Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет48/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   44   45   46   47   48   49   50   51   ...   57

и отсюда легко получить все результаты.

Литература

1. Rothenstein D., Zamir S. Imperfect Inspection Games Over Time //

Annals of Operations Research. 2002. Vol 109. P. 175–192.

2. Petrosyan L.A., Zenkevich N.A. Game Theory. Singapore, London:

World Scientific, 1996. 352 p.

3. Garnaev A.Y. Search Games and Other Applications of Game Theory.

Heidelberg, New York: Springer, 2000. 145 p.

530


Гасратов М.Г.

Санкт-Петербургский государственный университет

Математическая модель управления запасами

Рекомендовано к публикации профессором Захаровым В.В.

Введение. Разработанные в теории управления запасами опти-

мизационные модели управления во многих случаях не учитывают

одновременно ряд факторов относительно природы рынка потребле-

ния. Они ориентированы на оптимизации одного вида финансовых

потоков, а именно, на критерии минимизации издержек [1–3]. По-

этому стратегии управления, получаемые на выходе, дают не вполне

эффективную систему.

Рассмотрим модель управления запасами, где учитываются сле-

дующие факторы: вероятностная природа спроса, временная стои-

мость денег, неудовлетворенный спрос. Найдем оптимальные стра-

тегии управления запасами, максимизирующие интенсивность пото-

ков доходов при различных контрактных требованиях относительно

схемы выплат издержек компании.

Описание модели. Рассмотрим однопродуктовую модель уп-

равления запасами.

Заказ размером y размещается тогда, когда объем запаса на скла-

де достигает порогового уровня R. Введем следующие обозначения:

f = f (x) — плотность распределения спроса x в течение срока

выполнения заказа,

D — ожидаемое значение годового потребления товара,

C

0

— накладные расходы на поставку одной партии заказа (сто-



имость размещения заказа),

C

n



— стоимость единицы товара,

P

n



— прибыль от реализации единицы товара,

C

t



— затраты доставки единицы товара, не включающие наклад-

ные расходы на поставку,

C

h

— годовые затраты хранения единицы товара на складе,



C

p

— потери от неудовлетворенного спроса на единицу товара,



y — размер партии заказа,

r — годовая ставка наращения денег, имеющее место на рынке,

R — пороговый уровень объема запаса.

531


В модели учитываются уходящие денежные потоки, которые бу-

дут относиться к определенным моментам периода поставки, и при-

ходящие денежные потоки, относимые к середине периода выполне-

ния заказа. Величины рассматриваемых денежных потоков, опреде-

ляются следующим образом.

1. Уходящие платежи (потоки).

2. Приближенное количество заказов за год равно D/y.

3. Период выполнения заказа, в среднем, T

m

равен y/D.



Стоимость размещения заказа не зависит от объема заказа, она

за период равна C

0

.

Ожидаемые затраты на хранение. Средний уровень запаса на



складе равен

Y

m



=

(y + M {R − x}) + (M {R − x})

2

=

y



2

+ R − M {x} .

Ожидаемые затраты на хранение за период равны C

h

Y



m

T

m



.

Затраты на поставку одной партии товара равны C

t

y.

Стоимость партии заказа равна C



n

y.

И, наконец, ожидаемые потери, связанные с неудовлетворенным



спросом. Дефицит возникает в том случае, когда x > R. Средний

уровень дефицита за период равен

S

m

=



R

(x − R) f (x) dx.



Поэтому затраты, обусловленные дефицитом, равны S

m

C



p

.

Общие затраты E будут представлены формулой:



E = C

0

+ C



t

y + C


n

y + C


h

Y

m



T

m

+ SC



p

.

Приходящие платежи P , соотносимые с серединой периода,



P = (C

n

+ P



n

) y.


Здесь C

n

y – возвращенная стоимость партии заказа, а P



n

y – соот-

ветствующая прибыль.

Критерий оптимизации системы для схемы выплат из-

держек хранения и потерь от неудовлетворенного спроса

в начале периода. Денежные потоки, характеризирующие работу

системы управления запасами, являются периодическими со сред-

ним периодом T

m

. Соотнесем уходящие платежи с началом каждого



периода, а приходящие платежи — с его серединой. Соответствую-

щая разница приходящих и уходящих платежей с учетом годовой

532


ставки наращения к моменту T

m

/2 определяет доход на этом перио-



де. Рассмотрим интенсивность потока дохода, получаемую умноже-

нием дохода на 1/T

m

. Пусть m = M {x}. Этот доход представляется



в виде:

=

1



T

m

(C



n

+ P


n

)y − 1 + r

T

m

2



(C

0

+ C



t

y + C


n

y+

+C



h

Y

m



T

m

+ SC



p

) ,


→ max

y, R


, y ≤ min (V

h

, V



t

) , R ≤ V

h

,

где V



h

, V


t

– максимальный размер складских помещений и мак-

симальная грузовая вместимость всех транспортных перевозочных

единиц, используемых за один период, соответственно.

= DP

n



r

2

C



0

− DC


t

− C


h

(R − m) −

1

2



y C

h

+ rC



t

+ rC


n

+

rRC



h

D



rmC

h

D



D



y

(C

0



+ SC

p

) −



rC

h

4D



y

2



r

2

SC



p

.

Меняя знак всего выражения на противоположный и исключая



члены, не содержащие параметры y и R, перепишем задачу оптими-

зации в следующем виде:

F = C

h

R +



1

2

y C



h

+ rC


t

+ rC


n

+

rRC



h

D



rmC

h

D



+

+

D



y

(C

0



+ SC

p

) +



rC

h

4D



y

2

+



r

2

SC



p

→ min


y, R

.

Оптимальные значения y* и R* найдем, приравнивая частные



производные функции f по y и R к нулю, из системы





C



h

+ rC


t

+ rC


n

+

rRC



h

D



rmC

h

D



2D

y



2

(C

0



+ SC

p

) +



rC

h

2D



y = 0,

R



f (x)dx =

C

h



y

C

p



D

.

В общем случае эта система решается численными методами. По-



этому, в качестве примера рассмотрим случай, когда спрос носит

равномерный характер, т.е.

533


f (x) =

1

h



, m −

h

2



≤ x ≤ m +

h

2



,

где m – средняя величина спроса, h – некоторое отклонение.

Определив интегралы

m+

h



2

R

f (x)dx и



m+

h

2



R

(x − R) f (x)dx, будем

иметь:

R



= m +

h

2



C

h



y

C

p



D

.

Подставив это выражение в первое уравнение системы, после оче-



видных упрощений, запишем его в виде

C

h



+ rC

t

+ rC



n

+

rhC



h

D



hC

2

h



C

p

D



+ y

rC

h



D

hrC



2

h

C



p

D

2



2DC


0

y

2



= 0.

Введем обозначения:

A = C

h

+ rC



t

+ rC


n

+

rhC



h

D



hC

2

h



C

p

D



,

B =


rC

h

D



hrC


2

h

C



p

D

2



,

C = −2DC


0

.

Тогда последнее уравнение примет вид



A + By +

C

y



2

= 0.


Сделаем в нём замену переменных z = 1/y. В результате получим

неполное кубическое уравнение z

3

+ pz + q = 0, где p =



A

C

, q =



B

C

.



Пусть Q =

p

3



3

+

q



2

2

. В такой ситуации удобно для решения



уравнения использовать тригонометрический метод [4].

1. Если Q < 0, то z

= 2 −p/3 cos



α

3

,



где cos α = −

q

2



−(p/3)


3

.

2. Если Q ≥ 0 и p > 0 , то z



= 2 p/3 ctg 2α,

где tg α =

3

tg



β

2

|α| ≤



π

4

, tg β =



2

q

p



3

3

|β| ≤



π

2

.



3. Если Q ≥ 0 и p < 0 , то z

= −2 −p/3 cosec 2α,



где tg α =

3

tg



β

2

|α| ≤



π

4

, sin β =



2

q



p

3

3



|β| ≤

π

2



.

534


Критерий оптимизации системы при распределении из-

держек хранения и потерь от дефицита по времени. Выплаты

могут осуществляться пропорционально объему хранимого товара.

Поэтому рассмотрим модель для случая, когда схема для учета из-

держек хранения и потерь от неудовлетворенного спроса предпола-

гают осуществлять их пропорционально хранимому товару в течение

всего периода поставки. Эти издержки можно для удобства соотно-

сить с моментом T

m

/2.


Задача максимизации интенсивности потока доходов в этом слу-

чае с учетом временной стоимости денег принимает вид

=

1

T



m

(C

n



+ P

n

) y − C



h

Y

m



T

m

− SC



p

− 1 +



rT

m

2



(C

0

+ y(C



t

+ C


n

)) ,


→ max

y, R


, y ≤ min (V

h

, V



t

) , R ≤ V

h

.

Меняя знак всего выражения на противоположный и исключая чле-



ны, не содержащие параметры y и R, перепишем задачу оптимизации

в следующем виде

F = C

h

R +



1

2

y (C



h

+ rC


t

+ rC


n

) +


D

y

(C



0

+ SC


p

) → min


y, R

,

y ≤ min (V



h

, V


t

) , R ≤ V

h

.

Из этого критерия получим систему уравнений









1

2

(C



h

+ rC


t

+ rC


n

) −


D

y

2



(C

0

+ SC



p

) = 0,


R

f (x)dx =



C

h

y



C

p

D



.

Как и раньше, возьмем в качестве вероятностной модели спроса

равномерное распределение. Тогда

R = m +


h

2



C

h

y



C

p

D



,

1

2



y (C

h

+ rC



t

+ rC


n

) − D C


0

+

hC



2

h

y



2

2C

p



D

2

= 0.



535

Решением этого уравнение будет следующее выражение:

y



=

2DC


0

C

h



+ rC

t

+ rC



n

hC



2

h

C



p

D

.



Отсюда находим оптимальное значение уровня R*:

R



= m +

h

2



2DC


0

C

h



+ rC

t

+ rC



n

hC



2

h

C



p

D

.



Критерий оптимизации системы при распределении из-

держек хранения и потерь от неудовлетворенного спроса в

конце периода поставки. Рассмотрим модель, в которой издерж-

ки хранения и потери от неудовлетворенного спроса соотносятся с

концом периода планирования (постнумерандо).

Задача максимизации интенсивности потока доходов в этом слу-

чае с учетом временной стоимости денег принимает вид

=

1



T

m

(C



n

+ P


n

) y − 1 + r

T

m

2



(C

0

+ C



t

y + C


n

y)−


− (C

h

Y



m

T

m



+ SC

p

) 1 −



r

r + 1


T

m

2



.

После несложных преобразований интересующая нас задача при-

водится к виду:

F → min


y,R

,

y ≤ min (V



h

, V


t

) ,


R ≤ V

h

,



где

F =


1

2

y C



h

+ rC


t

+ rC


n

r



r + 1

C

h



D

(R − m) +

D

y

(C



0

+ SC


p

) −


r

r + 1



C

h

4D



y

2



r

r + 1


SC

p

2



.

Вычисляя частные производные этой функции, получим уравне-

ния:

C

h



+ rC

t

+ rC



n

r



1 + r

C

h



(R − m)

D



2D(C


0

+ SC


p

)

y



2

r



1 + r

C

h



y

2D

= 0,



536

R

f (x)dx =



C

h

y



C

p

D



.

В случае равномерного распределения спроса будем иметь:

R = m +

h

2



C

h



y

C

p



D

.

Для определения оптимального значения y* получим уравнение



A + By +

C

y



2

= 0.


Делая замену переменных z = 1/y, решим уравнение z

3

+ pz + q = 0,



где p = A/C, q = B/C,

A = C


h

+ rC


t

+ rC


n

r



1 + r

hC

h



2D

hC



2

h

C



p

D

,



B =

r

1 + r



C

h

D



hC

h

C



p

D

− 1 ,



C = −2C

0

.



Это кубическое уравнение решается вышеописанным методом.

Заключение. Для общей вероятностной модели спроса были по-

лучены во всех трех случаях: схемы выплат издержек на хранение

и дефицит; система уравнений для определения оптимальных зна-

чений стратегий системы, которая разрешается численными метода-

ми. Был рассмотрен частный случай распределения спроса, когда он

носит равномерный характер в течение выполнения заказа. В ряде

примеров были получено, что на оптимальные значения стратегий

не влияет существенно схема выплат издержек.

Литература

1. Гаджинский А.М. Логистика. М.: Маркетинг, 1998. 228 с.

2. Фирон Х., Линдерс М. Управление снабжением и запасами. Ло-

гистика / Пер. с англ. СПб. 1999. 768 с.

3. Логистика сегодня. 2005. № 2. С. 32–40.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974.

537


Грицай К.Н., Малафеев О.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Многошаговая игра аукциона

с участием N продавцов

1. Описание модели. Рассматривается многошаговая теоретико-

игровая модель аукциона первой цены со многими продавцами.

В предлагаемой модели продавцы, составляющие множество N =

{1, . . . , n } (N ≥ 1), одновременно и независимо друг от друга и

от покупателей выставляют на торги каждый свой лот, имея его

оценку r


i

> 0 и указывая цену y

i

> 0, где i = 1, . . . , n, y



i

∈ Y


i

(Y

i



= (0, 1, . . . , l

i

] – множество стратегий продавца i-го лота, где l



i

– натуральное число). Покупатели, составляющие множество M =

{1, . . . , m } (M ≥ 2), одновременно и независимо друг от друга и от

продавцов указывают свои цены по каждому выставляемому на тор-

ги лоту x

ji

> 0, имея по ним свои оценки v



ji

> 0, где j = 1, . . . , m,

i = 1, . . . , n и x

ji

∈ X



j

(X

j



= (0, 1, . . . , k

j

] – множество стратегий



j-го покупателя, где k

j

– натуральное число), n ≤ m. Каждый игрок



знает свою функцию выигрыша: для покупателя функция выигры-

ша равна разности между его оценкой лота и ценой, объявляемой им

за этот лот, для продавца функция выигрыша равна разности между

ценой, объявляемой им за его лот, и его оценкой этого лота. Будем

считать, что если покупатель выигрывает более одного лота, то он

получает лот с максимальной доходностью: h

ji

= max


s∈S

j

(h



js

), где S


j

множество лотов, назначенные цены за которые j-ым покупателем



самые высокие среди всех назначенных цен остальными покупате-

лями за эти лоты: x

js

> max


1≤k≤m

k=j


(x

ks

). Остальные лоты из множества



S

j

достаются покупателям, назначившим вторую по величине цену



за эти лоты, которая удовлетворяет условиям игры, описанным ни-

же, и имеющим самую высокую доходность по указанным лотам. На

первом шаге игры в результате выбора покупателями и продавцами

своих стратегий x

ji

∈ X


j

и y


i

∈ Y


i

, где i = 1, . . . , n и j = 1, . . . , m,

реализуется ситуация

z

1



= x

11

, x



12

, . . . , x

m(n−1)

, x


mn

; y


1

, . . . , y

n

) ,


после чего, соответственно, определяются выигрыши покупателей и

продавцов: H

j

z

1



) = v

ji

− x



ji

— для игрока, купившего лот на пер-

538


вом шаге игры, и K

i

z



1

) = x


ji

− r


i

— для игрока, продавшего лот

на первом шаге игры, где i = 1, . . . , n и j = 1, . . . , m. Покупатели,

купившие лот, и продавцы, реализовавшие свой лот, покидают аук-

цион. На первом шаге игры для любой реализовавшейся ситуации

z

1



∈ X

1

× . . . × X



m

× Y


1

× . . . × Y

n

= Z


1

получаем следующую подыг-

ру аукциона первой цены в нормальной форме:

Γ

1



f

= M = {1, . . . , m }, N = {1, . . . , n }, X

j

, Y


i

, H


j

, K


i

,

где



H

j

(z



1

) =












v



ji

− x


ji

,

если h



ji

= max


s∈S

j

(h



js

),

S



j

= ∅ и


x

ji

≥ y



i

,

где



j = 1, . . . , m и

i = 1, . . . , n,

0,

если S


j

= ∅,


x

ji

< y

i

,

где



j = 1, . . . , m и

i = 1, . . . , n,

K

i

(z



1

) =

















Каталог: bitstream
bitstream -> С. торайғыровтың публицистикасы
bitstream -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
bitstream -> «Қазақ» газетіндегі ұлт-азаттық көтеріліс туралы мақалалардың маңызы
bitstream -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
bitstream -> Грам м атические форм ы вы раж ения ком паративны Х отнош ений в научно-популярной лингвистической литературе
bitstream -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
bitstream -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
bitstream -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   44   45   46   47   48   49   50   51   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет