Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет44/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   40   41   42   43   44   45   46   47   ...   57


мающее значения в пределах числового отрезка [0, 1]. Для x , x ∈ X

число µ(x , x ) интерпретируется как степень уверенности ЛПР в

том, что для него решение x предпочтительнее x .

Окончательно перечислим все элементы задачи нечеткого мно-

гокритериального выбора (в терминах решений) < X, f, µ

X

>:



• множество возможных решений X;

• векторный критерий f , определенный на множестве X;

• нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежно-

сти µ


X

(·, ·), заданное на декартовом произведении X × X и

принимающее значения в пределах числового отрезка [0, 1].

494


Решением задачи является некоторое в общем случае нечеткое

множество выбираемых решений SelX (SelX ⊂ X) с функцией при-

надлежности λ

S

X



(·).

Задачу можно сформулировать и в терминах векторов. С этой

целью через SelY обозначим нечеткое множество выбираемых век-

торов, функция принадлежности которого задана на R

m

и естествен-



ным образом согласована с функцией принадлежности нечеткого

множества выбираемых решений:

λ

S

Y



(y) =

λ

S



X

(x), если y = f (x) при некотором x ∈ X,

0, если y ∈ R

m

\ Y.



Функцией µ

X

(·, ·) индуцируется функция принадлежности µ



Y

(·,·)


нечеткого отношения предпочтения на множестве Y : µ

Y

(y , y ) =



µ

X

(x , x ) при y = f (x ), y = f (x ), x , x ∈ X.



В свою очередь, функция принадлежности нечеткого отношения

предпочтения, заданного на множестве векторов, порождает функ-

цию принадлежности нечеткого отношения предпочтения на множе-

стве возможных решений, факторизованном при помощи отношения

равенства на множестве векторов.

В итоге задача нечеткого многокритериального выбора (в терми-

нах векторов) < Y, µ

Y

> включает:



• множество возможных векторов Y ;

• нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежно-

сти µ

Y

(·, ·), заданной на Y и принимающей значения в пределах



числового отрезка [0, 1].

Эта задача заключается в нахождении нечеткого множества вы-

бираемых векторов SelY с функцией принадлежности λ

S

Y



(y).

Сформулированные выше две задачи нечеткого многокритери-

ального выбора (в терминах решений и в терминах векторов) эк-

вивалентны в том смысле, что благодаря указанной выше согласо-

ванности перечисленных функций принадлежности все результаты,

полученные в терминах одной из этих задач, могут быть легко пере-

формулированы в терминах другой задачи.

Основные положения в теории нечеткого многокритери-

ального выбора. Сформулируем ряд ограничений в виде аксиом,

устанавливающих определенный общий принцип произвольного "ра-

зумного" поведения ЛПР в процессе принятия решений.

495


Аксиома 1. Для всякой пары решений x , x ∈ X, для кото-

рой выполняется µ

X

(x , x ) = µ



∈ [0, 1], справедливо неравенство

λ

S

X



(x )

1 − µ


.

Аксиома 2. Существует иррефлексивное и транзитивное



нечеткое отношение µ(·, ·), сужение которого на множество Y

совпадает с отношением µ

Y

(·, ·).


Говорят, что критерий f

i

согласован с отношением предпочте-



ния, если для любых векторов y , y ∈ R

m

из выполнения соотноше-



ний y =(y

1

,. . ., y



i−1

, y


i

, y


i+1

,. . ., y

m

), y =(y


1

, . . . , y

i−1

, y


i

, y


i+1

, . . . , y

m

),

y



i

> y


i

, следует равенство µ(y , y ) = 1.

Аксиома 3. Каждый из критериев f

1

, . . . , f



m

согласован с от-

ношением предпочтения.

Аксиома 4. Нечеткое отношение с функцией принадлежности

µ(·, ·) является инвариантным относительно линейного положи-

тельного преобразования.

Напомним [3] понятие множества парето-оптимальных реше-

ний:


P

f

(X) = {x



∈ X| ∃ x ∈ X : f (x) ≥ f (x

)} ,


где выполнение неравенства f (x) ≥ f (x

) означает справедливость



покомпонентных неравенств f

i

(x)



f

i

(x



), i = 1, . . . , m, причем

f (x) = f (x

). Функция принадлежности множества Парето имеет



следующий вид:

λ

P



X

(x) =


1, если x ∈ P

f

(X),



0, в противном случае.

При выполнении аксиом 1–3 для любого непустого нечеткого мно-

жества SelX cправедливо включение:

SelX ⊂ P


f

(X)


или, что тоже самое, λ

S

X



(x)

λ

P



X

(x), ∀x ∈ X. Данное включе-

ние выражает нечеткий принцип Эджворта – Парето: любой нечет-

кий выбор должен осуществляться в пределах множества парето-

оптимальных решений.

Относительная важность критериев. Пусть задано множе-

ство номеров критериев I = {1, . . . , m}.

Будем говорить, что критерий i важнее критерия j (i, j ∈ I,

i = j), с коэффициентом относительной важности θ

ij

∈ (0, 1) и



496

степенью уверенности µ

∈ (0, 1], если для любых векторов y , y ∈



R

m

, для которых выполняется



y

i

> y



i

, y


j

> y


j

, y


s

= y


s

, ∀s ∈ I \ {i, j};

y

i

− y



i

= w


i

, y


j

− y


j

= w


j

,

имеют место равенства θ



ij

=

w



j

w

i



+w

j

, µ



Y

(y , y ) = µ

.

На основе результатов работы [4] можно сформулировать следу-



ющие две леммы.

Лемма 1. Если нечеткое отношение µ

Y

(·, ·), заданное на про-



странстве R

m

удовлетворяет аксиомам 2–4, то оно является ко-



нусным отношением с нечетким острым выпуклым конусом K, ко-

торый с единичной степенью принадлежности включает неотри-

цательный ортант R

m

+



= {y ∈ R

m

|y ≥ 0



m

} и с нулевой степенью

принадлежности содержит начало координат.

Лемма 2. Пусть выполняется аксиома 4. Критерий i важ-

нее критерия j (i, j ∈ I, i = j) с заданным коэффициентом θ

ij

и степенью уверенности µ



∈ (0, 1] тогда и только тогда, ко-

гда равенство µ(y, 0

m

) = µ



справедливо для вектора y ∈ R

m

, где


y

i

= 1 − θ



ij

, y


j

= −θ


ij

, y


s

= 0, ∀s ∈ I \ {i, j}.

Набор векторов y

i

(y



i

∈ N


m

), i = 1, . . . , l (l

1), вместе с набором

чисел µ


1

, . . . , µ

l

∈ (0, 1] задает непротиворечивую нечеткую инфор-



мацию об относительной важности критериев, если существует хотя

бы одно нечеткое отношение предпочтения µ(·, ·), удовлетворяющее

аксиомам 2–4 и такое, что µ(y

i

, 0



m

) = µ


i

∈ (0, 1], i = 1, . . . , l.

Сформулируем лемму и теорему, представляющие собой основ-

ной результат данной статьи.

Лемма. Набор векторов y

r

таких, что y



r

i

r



= 1 − θ

i

r



k

, y


r

k

=



−θ

i

r



k

, y


r

s

= 0, ∀s ∈ I \ {i



r

, k}, r = 1, . . . , l, вместе с набором чисел

µ

1

, . . . , µ



l

∈ (0, 1] задает непротиворечивую нечеткую информацию

об относительной важности критериев.

Теорема. Пусть заданы критерии i

1

, i


2

, . . . , i

l

, k ∈ I, l ≤ m − 1.



Предположим, что выполнены аксиомы 1–4 и имеется набор инфор-

мации об относительной важности, состоящий из l сообщений о

том, что i

1

критерий важнее k-го с коэффициентом относитель-



ной важности θ

i

1



k

и степенью уверенности µ

1

∈ (0, 1], i



2

крите-


рий важнее k-го с коэффициентом относительной важности θ

i

2



k

и степенью уверенности µ

2

∈ (0, 1], . . . , i



l

критерий важнее k-го с

497


коэффициентом относительной важности θ

i

l



k

и степенью уверен-

ности µ

l

∈ (0, 1], и известно, что µ



1

≥ . . . ≥ µ

l

. Тогда для любых



непустых множеств выбираемых векторов и решений выполняют-

ся включения

λ

S

Y



(y)

λ

M



Y

(y)


λ

P

Y



(y), ∀y ∈ Y,

где λ


S

Y

(y) — функция принадлежности нечеткого множества выби-



раемых векторов, λ

P

Y



(y) — функция принадлежности множества

Парето, а λ

M

Y

(y) — функция принадлежности, определяемая равен-



ствами

λ

M



Y

(y) = 1 − sup

z∈Y

ζ(z, y), ∀y ∈ Y,



ζ(z, y)=















1, если z

0

−y

0



∈ R

m

+



,

µ

1



, если z

1

−y



1

∈ R


m

+

, z



0

−y

0



/

∈ R


m

+

,



µ

2

, если z



2

−y

2



∈ R

m

+



, z

r

−y



r

/

∈ R



m

+

, r = 0, 1,



. . .

µ

l



, если z

l

−y



l

∈ R


m

+

, z



r

−y

r



/

∈ R


m

+

, r = 0, . . . , l − 1,



0, в остальных случаях,

∀y

0



, z

0

∈ Y,



y

0

= z



0

,

y



r

= (y


0

1

, . . . , y



0

k−1


, y

0

k



+

r

s=1



θ

i

s



k

1 − θ


i

s

k



y

0

i



s

, y


0

k+1


, . . . , y

0

m



),

z

r



= (z

0

1



, . . . , z

0

k−1



, z

0

k



+

r

s=1



θ

i

s



k

1 − θ


i

s

k



z

0

i



s

, z


0

k+1


, . . . , z

0

m



),

где r = 1, . . . , l.

Замечание.

Анализ формулировки теоремы показывает, что

для построения нечеткого множества с функцией принадлежно-

сти λ


M

Y

(y) следует поочередно решить l + 1 (четких) многокрите-



риальных задач. Начать следует с нахождения множества парето-

оптимальных векторов в многокритериальной задаче, содержащей

исходную векторную функцию f и множество возможных решений

X. После чего всем векторам найденного множества Парето нуж-

но присвоить степень принадлежности, равную единице, а осталь-

ным векторам – нулевую степень принадлежности. Затем на том же

самом множестве возможных решений X необходимо рассмотреть

498


вторую многокритериальную задачу с новой векторной функцией,

имеющей компоненты f

s

для всех s ∈ I \ {k} и k-й компонентой вида



f

k

+



θ

i1k


1−θ

i1k


f

i

1



. Найдя множество парето-оптимальных векторов для

последней задачи, всем векторам "предыдущего" множества Парето,

которые не попали в найденное множество Парето, присвоить сте-

пень принадлежности 1−µ

1

. Далее, на множестве X следует рассмот-



реть третью многокритериальную задачу, имеющую исходные ком-

поненты f

s

для всех s ∈ I \{k}, и k-ю компоненту вида f



k

+

θ



i1k

1−θ


i1k

f

i



1

+

θ



i2k

1−θ


i2k

f

i



2

. После нахождения множества парето-оптимальных векто-

ров в этой задаче, векторам "предыдущего" множества Парето, ко-

торые не попали в "новое" множество Парето, присваивается степень

принадлежности 1 − µ

2

и т.д. Последняя (l + 1)-я многокритериаль-



ная задача должна иметь компоненты f

s

для всех s ∈ I \ {k} и k-ю



компоненту вида f

k

+



θ

i1k


1−θ

i1k


f

i

1



+

θ

i2k



1−θ

i2k


f

i

2



+ . . . +

θ

ilk



1−θ

ilk


f

i

l



. После на-

хождения множества парето-оптимальных векторов в этой задаче,

векторам "предыдущего" множества Парето, которые не попали в

"новое" множество Парето присваивается степень принадлежности

1 − µ

l

.



Таким образом, будет построено нечеткое множество векторов,

которое будет представлять собой некоторую оценку сверху для неиз-

вестного множества выбираемых векторов SelY в том смысле, что

любое выбираемое множество векторов не должно "выходить за пре-

делы" построенной оценки сверху.

Литература

1. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Inform. Control, 1965. Vol. 8. P. 338-353.

2. Nogin V.D. Upper estimate for fuzzy set of nondominated solutions

// Fuzzy sets and systems, 1994. P. 303–315.

3. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: ко-

личественный подход (2-е изд., испр. и доп.). М.: Физматлит, 2005.

176 с.


4. Ногин В.Д. Принцип Эджворта-Парето и относительная важ-

ность критериев в случае нечёткого отношения предпочтения //

Журнал вычислительной математики и математической физики,

2003. Т. 43, №11. С. 1676-1686.

499


Боровцова М.В., Кузютин Д.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Международный банковский институт

Построение абсолютного равновесия

в теоретико-игровой модели

монополистической конкуренции

1. Предпосылки и формализация QP -модели стратеги-

ческой конкуренции в условиях вертикальной дифферен-

циации. В статье представлены результаты исследования одной

теоретико-игровой модели монополистической конкуренции ("ка-

чество–цена") фирм в условиях вертикальной дифференциации.

При этом построения опираются на следующие предпосылки (см.,

например, [2–5, 7]):

• потребители формируют и используют собственные оценки ка-

чества предлагаемых товаров, которые играют важную роль в

определении верхней границы цены, приемлемой для данных

потребителей, а также в выборе конкретного товара из числа

доступных;

• потребители в разной степени готовы платить более высокую

цену за повышение качества предлагаемого товара, т.е. имеют

определенную "склонность к качеству" как один из парамет-

ров неоднородности потребителей, однако все потребители ран-

жируют доступные на рынке товары-заменители одинаково в

случае равенства их цен;

• повышение потребительской оценки качества товара, предпо-

лагаемой некоторой фирмой, требует от этой фирмы соответ-

ствующего повышения издержек, как правило, и постоянных и

переменных;

• двумя важнейшими и тесно связанными компонентами страте-

гии фирмы, предлагающей определенный вид товара потреби-

телям, являются выбор желательного уровня потребительской

оценки качества данного товара ("выбор уровня качества") и

последующий выбор его цены.

Перейдем к более формализованному описанию двухшаговой

теоретико-игровой модели стратегической конкуренции "качество-

цена" (QP -модели).

500


На первом шаге (этап выбора уровней качества) две фирмы

(n = 2) одновременно выбирают уровни качества q ∈ [q, q] ⊂ [0, +∞)

собственного товара, достижение которого требует издержек F C(q).

С точки зрения каждого из конечного числа S потребителей товары

являются заменителями, причем в рассматриваемый временной про-

межуток потребитель может приобрести не более единицы какого-

либо из предложенных товаров.

На втором шаге (этап ценовой конкуренции) фирмы, зная вектор

выбранных на первом шаге уровней качеств q

2

≥ q



1

, одновременно

назначают цены на свои продукты p

1

и p



2

соответственно. Всюду

дальше индекс 2 выделяет фирму, выбравшую уровень качества не

меньший, чем уровень качества товара конкурента.

Реакция потребителей на предлагаемый набор товаров проявля-

ется в максимизации каждым потребителем своей функции потре-

бительского излишка следующего вида:

U

t



= max{tq

2

− p



2

, tq


1

− p


1

, 0},


где t ∈ [ t, t ] ⊂ [0, +∞) — единственный скалярный параметр неод-

нородности потребителей, характеризующий готовность данного по-

требителя платить за повышение качества товара (или склонность

к качеству). С точки зрения фирм параметр t является случайной

величиной, равномерно распределенной на [ t, t ].

Отмеченная реакция потребителей на наблюдаемый вектор

(q

1

, p



1

, q


2

, p


2

) приводит к самоотбору потребителей и однозначному

определению доли рынка D

1

и D



2

и дохода каждой фирмы. На

этом же этапе учитываются переменные издержки V C

i

(q



i

, D


i

). Це-


лью каждой фирмы считается максимизация прибыли от продажи

товаров за рассматриваемый период.

В качестве принципа оптимального поведения конкурирующих

фирм в подобных многошаговых теоретико-игровых моделях тра-

диционно выбирается абсолютное (совершенное в подыграх) равно-

весие SPE [6], при построении которого удобно использовать метод

обратной индукции [1].

Отметим сразу, что выбор конкурирующими фирмами одинако-

вого уровня качества (q

1

= q



2

) на первом шаге не может соответ-

ствовать оптимальному поведению, так как приводит к необходи-

мости выбора цен, равных предельным издержкам на втором ша-

ге (известный парадокс Бертрана). Поэтому всюду далее мы будем

501


предполагать наличие вертикальной дифференциации на рассмат-

риваемом рынке (q

2

> q


1

).

2. Аналитическое построение абсолютного равновесия



для частного случая QP -модели. Рассмотрим частный случай

формализованной выше QP -модели стратегической конкуренции в

условиях вертикальной дифференциации.

• q = 0.


• [ t, t ] = [0, 1], S = 1.

• F C(q) =

1

2

q



2

. Отметим, что именно постоянные затраты (арен-

да и (или) содержание помещений, приобретение и обслужива-

ние высокотехнологичных средств производства, вложения в

исследования и инновации, затраты на привлечение и повыше-

ние квалификации персонала и т.д.) как правило имеют тен-

денцию к нелинейному росту при повышении уровня качества

q.

• V C



i

(q

i



, D

i

) = M C(q



i

)D

i



, где M C(q

i

) = aq



i

, a ∈ [0, 1) — удель-

ные издержки фирмы i, выбравшей уровень качества q

i

.



Представленный выше частный случай будем называть QP (a)-

моделью, где параметр a характеризует скорость роста удельных

издержек при повышении уровня качества q.

В соответствии с методом обратной индукции построение абсо-

лютного равновесия в двухшаговой QP (a)-модели необходимо на-

чать с поиска ценового равновесия по Нэшу на втором шаге (этапе

ценовой конкуренции).

Пусть q


1

и q


2

— выбранные конкурирующими фирмами на первом

этапе QP (a)-модели уровни качества товаров.

Утверждение 1. На этапе ценовой конкуренции QP (a)-модели

существует единственный равновесный по Нэшу вектор цен:





p



1

(q



1

, q


2

) =


q

1

(q



2

− q


1

+ 3aq


2

)

4q



2

− q


1

,

p



2

(q



1

, q


2

) =


2(1 + a)q

2

2



− 2q

2

q



1

+ aq


Каталог: bitstream
bitstream -> С. торайғыровтың публицистикасы
bitstream -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
bitstream -> «Қазақ» газетіндегі ұлт-азаттық көтеріліс туралы мақалалардың маңызы
bitstream -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
bitstream -> Грам м атические форм ы вы раж ения ком паративны Х отнош ений в научно-популярной лингвистической литературе
bitstream -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
bitstream -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
bitstream -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   40   41   42   43   44   45   46   47   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет