Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет24/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   ...   57

позволяющее более точно проводить идентифицикацию. В настоя-

щей работе МГЭ распространяется на случай задачи прогнозиро-

вания эффективности нескольких методик. Ниже подробно рас-

сматривается случай двух методик. В результате строится несколь-

ко прогностических групп, для каждой из которых дается прогноз

оценки эффективности той или иной методики.

Предлагаемый подход описывается на примере задачи обучения

с помощью двух методик обучения, однако он может применяться

к решению различных задач: прогнозирование эффективности ле-

чения некоторой болезни тем или иным лечебным препаратом, про-

гнозирование эффективности применения или неприменения химио-

терапии для лечения онкологических больных, прогнозирование эф-

фективности той или иной системы тренировок спортсменов или той

или иной системы обучения разным наукам или профессиям.

Проведенная проверка на некоторых известных базах данных, а

также на базах данных, полученных автором для различных мето-

дик тренировок спортсменов, дает обнадеживающие результаты.

2. Задача идентификации. Задачу идентификации можно

сфоpмулиpовать следующим обpазом. Пусть заданы множества A ⊂

R

n

и B ⊂ R



n

.

198



Положим C = A∪B. Тpебуется найти пpавило, называемое пpави-

лом идентификации или pешающим пpавилом (РП), с помощью ко-

тоpого можно идентифициpовать точки множества C. Обычно иден-

тификация пpоводится с помощью некотоpого функционала, назы-

ваемого идентификатоpом, следующим обpазом: если f : R

n

→ R



– идентификатоp и c ∈ C, то точка c "пpиписывается" к (считается

пpинадлежащей) множеству A, если f (c) ≥ 0, и к множеству B, если

f (c) < 0.

Может оказаться, что некотоpые точки множества C невеpно

идентифициpованы идентификатоpом f . Чеpез A

+

(f ) ⊂ A обозна-



чим подмножество точек множества A, котоpые пpавильно иден-

тифициpованы идентификатоpом f , а чеpез A

(f ) ⊂ A – подмно-



жество точек множества A, котоpые невеpно идентифициpованы

идентификатоpом f . Аналогично, чеpез B

+

(f ) ⊂ B обозначим под-



множество точек множества B, котоpые пpавильно идентифициpо-

ваны идентификатоpом f , а чеpез B

(f ) ⊂ B – подмножество то-



чек множества B, котоpые невеpно идентифициpованы идентифи-

катоpом f . Заметим, что A

+

(f ) ∪ A


(f ) = A, B

+

(f ) ∪ B


(f ) = B.

Качество пpавила идентификации (или качество идентифика-

тоpа f ) можно измеpять, напpимеp, количеством невеpно иденти-

фициpованных точек. Если каждое из множеств A и B содеpжит

конечное число точек, то можно взять один из следующих кpитеpи-

ев:

ϕ

1



(f ) = |A

(f )| + |B



(f )|,


ϕ

2

(f ) =



|A

(f )|



|A|

+

|B



(f )|


|B|

,

ϕ



3

(f ) = max |A

(f )|, |B



(f )| ,


ϕ

4

(f ) = max



|A

(f )|



|A|

,

|B



(f )|


|B|

.

Здесь |A| – количество точек в множестве A. Если F – семейство



идентификатоpов, а ϕ(f ) – выбpанная кpитеpиальная функция, то

задача идентификации может быть сфоpмулиpована так:

Найти f



∈ F такое, что



ϕ(f

) = min



f ∈F

ϕ(f ).


199

Если A ∩ B = ∅, то, в пpинципе, можно постpоить функционал, ко-

тоpый пpавильно идентифициpует все точки множества C. Однако

практического значения такой идентификатор не имеет, поскольку

для другой генеральной выборки такой идентификатор не годится.

Если же A ∩ B = ∅, то самый лучший идентификатоp может

идентифициpовать только точки множества (A ∪ B) \ (A ∩ B).

Множество A ∩ B пpедставляет собой множество существенно

неидентифициpуемых точек.

Для постpоения пpавил идентификации используются pазличные

методы (см., напpимеp, [3–7]).

3. Задача прогнозирования. Предположим, что существуют

две методики обучения, например, китайскому языку. Назовем их

"Методика 1" (М1) и "Методика 2" (М2). Пусть известны результа-

ты применения этих методик к двум группам учащихся, каждая из

которых представляет собой репрезентативную выборку из общего

числа учащихся. Каждый учащийся представлен точкой в n-мерном

пространстве. Координатами точки являются данные об этом уча-

щемся: пол, вес, рост, оценки по разным предметам, данные психоло-

гических и других тестов, быстрота реакции, способность к запоми-

нанию и т.п.

Итак, пусть даны множества Ω

1

⊂ R



n

и Ω


2

⊂ R


n

. Будем так-

же считать, что каждое из множеств содержит конечное количество

точек. В свою очередь, Ω

1

= A


1

∪ B


1

,



2

= A


2

∪ B


2

, где


A

1

= {a



1i

∈ R


n

| i ∈ I


1

},

B



1

= {b


1j

∈ R


n

| j ∈ J


1

},

I



1

= 1 :


N

11

,



J

1

= 1 : N



12

,

A



2

= {a


2i

∈ R


n

| i ∈ I


2

},

B



2

= {b


2j

∈ R


n

| j ∈ J


2

},

I



2

= 1 :


N

21

,



J

2

= 1 : N



22

.

Множество Ω



1

– это множество точек (учащихся), обучавшихся

языку по методике М1, а множество Ω

2

– это множество учащихся,



обучавшихся языку по методике М2. Множество A

1

– это множе-



ство точек (учеников) из множества Ω

1

, для которых методика М1



оказалась успешной (обучение было результативным), а множество

B

1



– это множество точек (учеников) из множества Ω

1

, для которых



методика М1 оказалась неуспешной (их не удалось научить языку).

Аналогично, множество A

2

– это множество точек (учеников) из



множества Ω

2

, для которых методика М2 оказалась успешной (обу-



чение было результативным), а множество B

2

– это множество точек



(учеников) из множества Ω

2

, для которых методика М2 оказалась



200

неуспешной (их не удалось научить языку).

Теперь предположим, что нам известны идентификаторы f

1

:

R



n

→ R и f


2

: R


n

→ R. Идентификатор f

1

идентифицирует точ-



ки множеств A

1

и B



1

по описанному в п. 2 правилу: если c ∈ Ω

1

, то


точка c "пpиписывается" к (считается пpинадлежащей) множеству

A

1



, если f

1

(c) ≥ 0, и к множеству B



1

, если f


1

(c) < 0.


Идентификатор f

2

идентифицирует точки множеств A



2

и B


2

по

правилу: если c ∈ Ω



2

, то точка c считается пpинадлежащей множе-

ству A

2

, если f



2

(c) ≥ 0, и множеству B

2

, если f


2

(c) < 0.


Естественно предполагать, что идентификаторы f

1

и f



2

доста-


точно "хорошие": они успешно в том или ином смысле разделили

соответствующие множества A

1

и B


1

(идентификатор f

1

), A


2

и B


2

(идентификатор f

2

). Качество прогнозирования существенно зави-



сит от качества имеющихся идентификаторов.

Пpедположим, что A

1

∩ B


1

= ∅, A


2

∩ B


2

= ∅ (множества не имеют

общих точек). Положим

Q

11



= {x ∈ R

n

|f



1

(x) ≥ 0},

Q

12

= {x ∈ R



n

|f

1



(x) < 0},

Q

21



= {x ∈ R

n

|f



2

(x) ≥ 0},

Q

22

= {x ∈ R



n

|f

2



(x) < 0}.

Очевидно,

Q

11

∩ Q



12

= ∅,


Q

11

∪ Q



12

= R


n

,

Q



21

∩ Q


22

= ∅,


Q

21

∪ Q



22

= R


n

.

В результате, пространство R



n

окажется разделенным на 4 непе-

ресекающиеся части:

C

++



= Q

11

∩ Q



21

, C


+−

= Q


11

∩ Q


22

, C


−+

=

Q



12

∩ Q


21

, C


−−

= Q


12

∩ Q


22

.

4. Исследование множеств Ω



1

и Ω


2

методом главного экс-

перта. Вначале изучим множество Ω

1

. Построим множества C



++

11

=



A

1

∩C



++

,

C



+−

11

= A



1

∩C

+−



,

C

−+



11

= A


1

∩C

−+



,

C

−−



11

= A


1

∩C

−−



,

C

++



12

= B


1

∩ C


++

,

C



+−

12

= B



1

∩ C


+−

,

C



−+

12

= B



1

∩ C


−+

,

C



−−

12

=



B

1

∩ C



−−

. Положим

p

++

1



=

|C

++



11

|

|C



++

11

| + |C



++

12

|



,

p

+−



1

=

|C



+−

11

|



|C

+−

11



| + |C

+−

12



|

,

p



−+

1

=



|C

−+

11



|

|C

−+



11

| + |C


−+

12

|



,

p

−−



1

=

|C



−−

11

|



|C

−−

11



| + |C

−−

12



|

.

Величина p



++

1

представляет собой вероятность успешного обуче-



ния ученика, "попавшего"в множество C

++

, с помощью методики



201

M1; величина p

+−

1



представляет собой вероятность успешного обу-

чения ученика, "попавшего"в множество C

+−

, с помощью методики



M1; величина p

−+

1



представляет собой вероятность успешного обу-

чения ученика, "попавшего"в множество C

−+

, с помощью методики



M1; наконец, величина p

−−

1



представляет собой вероятность успеш-

ного обучения ученика, "попавшего"в множество C

−−

, с помощью



методики M1.

Описанный метод представляет собой метод главного эксперта (в

частном случае наличия только двух экспертов).

Теперь проведем аналогичное исследование множества Ω

2

этим


же методом. Для этого построим множества

C

++



21

= A


2

∩ C


++

,

C



+−

21

= A



2

∩ C


+−

,

C



−+

21

= A



2

∩ C


−+

,

C



−−

21

= A



2

∩ C


−−

,

C



++

22

= B



2

∩ C


++

,

C



+−

22

= B



2

∩ C


+−

,

C



−+

22

= B



2

∩ C


−+

,

C



−−

22

= B



2

∩ C


−−

.

Положим



p

++

2



=

|C

++



21

|

|C



++

21

| + |C



++

22

|



,

p

+−



2

=

|C



+−

21

|



|C

+−

21



| + |C

+−

22



|

,

p



−+

2

=



|C

−+

21



|

|C

−+



21

| + |C


−+

22

|



,

p

−−



2

=

|C



−−

21

|



|C

−−

21



| + |C

−−

22



|

.

Величина p



++

2

представляет собой вероятность успешного обуче-



ния ученика, "попавшего"в множество C

++

, с помощью методики



M2; величина p

+−

2



представляет собой вероятность успешного обу-

чения ученика, "попавшего"в множество C

+−

, с помощью методики



M2; величина p

−+

2



представляет собой вероятность успешного обу-

чения ученика, "попавшего"в множество C

−+

, с помощью методики



M2; наконец, величина p

−−

2



представляет собой вероятность успеш-

ного обучения ученика, "попавшего"в множество C

−−

, с помощью



методики M2.

Теперь можно сформулировать полученную методику прогнози-

рования для ученика c:

1. Если он попал в группу C

++

, т.е. c ∈ C



++

, то при p

++

1

> p



++

2

считаем, что этому ученику следует учиться по методике M1



(при этом вероятность успеха равна p

++

1



), а при p

++

1



< p

++

2



считаем, что данному ученику следует учиться по методике

M2 (при этом вероятность успеха равна p

++

2

);



202

2. Если он попал в группу C

+−

, т.е. c ∈ C



+−

, то при p

+−

1

> p



+−

2

считаем, что этому ученику следует учиться по методике M1



(при этом вероятность успеха равна p

+−

1



), а при p

+−

1



< p

+−

2



считаем, что данному ученику следует учиться по методике

M2 (при этом вероятность успеха равна p

+−

2

);



3. Если он попал в группу C

−+

, т.е. c ∈ C



−+

, то при p

−+

1

> p



−+

2

считаем, что этому ученику следует учиться по методике M1



(при этом вероятность успеха равна p

−+

1



), а при p

−+

1



< p

−+

2



считаем, что данному ученику следует учиться по методике

M2 (при этом вероятность успеха равна p

−+

2

);



4. Если он попал в группу C

−−

, т.е. c ∈ C



−−

, то при p

−−

1

> p



−−

2

считаем, что этому ученику следует учиться по методике M1,



при этом вероятность успеха равна p

−−

1



, а при p

−−

1



< p

−−

2



счи-

таем, что данному ученику следует учиться по методике M2

(при этом вероятность успеха равна p

−−

2



).

Положим


p

++

= max{p



++

1

, p



++

2

},



p

+−

= max{p



+−

1

, p



+−

2

},



p

−+

= max{p



−+

1

, p



−+

2

},



p

−−

= max{p



−−

1

, p



−−

2

},



m

++

1



= |C

++

11



| + |C

++

12



|,

m

++



2

= |C


++

21

| + |C



++

22

|},



m

+−

1



= |C

+−

11



| + |C

+−

12



|,

m

+−



2

= |C


+−

21

| + |C



+−

22

|},



m

−+

1



= |C

−+

11



| + |C

−+

12



|,

m

−+



2

= |C


−+

21

| + |C



−+

22

|},



m

−−

1



= |C

−−

11



| + |C

−−

12



|,

m

−−



2

= |C


−−

21

| + |C



−−

22

|}.



Тогда прогнозируемое количество учеников из множества Ω

1

, успеш-



но прошедших обучение по оптимальной для них методике, равно

u



1

= m


++

1

p



++

+ m


+−

1

p



+−

+ m


−+

1

p



−+

+ m


−−

1

p



−−

,

а прогнозируемое количество учеников из множества Ω



2

, успешно

прошедших обучение по оптимальной для них методике, равно

u



2

= m


++

2

p



++

+ m


+−

2

p



+−

+ m


−+

2

p



−+

+ m


−−

2

p



−−

.

Нетрудно видеть, что u



1

≥ |A



1

|, а u


2

≥ |A



2

|.

Еще раз отметим, что сделанные выводы справедливы, если мно-



жества Ω

1

и Ω



2

представляют собой репрезентативные выборки из

203


общего количества учащихся. Если имеющиеся базы данных не явля-

ются репрезентативными выборками, их можно сделать таковыми,

удалив часть точек (при условии, что количество точек в этих ба-

зах достаточно велико). Естественно предполагать, что множество

1

∪ Ω



2

представляет собой репрезентативную выборку, и эту выбор-

ку и следует сравнивать с множествами Ω

1

и Ω



2

при оценке того,

являются ли они репрезентативными выборками.

Описанный подход может быть обобщен на случай наличия k

методик обучения или лечения. В этом случае пространство R

n

и



множества Ω

1

и Ω



2

делятся не на 4, а на 2

k

частей.


Литература

1. Демьянова В.В. Метод главного эксперта в задачах идентифи-

кации // Устойчивость и процессы управления: Труды междун.

конф., посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова. Рос-

сия, СПб, 29 июня – 1 июля 2005 г. / Под ред. Д.А. Овсянникова,

Л.А. Петросяна. – СПб.: СПбГУ, НИИ ВМ и ПУ, ООО ВВМ, 2005.

Т. 2. С. 815–822.

2. Demyanova V.V. The principal expert method in data mining //

Applied comput. math., 2005. V. 4, № 1. P. 70–74.

3. Bagirov A.M., Rubinov A.M., Soukhoroukova N.V., Yerwood J.

Unsupervised and supervised data classification via nonsmooth and

global optimization // Top, 2003. V. 11, № 1. P. 1–93.

4. Bennett K.P., O.L. Mangasarian O.L. Robust linear programming

discrimination of two linearly inseparable sets // Optimization

methods and software, 1992. V. 1, № 1. P. 22–34.

5. Kokorina A.V. Ranking the parameters in the mathematical

diagnostics problems // Comments to the paper, 2002. P. 86–89.

6. Yuh-Jye Lee, O.L.Mangasarian O.L. SSVM: a smooth support

vector machine for classification // Computational optimization and

applications, 2001. V. 20, №. 1. P. 5–22.

7. Vapnik V. The nature of statistical learning theory. New York:

Springer-Verlag, 2000. 343 p.

204


Житкова Е.М., Колесин И.Д.

Санкт-Петербургский государственный университет

Восстановление параметров эпидемиологической

модели по данным измерения заболеваемости

и выздоравливаемости

Постановка задачи. Развитие эпидемии описывается уравне-

ниями Кермака – Мак-Кендрика [1]:

dN

1



dt

= −aN


1

N

2



,

dN

2



dt

= aN


1

N

2



− βN

2

,



dN

3

dt



= βN

2

,



N

1

+ N



2

+ N


3

= const,


где N

1

, N



2

, N


3

— число восприимчивых, больных, иммунных. При

наличии данных наблюдения эта модель может быть идентифици-

рована и использована как средство прогноза. Для наблюдения за

развитием эпидемии обычно используется характеристика "суточ-


Каталог: bitstream
bitstream -> С. торайғыровтың публицистикасы
bitstream -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
bitstream -> «Қазақ» газетіндегі ұлт-азаттық көтеріліс туралы мақалалардың маңызы
bitstream -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
bitstream -> Грам м атические форм ы вы раж ения ком паративны Х отнош ений в научно-популярной лингвистической литературе
bitstream -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
bitstream -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
bitstream -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет