Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет5/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   57

Рассмотрим теперь систему второго порядка вида

31


˙x

1

= f



1

1

(x



1

)+f


1

2

(x



2

) + g


1

(t),


˙x

2

= f



2

1

(x



1

)+f


2

2

(x



2

) + g


2

(t),


(6)

где функции f

j

i

(x



i

), g


i

(t), i, j = 1, 2, удовлетворяют условиям, ко-

торые аналогичны требованиям, предъявленным к функциям g(x),

g

1



(t) при исследовании уравнения (1). Для системы (6) движение

x

1



= 0, x

2

= 0 является расчетным и при изучении расчетной устой-



чивости этого движения может быть применен продемонстрирован-

ный выше подход. В качестве функции типа Ляпунова для системы

(6) возьмем скалярную функцию V (x, t) вида

V (x, t) =

x

1

0



F

1

(τ )dτ +



x

2

0



F

2

(τ )dτ + h



1

(t),


где опять функции F

i

(x



i

), i = 1, 2, и h

1

(t) удовлетворяют условиям,



аналогичным для f (x), f

1

(t) при рассмотрении функции типа Ляпу-



нова (2) для уравнения (1).

Теорема 2. Пусть в системе (6) функции f

j

i

(x



i

), g


i

(t), i, j = 1, 2,

удовлетворяют указанным условиям. Предположим, что в рас-

сматриваемых окрестностях точек x

i

= 0 для функций f



i

i

(x



i

)

справедливы соотношения: f



i

i

(0) = 0, f



i

i

(x



i

) < 0 при x

i

> 0,


f

i

i



(x

i

) > 0 при x



i

< 0, i = 1, 2. Пусть, кроме того, в рассматрива-

емых окрестностях точек x

i

= 0, i = 1, 2, справедливы тождества



f

2

1



(x

1

) ≡ af



1

1

(x



1

), f


1

2

(x



2

) ≡ bf


2

2

(x



2

), где a, b – ненулевые константы

разных знаков. Пусть функции g

i

(t), i = 1, 2, таковы, что сущест-



вуют и конечны несобственные интегралы вида

+∞

0



g

2

i



(τ )dτ < +∞.

Тогда движение x

1

= 0, x


2

= 0 системы (6) расчетно устойчиво.

Доказательство. Доказательство проводится аналогично теоре-

ме 1. Полагаем F

i

(x

i



) = −c

2

i



f

i

i



(x

i

), i = 1, 2, где c



i

, i = 1, 2, – некоторые

ненулевые постоянные. В качестве h

1

(t) берем (аналогично формуле



(4)) функцию вида

h

1



(t) =

c

2



1

4

+∞



t

g

2



1

(τ )dτ +


c

2

2



4

+∞

t



g

2

2



(τ )dτ +

+∞

t



h(τ )dτ .

32


Здесь h(t) – функция с теми же свойствами, как и при доказатель-

стве теоремы 1.

Замечание 2. Функция g(x) в уравнении (1) и функции f

j

i



(x

i

),



i, j = 1, 2, в системе (6) могут быть кусочно-непрерывными функ-

циями, имеющими конечное число точек разрыва первого рода в со-

ответствующих окрестностях изменения аргументов, лишь бы все

соответствующие решения уравнения (1) и системы (6) существовали

и были продолжимы по t от t = 0 до +∞.

Литература

1. Зубов С.В. Задачи расчетной устойчивости // Процессы управле-

ния и устойчивость: Труды 36-й научной конференции аспиран-

тов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.:

Изд-во СПбГУ, 2005. С. 29–33.

2. Зубов С.В. Расчетная устойчивость динамической системы перво-

го порядка // Идентификация систем и задачи управления: Тру-

ды V Международной Конференции SICPRO ’06. Москва, 30 ян-

варя – 2 февраля 2006 г. / Под ред. акад. И.В.Прангишвили – М.:

Институт Проблем Управления им. В.А.Трапезникова РАН, 2006.

С. 1443–1450.

3. Зубов С.В., Зубов Н.В. Математические методы стабилизации ди-

намических систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1996. 288 с.

4. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

М.: Наука, 1970. 398 с.

33


Зубова О.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Задача идентификации нескольких множеств

1

Рекомендовано к публикации профессором Демьяновым В.Ф.



1. Постановка задачи. Пусть в пространстве R

n

заданы три



множества точек

A = {a


i

| i ∈ I


def

= 1 : N


1

},

B = {b



j

| j ∈ J


def

= 1 : N


2

},

C = {c



k

| k ∈ K


def

= 1 : N


3

}.

Рассмотрим задачу разделения этих множеств при помощи двух



параллельных гиперплоскостей, задаваемых уравнениями:

r(x, ¯l


1

) = 0, r(x, ¯l

2

) = 0,


где r(x, ¯l

i

) = (x, l) + d



i

; ¯l


i

= [d


i

, l], l, x ∈ R

n

, d


i

∈ R, l = 1, i = 1, 2.

Решение задачи идентификации заключается в построении опре-

деленного решающего правила (РП), которое позволит отнести лю-

бую точку y из пространства R

n

к тому или иному множеству. Будем



искать РП вида





r(y, ¯l



1

) < 0


y ∈ A,


r(y, ¯l

1

) > 0



r(y, ¯l

2

) < 0



⇒ y ∈ B,

r(y, ¯l


2

) > 0


y ∈ C.


(1)

Заметим, что РП вида (1) однозначно определяется набором пара-

метров (d

1

, d



2

, l).


Для того чтобы оценить, насколько точно РП (1) идентифициру-

ет точки пространства, введем два функционала

F

1

(d



1

, d


2

, l) =


i∈I

max{0, r(a

i

, ¯l


1

)}+


j∈J

max{0, r(b

j

, ¯l


2

), −r(b


j

, ¯l


1

)} +


k∈K

max{0, r(c

k

, ¯l


2

)},


(2)

1

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фунда-



ментальных исследований (03-01-00668).

34


F

2

(d



1

, d


2

, l) =


1

2

i∈I



(max{0, r(a

i

, ¯l



1

)})


2

+

j∈J



(max{0, r(b

j

, ¯l



2

), −r(b


j

, ¯l


1

)})


2

+

k∈K



(max{0, r(c

k

, ¯l



2

)})


2

.

(3)



Оба функционала, F

1

и F



2

, являются выпуклыми. Более того, функ-

ционал F

2

является гладким.



Функционал (2), как и функционал (3), условно говоря, является

величиной ошибки в случае некорректной идентификации, а именно,

F

1

(d



1

, d


2

, l) есть сумма расстояний от неверно идентифицированных

точек до соответствующих гиперплоскостей, а F

2

(d



1

, d


2

, l) – полови-

на суммы квадратов этих расстояний. Поэтому будем считать РП

(1) тем лучше, чем меньше значение функционала F

1

, либо F


2

, для


заданного набора параметров .

Определение 1. Набор параметров (d

1

, d



2

, l



) называется оп-

тимальным в смысле функционала F , если

arg min F (d

1

, d


2

, l) = (d

1

, d



2

, l



).

РП вида (1), соответствующее такому набору параметров, также на-



зывается оптимальным в смысле функционала F .

2. Исследование функционала F

1

(d

1



, d

2

, l). Рассмотрим за-



дачу условной минимизации

F

1



(d

1

, d



2

, l)


→ min,



(4)

Ω = {[d


1

, d


2

, l] | l ∈ R

n

, l = 1, d



i

∈ R, i = 1, 2} ⊂ R

n+2

.

Введем штрафную функцию



Φ

1

(d



1

, d


2

, l) = F


1

(d

1



, d

2

, l) + λφ(d



1

, d


2

, l),


(5)

где φ(d


1

, d


2

, l) =| 1 − l |, λ ≥ 0. При достаточно больших λ задача

(4) сводится к задаче безусловной минимизации функции на всем

пространстве (см. [1, 2]). Найдем квазидифференциал (КВД) функ-

ции Φ

1

(d



1

, d


2

, l). Согласно формуле (5), справедливы равенства

1

(d



1

, d


2

, l) = ∂Φ

1

(d

1



, d

2

, l), ∂Φ



1

(d

1



, d

2

, l) ,



35

∂Φ

1

(d



1

, d


2

, l) = ∂F

1

(d

1



, d

2

, l) + λ∂φ(d



1

, d


2

, l),


∂Φ

1

(d



1

, d


2

, l) = ∂F

1

(d

1



, d

2

, l) + λ∂φ(d



1

, d


2

, l).


Вычислим суб- и супердифференциалы функций F

1

(d



1

, d


2

, l) и φ(d

1

, d


2

, l)


(см. [3])

∂F

1



(d

1

, d



2

, l) =


i∈I

+

∪I



0

[1, 0, a


i

] +


j∈J

1−

∪J



10

[−1, 0, −b

j

]+

j∈J



2+

∪J

20



[0, 1, b

j

] +



k∈K

∪K



0

[0, −1, −c

k

], ∂F


1

(d

1



, d

2

, l) = {[0, 0, 0



n

]},


∂φ(d

1

, d



2

, l) = co{[0, 0, l], [0, 0, −l]}, ∂φ(d

1

, d


2

, l) = {[0, 0, 0

n

]}.


(6)

где


I

0

= {i ∈ I | r(x, l



1

) = 0}, I

+

= {i ∈ I | r(x, l



1

) > 0},


J

10

= {j ∈ J | r(x, l



1

) = 0}, J

1−

= {j ∈ J | r(x, l



1

) < 0},


J

20

= {j ∈ J | r(x, l



2

) = 0}, J

2+

= {j ∈ J | r(x, l



2

) > 0},


K

0

= {k ∈ K | r(x, l



2

) = 0}, K

= {i ∈ I | r(x, l



2

) < 0}.


(7)

Пусть множества I

0

, J


10

, J


20

и K


0

пустые, т.е. ни одна точка мно-

жеств A , B и C не попала ни на одну разделяющую гиперплоскость.

Тогда, подставив (7) в (6), получим

∂Φ

1

(d



1

, d


2

, l) =


i∈I

+

[1, 0, a



i

] +


j∈J

1−

[−1, 0, −b



j

]+

j∈J



2+

[0, 1, b


j

] +


k∈K

[0, −1, −c



k

] + λco{[0, 0, l], [0, 0, −l]},

∂Φ

1

(d



1

, d


2

, l) = {[0, 0, 0

n

]}.


(8)

Необходимым условием минимума функции Φ

1

(d

1



, d

2

, l) в точке



(d

1



, d

2



, l

) является выполнение включения



−∂Φ

1

(d



1

, d



2

, l



) ⊂ ∂Φ


1

(d



1

, d


2

, l



).

Подставив (8) в последнее выражение, имеем



{[0, 0, 0

n

]} ∈



i∈I

+

[1, 0, a



i

] +


j∈J

1−

[−1, 0, −b



j

] +


j∈J

2+

[0, 1, b



j

]+

k∈K



[0, −1, −c

k

] + λco{[0, 0, l], [0, 0, −l]}.



(9)

36


Распишем выражение (9) покоординатно. По первой и второй коор-

динатам имеем

| I

+

|=| J



1−

|, | K


|=| J


2+

|,

где | I



+

|, | J


1−

|, | K


|, | J


2+

| – количество элементов множества

I

+

, J



1−

, J


2+

и K


соответственно. По 3, 4, . . . , n + 2 координатам

выражение (9) эквивалентно соотношению

i∈I


+

a

i



j∈J


1−

b

j



+

j∈J


2+

b

j



k∈K


c

k



= µl

, µ = [−λ, λ].



(10)

Таким образом, для того чтобы РП было оптимальным в смысле

функционала F

1

(d



1

, d


2

, l), необходимо чтобы, во-первых, количество

неверно идентифицированных точек каждого из множеств A и B,

а также B и C, были равны между собой, и, во-вторых, вектор из

левой части равенства (10) был параллелен вектору нормали l

.



3. Исследование функционала F

2

(d



1

, d


2

, l). Найдем необхо-

димое условие оптимальности в смысле функционала F

2

(d



1

, d


2

, l).


Для этого решим задачу

F

2



(d

1

, d



2

, l)


→ min.



Построим штрафную функцию

Φ

2



(d

1

, d



2

, l) =F


2

(d

1



, d

2

, l) + λφ(d



1

, d


2

, l)


(11)

и перейдем к задаче минимизации на всем пространстве

Φ

2

(d



1

, d


2

, l)


R

n+2


−−−→ min.

Если


arg min Φ

2

(d



1

, d


2

, l) = (d

∗∗

1

, d



∗∗

2

, l



∗∗

),

то выполняется условие



−∂Φ

2

(d



∗∗

1

, d



∗∗

2

, l



∗∗

) ⊂ ∂Φ


2

(d

∗∗



1

, d


∗∗

2

, l



∗∗

).

(12)



Найдем суб- и супердифференциалы функции Φ

2

(d



1

, d


2

, l) – мно-

жества ∂Φ

2

(d



1

, d


2

, l) и ∂Φ

2

(d

1



, d

2

, l). Для этого найдем аналогичные



37

множества для F

2

(d



1

, d


2

, l) (см. [2]) и воспользуемся формулами (6)

и (11). Имеем

∂Φ

2



(d

1

, d



2

, l) =


i∈I

+

[1, 0, a



i

]r(a


i

, ¯l


1

) +


j∈J

1−

[−1, 0, −b



j

]r(b


j

, ¯l


1

)+

j∈J



2+

[0, 1, b


j

]r(b


j

, ¯l


2

) +


k∈K

[0, −1, −c



k

]r(c


k

, ¯l


2

)+

λco{[0, 0, l], [0, 0, −l]}, ∂Φ



2

(d

1



, d

2

, l) = {[0, 0, 0



n

]}.


(13)

Подставив (13) в выражение (12), получим

i∈I

+

r(a



i

, ¯l


∗∗

1

) =



j∈J

1−

r(b



j

, ¯l


∗∗

1

),



j∈J

2+

r(b



j

, ¯l


∗∗

2

) =



k∈K

r(c



k

, ¯l


∗∗

2

), (14)



i∈I

+

a



i

r(a


i

, ¯l


∗∗

1

) −



j∈J

1−

b



j

r(b


j

, ¯l


∗∗

1

) +



j∈J

2+

b



j

r(b


j

, ¯l


∗∗

2

)−



k∈K

c



k

r(c


k

, ¯l


∗∗

2

) = µl



∗∗

.

(15)



Формулы (14), (15) означают, что для оптимальности решающего

правила в смысле функционала F

2

(d

1



, d

2

, l) необходимо, чтобы, во-



первых, были равны между собой две пары величин – расстояния от

неправильно определенных точек множеств A и B до разделяющей

их гиперплоскости r(x, ¯l

∗∗

1



) и аналогичные расстояния для множеств

B и C и гиперплоскости r(x, ¯l

∗∗

2

), и, во-вторых, вектор из левой части



уравнения (15) был параллелен вектору нормали ¯l

∗∗

.



Литература

1. Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление.

М.: Высшая Школа, 2005. 335 с.

2. Зубова О.А. Применение квазидифференциального исчисления

к решению задач идентификации. СПб.: Изд-во НИИ Химии

СПбГУ, 2005. 18 с.

3. Демьянов В. Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимиза-

ция. М.: Наука, 1981. 384 с.

38


Иванова О.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Приближение решения

уравнения Дюффинга в звезде

В данной работе решается аналитически и численно задача по-

строения приближения голоморфной функции, заданной своим эле-

ментом Вейерштрасса e

0

,



e

0

=



n=0


a

n

(z − z



0

)

n



= f (z), при |z − z

0

| < ρ,



(1)

в прямолинейной звезде [1–4], где ρ – радиус сходимости ряда (1), на

модельном примере уравнением Дюффинга.

Используя разложение Миттаг – Леффлера в прямолинейной

звезде функции, можно функцию f (z), голоморфную в некоторой

области Ω

z

⊂ C


1

, разложить в ряд по полиномам

f (z) =



n=0



f

(n)


(z),

где


f

(n)


(z) = c

(n)


0

a

0



+ c

(n)


1

a

1



z + . . . + c

(n)


m

n

a



m

n

z



m

n

.



(2)

Здесь n – номер полинома, n = 0, 1, . . ., c

(n)

m

n



– так называемые мно-

жители сходимости, определяемые номером полинома и количеством

слагаемых в данном полиноме, m

n

= (ν + 1)



n

− 1, ν = 1, 2, . . . [1, 4, 6],

a

m

n



– коэффициенты ряда Тейлора.

При этом последовательность полиномов (2) равномерно сходит-

ся внутри прямолинейной звезды Миттаг – Леффлера S

e

0



элемента

e

0



, задающего f (z) [1–4].

Рассмотрим нелинейное уравнение Дюффинга второго порядка

[5]:

¨

x + ω



2

x + µx


3

= 0,


(3)

где ω, µ – параметры, определяющие характер колебаний.

Зададим начальные данные

x

0



= x(t

0

),



˙x

0

= ˙x(t



0

).

(4)



39
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет