–(3)) в качестве критерия зависит

от характера задачи.

2. Случай “точного” разрешения. В этом пункте приведены

результаты решения исходной задачи в случае ее “точной” разре-

шимости. Сформулировано необходимое и достаточное условие по-

строения симплекса по заданным ребрам, а также получена явная

формула, позволяющая строить молекулу по заданным ребрам.

190


Заметим следующий геометрический факт, что если заданы рас-

стояния от некоторой точки до вершин симплекса, то координаты

этой точки определяются однозначно.

Далее, ответим на следующий вопрос: при каких условиях воз-

можно построение симплекса с заданными ребрами δ

ij

при 1 ≤ i <



j ≤ n + 1. В R

n

симплекс состоит из n + 1 вершин.



Обозначим, через x

ij

— j-ю координату точки i.



Утверждение 1. Симплекс с ребрами δ

ij

при 1 ≤ i < j ≤ n + 1



в R

n

существует с точностью до преобразования (сдвига, переме-



щения, поворота вокруг оси) тогда и только тогда, когда

x

2



i,i−1

> 0,


i = 2, n + 1,

где


x

1

= (0, . . . , 0),



x

2

= (δ



12

, 0, . . . , 0),

x

3

=



δ

2

13



+ δ

2

12



− δ

2

23



12

,



δ

2

13



− x

2

31



, 0, . . . , 0 ,

x

4



=

δ

2



14

+ δ


2

12

− δ



2

24



12

,

δ



2

14

+ δ



2

13

− δ



2

34

− 2x



41

x

31



2x

32

,



δ

2

14



− x

2

41



− x

2

42



, 0, . . . 0 ,

Координаты точки x

k

, при 4 < k ≤ n + 1, соответственно:



x

k1

=



δ

2

1k



+ δ

2

12



− δ

2

2k



12

,



x

kj

=



δ

2

1k



+ δ

2

1,j+1



− δ

2

j+1,k



− 2

j−1


i=1

x

ki



x

j+1,i


2x

j+1,j


, j = 2, k − 2,

x

k,k−1



=

δ

2



1k

k−2



i=1

x

2



ki

,

x



kj

= 0, j = k, n.

191


3. Решение задачи. Предположим, что существует точное ре-

шение исходной задачи. Пусть из данного набора {δ

ij

}

1≤i

мож-

но построить хотя бы один симплекс. Не умаляя общности, допустим,

что

этот


симплекс

образуется

ребрами



ij



}

при


1 ≤ i < j ≤ n + 1, т.е. для них справедливо условие (1). Применяя

утверждение 1, определим x

1

,. . . , x



n+1

— вершины симплекса.

Ниже приведены формулы, позволяющие аналитически находить

координаты оставшихся точек x

k

, k = n + 2, m:



x

k1

=



δ

2

1k



+ δ

2

12



− δ

2

2k



12

,



x

kj

=



δ

2

1k



+ δ

2

1,j+1



− δ

2

j+1,k



− 2

j−1


i=1

x

ki



x

j+1,i


2x

j+1,j


,

j = 2, n.

Литература

1. Le Thi H.A., Pham Dinh T. Large-scale molecular optimization from

distance matrices by a d.c. optimization approach // SIAM J. Optim.

2003. Vol. 14, № 1. P. 77–114.

2. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука,

1972. 368 с.

3. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимиза-

ция. М.: Наука, 1981. 384 с.

192


 

3. Математические

модели медико-

биологических систем

Григорьева К.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Прогнозирование эффективности применения

химиотерапии при лечении онкологических

заболеваний

1

Рекомендовано к публикации профессором Демьяновым В.Ф.



Рассмотрим следующую задачу идентификации из области мате-

матической диагностики. Пусть в пространстве R

n

заданы два мно-



жества точек A и B

A = { a


i

∈ R


n

|i ∈ I } , I = 1, N

1

; B = { b



j

∈ R


n

|j ∈ J } , J = 1, N

2

.

Требуется провести между ними гиперплоскость



L (y, d) = { x ∈ R

n

| r (x, y, d) = 0 } ,



где r (x, y, d) = x, y + d, y ∈ R

n

, d ∈ R



1

, таким образом, чтобы

максимально возможное количество точек из множеств A и B были

бы правильно идентифицированы с помощью следующего критерия.

Пусть c ∈ A ∪ B. Если r (c, y, d) < 0, то считаем, что c ∈ A, если

r (c, y, d) ≥ 0, то c ∈ B. При этом на переменную y накладывается

ограничение y = 1. Тогда r (c, y, d) является (с точностью до знака)

расстоянием от точки c до гиперплоскости L (y, d).

В [1, 2] введены два функционала с параметром ε, использо-

вание которых дает разделяющие гиперплоскости. Качество раз-

деления оценивается так называемым натуральным функционалом

˜

Q (¯



y) = |I

+



y)| + |J

+



y)| + |I

0



y)| + |J

0



y)|, где

I

+



y) = { i ∈ I|r (a

i

, y, d) > 0 } ; J



+

y) = { j ∈ J| − r (b



j

, y, d) > 0 } ;

I

0



y) = { i ∈ I|r (a

i

, y, d) = 0 } ; J



0

y) = { j ∈ J| − r (b



j

, y, d) = 0 } .

Значение функционала ˜

Q (¯


y) представляет собой количество неверно

идентифицируемых точек множеств A и B.

Поставим следующую задачу: дать прогноз эффективности при-

менения химиотерапии при лечении онкологических заболеваний на

примере онкологической базы данных [3].

Суть исследования сводится к следующему. Имеется две груп-

пы онкологических пациентов, в одной из которых (140 пациентов)

1

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 03-01-00668



193

проводилась химиотерапия, а в другой (113 пациентов) – нет. Каж-

дая из этих групп делится еще на две группы, обозначаемые так:

A − множество пациентов из группы, которые прожили больше 60-

ти месяцев после операции, и B − множество пациентов из группы,

которые прожили меньше 60-ти месяцев после операции.

Для решения задачи идентификации использовались четыре раз-

личных алгоритма, которые давали различные разделяющие гипер-

плоскости (из-за наличия локальных минимумов) при различных

значениях ε. Кроме того, задача решалась для трех наборов наи-

более информативных параметров базы данных, полученных в ре-

зультате ранжирования по методу Кокориной А.В. [4]: (33, 35), (30,

33, 35), (30, 33, 34, 35), где 30 − максимальная гладкость; 33 − мак-

симальная выпуклость; 34 − максимальная симметричность; 35 −

максимальная фрактальность.

Вначале рассмотрим множество из 140 пациентов, которым была

проведена химиотерапия. Разделим множества A и B с помощью ги-

перплоскости рассмотренными методами и получим 18 гиперплоско-

стей L (y

s

, d


s

), s = 1, 18. Наибольший процент отделимости – 72,86%.

Аналогично проведем разделение подобных множеств A и B для на-

бора пациентов в 113 человек, не проходивших химиотерапию, и то-

же получим 18 гиперплоскостей L (y

s

, d



s

), s = 19, 36. Практически

во всех случаях были получены разные гиперплоскости и достаточ-

но хороший процент отделимости – 73,45%.

Затем решим обратную задачу: применим гиперплоскости, полу-

ченные для 140 пациентов, к множеству из 113 пациентов, и, на-

оборот, гиперплоскости, полученные для 113 пациентов, применим к

группе в 140 человек. В результате получим для каждого из 253

пациентов 36 значений линейных функций r (c

i

, y



s

, d


s

), s = 1, 36;

i = 1, 253.

Теперь применим для каждого из 253 пациентов критерий иден-

тификации, сформулированный ранее, и тогда получим для каждой

из гиперплоскостей L (y

s

, d


s

), s = 1, 36, два множества A

s

и B



+

s

:



A

s



= {a

i

∈ A, b



j

∈ B | r (a

i

, y


s

, d


s

) < 0; r (b

j

, y


s

, d


s

) < 0} ;


B

+

s



= {a

i

∈ A, b



j

∈ B | r (a

i

, y


s

, d


s

) > 0; r (b

j

, y


s

, d


s

) > 0} .


Введем обозначения для каждой из 36 гиперплоскостей L (y

s

, d



s

),

s = 1, 36:



˜

A



s

= {a


i

∈ A | r (a

i

, y


s

, d


s

) < 0} ; ˜

A

+

s



= {a

i

∈ A | r (a



i

, y


s

, d


s

) > 0} .


Как и в [5], найдем k

A



s

= ˜


A

s



|A

s



| − долю пациентов из множе-

194


ства A

s



, которые “правильно” идентифицированы (в случае, если па-

циент c


i

получил знак “−” функции r (c

i

, y


s

, d


s

), s = 1, 36; i = 1, 253),

и ¯

k

B



+

s

= ˜



A

+

s



|B

+

s



| − долю пациентов из множества B

+

s



, которые

“неправильно” идентифицированы (в случае, если пациент c

i

полу-


чил знак “+” функции r (c

i

, y



s

, d


s

), s = 1, 36; i = 1, 253), в расчете на

то, что именно они обеспечивают пациенту вероятность попадания в

группу A – “успешные”. Для простоты, введем обозначение

k

s

i



=

k

A



s

,



r (c

i

, y



s

, d


s

) < 0;


¯

k

B



+

s

,



r (c

i

, y



s

, d


s

) > 0;


где k

s

i



– вероятность благоприятного прогноза с помощью s-гипер-

плоскости для i-го пациента.

Проиллюстрируем сказанное на примере одной из s-гиперплоско-

стей для группы из 140 пациентов, для которых проводилась хи-

миотерапия. Множество A содержит 61 точку, из них неверно опре-

деленных − 14 (+) и верно определенных − 47 (−). Множество B

содержит 79 точек, из них верно определенных – 53 (+) и неверно

определенных − 26 (−).

В группе из 73 пациентов “правильно” идентифицировано 47 па-

циентов, что составляет k

A



s



= 47/(47 + 26) = 0, 64 − это вероят-

ность того, что химиотерапия будет успешной для пациента, по-

павшего в множество A

s



, i = 1, 140. А в группе из 67 пациентов

“правильно” идентифицировано 53 пациентов, что составляет k

B

+

s



=

53/(53 + 14) = 0, 79 − это вероятность “неудачи” для пациента, по-

павшего в множество B

+

s



, и, соответственно, вероятность “успеха”

для него в этом случае (или, иными словами, вероятность попада-

ния в группу A − “успешные”) будет k

s

i



= ¯

k

B



+

s

= 1 − k



B

+

s



= 0, 21,

i = 1, 140.

На основании полученного материала предлагается давать реко-

мендации следующим образом. Для каждого пациента имеем 36 ги-

перплоскостей, s = 1, 36.

Первая группа из 18 гиперплоскостей дает прогноз того, что

будет, если пациенту будет сделана химиотерапия: если пациент

(для любой s-гиперплоскости, s = 1, 18) получил знак “−”, то это

означает, что он был правильно идентифицирован s-гиперплоско-

стью с благоприятным прогнозом в случае, если ему будет сделана

химиотерапия. Причем, благоприятный прогноз в этом случае со-

ставляет вероятность k

s

i

= k



A

s



. Если пациент был ошибочно иден-

тифицирован с помощью s-гиперплоскости, s = 1, 18, т.е. получил

195


знак “+”, то это означает, что прогноз для этого пациента в слу-

чае, если ему будет сделана химиотерапия, неутешительный, и веро-

ятность этого прогноза k

B

+



s

. Соответственно, вероятность прогноза,

что химиотерапия даст положительный результат в этом случае бу-

дет k


s

i

= ¯



k

B

+



s

.

Вторая группа из 18 гиперплоскостей дает прогноз того, что



будет, если пациенту не будет сделана химиотерапия: если па-

циент (для любой s-гиперплоскости, s = 19, 36) получил знак

“−”, то это означает, что он был правильно идентифицирован

s-гиперплоскостью с благоприятным прогнозом в случае, если ему

не будет сделана химиотерапия. Причем, благоприятный прогноз в

этом случае составляет вероятность k

s

i

= k



A

s



. Если пациент был

ошибочно идентифицирован с помощью s-гиперплоскости, s = 19, 36,

т.е. получил знак ”+”, то это означает, что прогноз для этого пациен-

та в случае, если ему не будет сделана химиотерапия, неутешитель-

ный, и вероятность этого прогноза k

B

+



s

. Соответственно, вероятность

прогноза, что отсутствие химиотерапии даст положительный резуль-

тат в этом случае будет k

s

i

= ¯



k

B

+



s

.

Теперь для каждой группы из 18 знаков выбираем доминиру-



ющий знак и тогда каждый пациент имеет два знака вида “−/−”,

“+/+”, “−/+”, “+/−”:

• “−/−” – пациент, которому можно предсказать положительный

результат, если ему будет сделана химиотерапия, и положи-

тельный результат, если ему не будет сделана химиотерапия;

• “+/+” – пациент, которому можно предсказать отрицательный

результат в обоих случаях;

• “−/+”– пациент, которому можно предсказать положительный

результат, если ему будет сделана химиотерапия, и отрицатель-

ный результат, если ему не будет сделана химиотерапия;

• “+/−” – пациент, которому можно предсказать отрицательный

результат, если ему будет сделана химиотерапия, и положи-

тельный результат, если ему не будет сделана химиотерапия.

Будем определять вероятность благоприятного прогноза k

chemo

i

для i-го пациента в случае проведения химиотерапии следующим



образом: берется среднее значение вероятностей благоприятного для

i-го пациента прогноза k

s

i

по каждой из 18 гиперплоскостей



L (y

s

, d



s

), s = 1, 18, i = 1, 253 (при этом гиперплоскости берут-

ся различные). Вероятность благоприятного прогноза k

nochemo


i

для


i-го пациента в случае отсутствия химиотерапии будет вычисляться,

196


соответственно, как среднее значение вероятностей благоприятного

для i-го пациента прогноза k

s

i

по каждой из 18 гиперплоскостей



L (y

s

, d



s

), s = 19, 36, i = 1, 253 (гиперплоскости берутся различные).

Несколько другой подход описан в [6].

В зависимости от того, какая из вероятностей k

chemo

i

или k



nochemo

i

больше, тот вариант будем считать предпочтительнее.



Литература

1. Григорьева К.В. Метод проектирования в одной задаче иденти-

фикации // Процессы управления и устойчивость: Труды 34-й

научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В.

Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. С. 268–

271.


2. Григорьева К.В. Суррогатные функционалы в математической

диагностике // 63-я научная конференция Санкт-Петербургского

государственного архитектурно-строительного университета. 7–9

февраля 2006 г., СПбГАСУ.

3. "WPBCC: Wisconsin Prognostic Breast Cancer Chemotherapy Data-

base". Computer Science Dept., University of Wisconsin, Madison,

1999.

4. Кокорина А.В. Ранжирование параметров в задаче обработки



данных. // Процессы управления и устойчивость: Труды 34-й на-

учной конференции аспирантов и студентов / Под ред. В.Н. Стар-

кова. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2002. С. 277–281.

5. Демьянова В.В. Метод главного эксперта в задачах идентифи-

кации // Устойчивость и процессы управления: Труды междун.

конф., посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова. Рос-

сия, СПб, 29 июня – 1 июля 2005 г. / Под ред. Д.А. Овсянникова,

Л.А. Петросяна. – СПб.: СПбГУ, НИИ ВМ и ПУ, ООО ВВМ, 2005.

Т. 2. С. 815–822.

6. Семко А.Н., Яковлев Я.В. Метод экспертных оценок в задачах

математической диагностики // Устойчивость и процессы управ-

ления: Труды междун. конф., посвященной 75-летию со дня рож-

дения В.И. Зубова. Россия, СПб, 29 июня – 1 июля 2005 г. / Под

ред. Д.А. Овсянникова, Л.А. Петросяна. – СПб.: СПбГУ, НИИ ВМ

и ПУ, ООО ВВМ, 2005. Т. 2. С. 927–930.

197


Демьянова В.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Задача прогнозирования

и метод главного эксперта

Рекомендовано к публикации профессором Токиным И.Б.

1. Введение. Рассматривается задача прогнозирования эффек-

тивности применения нескольких методик обучения, тренировки или

лечения (для определенности будем говорить о методиках обучения,

например, языкам). Предполагается, что для каждой методики из-

вестны результаты ее применения, т.е. известен идентификатор, или

решающее правило (РП), с помощью которого для любого ученика

можно (с некоторой известной точностью) сказать, будет ли данная

методика эффективна в отношении его или нет, т.е. в какую группу

он попадает: в группу "обучаемых" учащихся (для которых обуче-

ние окажется успешным) или в группу "необучаемых".

В работах [1, 2] был описан "метод главного эксперта"(МГЭ),

в котором из нескольких решающих правил строилось новое РП,


Каталог: bitstream
bitstream -> С. торайғыровтың публицистикасы
bitstream -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
bitstream -> «Қазақ» газетіндегі ұлт-азаттық көтеріліс туралы мақалалардың маңызы
bitstream -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
bitstream -> Грам м атические форм ы вы раж ения ком паративны Х отнош ений в научно-популярной лингвистической литературе
bitstream -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
bitstream -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
bitstream -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   19   20   21   22   23   24   25   26   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет