Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет4/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   57
q

ij

∂t



2

(˜t)(t − 1)

2

u

j



1

,

(12)



a = (a

1

, . . . , a



n

)



, b = (b

1

, . . . , b



r

)



,

a(t) + tx

1

< C

1

, b(t) + tu



1

< C

2

,



(13)

a(0) = 0, b(0) = 0.

(14)

Сделаем замену переменной



1 − t = e

−ατ


, τ ∈ [0, +∞) ,

α > 0,


(15)

α — фиксированная величина. Тогда система (11) и условия (13)

примут вид

dc



= αe

−ατ


˜

P c + αe


−ατ

˜

Qd + αe



−ατ

R

1



(x

1

, u



1

, τ ),


(16)

c(τ ) = a(t(τ )) , d(τ ) = b(t(τ )) , τ ∈ [0, +∞) ,

c(0) = 0, d(0) = 0,

(17)


c(τ ) + x

1

< C

1

,

d(τ ) + u



1

< C

2

.



Введем функции v(τ ) и w(τ ), связанные с d(τ ), следующим обра-

зом


d

d(τ ) = αe



−ατ

v, v = (v

1

, . . . , v



r

), v ∈ R


r

,

(18)



d

v(τ ) = αe



−ατ

w, w = (w

1

, . . . , w



r

), w ∈ R


r

,

c(τ ) + x



1

< C

1

,



d(τ ) + u

1

< C

2

,

v(τ ) < C



3

,

(19)



C

3

– фиксированная, положительная, постоянная величина.



Рассмотрим систему, полученную присоединением уравнений (18)

к системе (16) с начальными данными

c(0) = 0,

d(0) = 0,

v(0) = 0.

(20)


Ее можно записать в виде

d¯c


= αe


−ατ

¯

P ¯c + αe



−ατ

¯

Qw + ¯



R

1

(x



1

, u


1

, τ );


(21)

22


¯

P =


˜



P

˜

Q



O

1

O



2

O

3



E

r×r


O

4

O



5

O

6



n+2r×n+2r



, ¯

Q =


O



7

O

8



E

r×r


n+2r×r



,

¯c = (c, d, v)

,

где O



i

, i = 1, 8 — матрицы с нулевыми элементами соответствен-

но размерностей [n × r], [r × n], [r × r], [r × n], [r × r], [r × r],

[n × r], [r × r], E

r×r

— единичная матрица размерности [r × r],



¯

R

1



= (R

1



, 0, . . . , 0)

n+2r×1



. Ограничения (13) будут выполнены при

¯c < C


4

, C


4

= min(C


1

, C


2

, C


3

).

(22)



Наряду с (21) рассмотрим систему

d¯c


= αe


−ατ

¯

P ¯c + αe



−ατ

¯

Qw.



(23)

Используя метод, предложенный в [1], получим закон управления

w

i

= Γ



i

(τ )¯c; i = 1, r,

(24)

который обеспечивает экспоненциальную устойчивость системе (23).



Для нормы фундаментальной матрицы системы (23), (24) спра-

ведлива оценка

Φ(τ ) ≤ M

0

e



−λτ

; λ > 1 .

(25)

Рассмотрим систему (21) с начальными условиями (20) при



¯

d(τ ) = d(kh), τ ∈ [kh, (k + 1)h), k = 0, 1, . . . Ее можно переписать в

виде

d¯c


= A(τ )¯c + αe

−ατ

Q

1



( ¯

d(τ ) − d(τ )) + αe

−ατ

¯

R



1

(x

1



, u

1

, τ );



(26)

A(τ ) = αe

−ατ

¯

P + αe



−ατ

¯

Qe



kατ

δ

k



T

−1

k



S

−1

k



;

¯c < C


4

;

Q



1

=



O

1



˜

Q

O



2



n+2r×n+2r

,

O



i

, i = 1, 2 — нулевые матрицы соответственно размерностей [n × r],

[r × r].

23


В силу экспоненциальной устойчивости системы

d¯c


= A(τ )¯c,

(27)

в области (19) существует (см. [2]) положительно-определенная



функция V (¯c, τ ) такая, что

ν

1



¯c

2

≤ V (¯c, τ ) ≤ ν



2

¯c

2



,

dV



(27)

= − ¯c


2

, gradV


¯

c

≤ ν



3

¯c , (28)

Здесь ν

1

, ν



2

, ν


3

— известные положительные константы. С другой

стороны,

dV



(26)

= − ¯c


2

+ αe


−ατ

((gradV


¯

c

)



, Q


1

( ¯


d(τ ) − d(τ )))+

+αe


−ατ

((gradV


¯

c

)



, R


1

(x

1



, u

1

, τ )),



τ ∈ [kh, (k + 1)h),

k = 0, 1, . . .

В силу (12) получаем

R

1



(x

1

, u



1

, τ ) ≤ K

1

(x

1



, u

1

) → 0 при



x

1

, u



1

→ 0.


(29)

Из теоремы о среднем и структуры матрицы Q

1

в области (19)



справедлива оценка

Q

1



( ¯

d(τ )−d(τ )) < Q

1

K

2



h;

τ ∈ [kh, (k+1)h),

k = 0, 1, . . . , (30)

где K


2

не зависит от k.

В силу (30) имеет место неравенство

dV



(26)

≤ − ¯c


2

+ αν


3

¯c K


2

h Q


1

+ αν


3

¯c K


1

(x

1



, u

1

).



(31)

Положим


γ = min

¯

c =C



4

V (¯c, τ ) = ν

1

C

2



4

,

δ =



ν

1

ν



2

C

4



.

Очевидно, что V (¯c, τ ) < γ для всех ¯c из области ¯c < δ.

24


Используя свойства (29), (31), выберем такие h

0

, ε, чтобы для



любых h : 0 < h < h

0

, для любых x



1

:

x



1

< ε и для любых

u

1



:

u

1



< ε в области ¯c > δ выполнялось

− ¯c + αν

3

K

2



h Q

1

+ αν



3

K

1



(x

1

, u



1

) < 0.


(32)

Следовательно, траектории системы (26) с нулевыми начальными

данными не покинут области (19).

Согласно (32), для решения системы (26) с начальными данными

(19) справедливо

V (¯c, τ ) → 0 при τ → ∞ .

В свою очередь из (28) следует

¯c(τ ) → 0 при τ → ∞ .

Пусть τ

1

такое, что



c(τ

1

) + e



−ατ

1

x



1

< ε

1

,



e

−ατ


1

< ε

2

.



Положим

m =


τ

1

h



+ 1,

(33)


где h — удовлетворяет условию (32).

Используя константы h, m, построим разбиение промежутка [0,1]

точками

t

k



= 1 − e

−αkh


,

k = 0, m.

(34)

Если в компонентах d



i

, i = 1, r, решения задачи Коши (26), (19)

с помощью формулы (15) вернуться к исходной переменной t, то

согласно выводу уравнений (8), (11), (16), (21), (31), получим реше-

ние поставленной задачи. При этом границы искомых интервалов

постоянства импульсного управления [t

k

, t


k+1

), k = 1, m − 1, опре-

деляются по формулам (33), (34).

Литература

1. Квитко А.Н. Об одном методе построения программных движе-

ний // ПММ, 2001. Т. 65, №3. С. 392–399.

2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движе-

ния. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

25


Занина С.Б., Шмыров А.С.

Санкт-Петербургский государственный университет

Оптимальная стабилизация плоского

орбитального управляемого движения КА

в окрестности коллинеарной точки либрации L

1

с помощью сил светового давления



В настоящее время возникают проблемы создания постоянных

автоматических станций в космосе для исследований космическо-

го пространства: излучений Cолнца, астрономических наблюдений,

астрофизических измерений, исследований межпланетной материи,

поиск реликтовых излучений, создание систем связи. Эти станции

могут быть использованы при решении задач, связанных с астеро-

идной опасностью, и для перелетов на другие планеты. Одним из

самых интересных и перспективных проектов является размещение

таких станций в окрестности коллинеарных точек либрации.

Рис. 1. Солнечный парус в коллинеарной точке либрации L

1

системы


Земля-Солнце

В работах [1, 2] рассматривается задача стабилизации орбиталь-

ного движения космического аппарата (КА) в окрестности колли-

неарной точки либрации L

1

с помощью управляющего воздействия



по линии Земля-Солнце. В настоящей работе исследуется подобная

задача стабилизации, однако в качестве управляющего воздействия

берется сила давления солнечных лучей на солнечный парус – плос-

кую отражающую поверхность, ориентированную к потоку солнеч-

ных лучей углом α. Исследования проведем в плоской постановке,

учитывая, что проекция силы давления солнечных лучей не отрица-

тельная. Воспользуемся идеей перенесения точки равновесия в фото-

26


гравитационную точку либрации. Уравнения движения КА в окрест-

ности точки либрации имеют вид

˙x

1

= y



1

+ x


2

, y


1

=

3x



1

x

3



+2x

1

+ y



2

+ d + u


1

,

˙



x

2

= y



2

− x


1

, ˙


y

2

=



−3x

2

x



3

− x


2

− y


1

+ u


2

,

(1)



где x

1

— ось, направленная на Солнце, (x



1

, x


2

) — плоскость эклипти-

ки, y

1

, y



2

— импульсы, d — параметр смещения в фотогравитацион-

ную точку либрации [3]. Управления u

1

, u



2

есть проекции ускорения

от сил светового давления, действующих на площадку под углом α,

которые вычисляются по формулам

u

1

= W



0

cos


3

α,

u



2

= W


0

cos


2

α sin α.


Величина W

0

— ускорение нормально ориентированного паруса



в точке либрации L

1

. Система (1) при u



1

= 0, u


2

= 0 гамильтонова с

гамильтонианом

H(x, y) =

1

2

yy −



3

x



3

2

x



1

2

+



x

2

2



+ x

2

y



1

− x


1

y

2



− x

1

d.



Задачей является построение эффективного закона управления

углом ориентации α, обеспечивающего движение КА в окрестности

L

1

. Как показано в работе [1], устойчивое поведение КА зависит от



близости к нулю значения функции опасности |Q|. В линейном при-

ближении Q имеет вид [1]

Q = 1, 2751(x

1

− 1) + 0, 2258(y



2

− 1) + 0, 4183y

1

+ 0, 1481x



2

.

Поведение функции Q на траектории управляемого движения в



линейном приближении описывается уравнением

˙

Q = λ



1

Q + 0, 4183u

1

+ 0, 2258u



2

,

(2)



где λ

1

=



1 + 2

7 — положительное собственное значение матри-



цы линеаризованной системы уравнений в окрестности L

1

(в фазо-



вом пространстве). Задача стабилизации орбитального движения КА

27


сводится к задаче стабилизации поведения переменной Q, поэтому

эффективный закон управления связан с нахождением минимума и

максимума производной функции ˙

Q по углу ориентации α. Таким

образом, задача сводится к нахождению экcтремума функции

b(α) = (0, 4183 cos α + 0, 2258 sin α) cos

2

α.

(3)



Задача нахождения экстремума такой функции часто встречает-

ся при управлении орбитальным движением КА с солнечным пару-

сом и решается с помощью формулы Шмырова – Шувалова [3]

α



=

1

2



β − arcsin

1

3



sin β

,

(4)



где α

— значение угла α, доставляющее максимум функции b(α), β



— угол между направлением на Солнце и вектором (0,4183, 0,2258).

Подставляя в выражение (4) значение β, получим, что эффектив-

ное управление достигается при α

= max(b(α)) = 0, 16798, α



∗∗

=

min(b(α)) =



π

2

− α



.

Литература



1. Шмыров В.А. Управление орбитальным движением космического

аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации // Авто-

реферат кандидатской диссертации. – СПб.: ООУП физического

факультета СПбГУ, 2005.

2. Шмыров В.А. Стабилизация орбитального движения КА в

окрестности коллинеарной точки либрации системы Земля-

Солнце // Устойчивость и процессы управления: Труды междун.

конф., посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова. Рос-

сия, СПб, 29 июня – 1 июля 2005 г. / Под ред. Д.А. Овсянникова,

Л.А. Петросяна. – СПб.: СПбГУ, НИИ ВМ и ПУ, ООО ВВМ, 2005.

Т. 3. С. 1694–1697.

3. Поляхова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом. М.: На-

ука, 1986. 304 с.

28


Зубов С.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

О расчетной устойчивости одного класса

нелинейных систем

В данной работе автор продолжает начатое в статьях [1,2] рас-

смотрение проблемы построения функции типа Ляпунова для неко-

торых классов нелинейных обыкновенных дифференциальных урав-

нений и систем уравнений с целью исследования расчетной устойчи-

вости тривиального движения x = 0 этих уравнений или их систем.

Для краткости изложения не будем здесь повторять вводной части

статьи [1], где приведены основные понятия и определения теории

расчетной устойчивости, а также формулировки трех из нескольких

основных теорем этой теории. Имеются ввиду теоремы 1 – 3 [1], ко-

торые соответствуют теоремам 1.3 – 1.5 работы [3], где и приведено

[3, с. 13 – 15] их полное доказательство.

Рассмотрим сначала уравнение первого порядка следующего ви-

да

˙x = g(x) + g



1

(t),


(1)

где скалярная функция g(x) определена и непрерывна в некоторой

окрестности точки x = 0, удовлетворяет там условию Липшица по

аргументу x, скалярная функция g

1

(t) задана для всех t ≥ 0 и непре-



рывна по t для всех t ≥ 0 за исключением точек разрыва первого

рода, число которых конечно на каждом конечном интервале изме-

нения аргумента t. В качестве упомянутой окрестности точки x = 0

возьмем множество Ω = {x : |x| < R}, константа R > 0.

При этих предположениях [4] для всех x

0

, |x



0

| < R, и для всех

t

0

, t



0

≥ 0 существует единственное решение x = x(t, t

0

, x


0

) уравне-

ния (1), заданное для всех тех значений аргумента t ≥ t

0

≥ 0, для



которых выполнено неравенство |x(t, t

0

, x



0

)| < R.


Будем рассматривать такую ситуацию, когда все решения урав-

нения (1), начинающиеся при t = t

0

, t


0

≥ 0 в начальной точке

x = x

0

, |x



0

| < R, продолжимы для всех t, t

0

≤ t < +∞. Это име-



ет место в случае, когда для всех t ≥ t

0

справедливо неравенство



29

|x(t, t

0

, x



0

)| < R. Легко видеть, что движение x = 0 при t ≥ t

0

яв-


ляется решением уравнения (1) лишь в том случае, когда для всех

t ≥ t


0

выполняется тождество g

1

(t) ≡ −g(0). В общем случае дви-



жение x = 0 при t ≥ t

0

не является решением уравнения (1). Таким



образом, это движение является расчетным движением [3] рассмат-

риваемого уравнения.

Будем исследовать расчетную устойчивость движения x = 0 для

уравнения (1). Понятия расчетной устойчивости, асимптотической

расчетной устойчивости и расчетной неустойчивости движения x = 0

для рассматриваемого уравнения и в дальнейшем для систем урав-

нений будем предполагать известными [3].

Возьмем в качестве функции типа Ляпунова [3] скалярную функ-

цию V (x, t) вида

V (x, t) =

x

0

f (τ )dτ + f



1

(t),


(2)

где скалярная функция f (x) определена и непрерывна в окрестности

Ω, удовлетворяет там неравенству xf (x) > 0 при x = 0, скалярная

функция f

1

(t) определена, непрерывна и неотрицательна для всех



t ≥ 0, причем выполняется соотношение f

1

(t) → 0 при t → +∞.



Отсюда, в частности, вытекает, что f (0) = 0, f (x) > 0 при x > 0,

f (x) < 0 при x < 0. Введенная таким образом функция (2) являет-

ся функцией типа Ляпунова [3], и с ее помощью можно исследовать

расчетную устойчивость движения x = 0 уравнения (1). Будем ис-

кать такие условия на правую часть уравнения (1) и функцию (2),

при которых удовлетворяются требования теорем 1 – 3 [1].

Теорема 1. Предположим, что в уравнении (1) скалярные функ-

ции g(x), g

1

(t) удовлетворяют всем вышеприведенным условиям.



Предположим дополнительно, что в рассматриваемой окрестнос-

ти Ω для функции g(x) справедливы соотношения: g(0) = 0, g(x) < 0

при x > 0, g(x) > 0 при x < 0. Пусть функция g

1

(t) такова, что



существует и конечен несобственный интеграл вида

+∞

0



g

2

1



(τ )dτ < +∞.

(3)


Тогда движение x = 0 уравнения (1) расчетно устойчиво.

30


Доказательство. Пусть скалярная функция h(t) задана для

всех t ≥ 0, неотрицательна (h(t) ≥ 0 для всех t ≥ 0) и непрерыв-

на по t для всех t ≥ 0 за исключением точек разрыва первого рода,

число которых конечно на каждом конечном интервале изменения

аргумента t. Предположим, что существует и конечен несобственный

интеграл вида

+∞

0

h(τ )dτ < +∞.



Тогда возьмем в формуле (2) в качестве функции f (x) = −g(x), а в

качестве функции f

1

(t) функцию



f

1

(t) =



1

4

+∞



t

g

2



1

(τ )dτ +


+∞

t

h(τ )dτ .



(4)

Покажем, что функция V (x, t), построенная в виде суммы (2), удо-

влетворяет всем требования теорем 1 – 3 [1]. Действительно, из фор-

мулы (3) и в силу выбора функции h(t) получаем, что функция f

1

(t)


в формуле (4) определена и непрерывна по t для всех t ≥ 0, неот-

рицательна (f

1

(t) ≥ 0 для всех t ≥ 0) и выполняется предельное со-



отношение f

1

(t) → 0 при t → +∞. Для окончательного выполнения



требований теорем 1 – 3 [1] осталось установить неположительность

полной производной функция V (x, t) в силу уравнения (1). Вычис-

лим эту полную производную. Получаем

dV

dt



= f (x)(g(x) + g

1

(t)) + f



1

(t) = −f


2

(x) + 2f (x)

1

2

g



1

(t),


1

4



g

2

1



(t) +

1

4



g

2

1



(t) + f

1

(t) = − (f (x) −



1

2

g



1

(t))


2

− h(t) ≤ 0.

(5)

Здесь воспользовались тем, что производная функции f



1

(t) равна

f

1

(t) = −



1

4

g



2

1

(t) − h(t). Это вытекает из (4). В (5) применена так-



же формула квадрата разности. Таким образом, из теорем 1 – 3 [1]

следует расчетная устойчивость движения x = 0 уравнения (1).

Замечание 1. Здесь в доказательстве функция h(t) введена для

большей общности представления функции типа Ляпунова V (x, t).

В частности, можно положить h(t) ≡ 0 для всех t ≥ 0.


Каталог: bitstream
bitstream -> С. торайғыровтың публицистикасы
bitstream -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
bitstream -> «Қазақ» газетіндегі ұлт-азаттық көтеріліс туралы мақалалардың маңызы
bitstream -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
bitstream -> Грам м атические форм ы вы раж ения ком паративны Х отнош ений в научно-популярной лингвистической литературе
bitstream -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
bitstream -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
bitstream -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет