Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет7/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   57

(1)

где x – неизвестная n-мерная вектор–функция скалярного аргумента



t. Относительно правой части системы (1) будем предполагать, что

она непрерывна по всем своим аргументам и липшицева по перемен-

ной x на множестве Ω = (x, t)

x ∈ R


n

, t ≥ 0 , а под x(t, t

0

, x


0

)

будем понимать решение системы (1), проходящее в момент t



0

через


точку x

0

. Пусть M — ограниченное, замкнутое множество из R



n

.

Через (x) обозначим расстояние от точки x до M , т.е.



(x) = min

y∈M


x − y .

Введём в рассмотрение множество Ω

h

= (x, t)


x ≤ h, t ≥ 0 ,

h > 0 и предположим, что M содержится в множестве x ≤ h.

Определение 1.

Вещественная, однозначная, непрерывная

функция V (t, x), заданная на множестве Ω

h

, называется положи-



тельно-определённой относительно множества M на Ω

h

, если



V (t, x) ≡ 0 при (x) = 0, и существует непрерывная функция V

1

(x),



заданная при x

≤ h, такая, что V

1

(x) = 0, для всех x ∈ M ,



V

1

(x) > 0 при (x) > 0, и на Ω



h

выполнено V (t, x) ≥ V

1

(x).


Определение 2. Вещественная, однозначная, заданная на мно-

жестве Ω


h

, функция V (t, x) допускает бесконечно малый высший

предел относительно множества М, если V (t, x) равномерно отно-

сительно t ≥ 0 стремится к нулю при (x) → 0.

Определение 3.

Ограниченное, замкнутое множество М из

R

n

назовём асимптотически инвариантным множеством для тра-



екторий системы (1), если существует ε-окрестность множества М,

(x) ≤ ε, такая, что любое решение x(t, t

0

, x


0

) системы (1), начина-

ющееся в этой окрестности при t = t

0

, t



0

≥ 0, будет ограничено при

t ≥ t

0

, и, кроме того, (x(t, t



0

, x


0

))−−−−→


t→+∞

0.

Теорема 1. Если для системы (1) существуют три непрерыв-



ные в Ω функции λ(t), V (t, x) и W (t, x) такие, что:

50


1. V и W положительно определены относительно множества

M в Ω;


2. V допускает бесконечно малый высший предел относительно

множества M ;

3. V ∈ C

1

(Ω) и ˙



V

(1)


= −W на множестве (x) ≥ λ(t);

4. λ(t) > 0 и λ(t) → 0 при t → +∞;

5. V → +∞ при x → +∞,

тогда все решения системы (1) будут асимптотически прибли-

жаться к множеству M при t → +∞.

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку (t

0

, x


0

),

t



0

≥ 0 и рассмотрим решение x(t, t

0

, x


0

). Сначала покажем, что оно

продолжимо на интервал [t

0

, +∞). Пусть это не так, тогда существу-



ет

конечный


момент

времени


t

> t



0

такой,


что

x(t, t


0

, x


0

) → +∞ при t → t

− 0. Это, в силу ограниченности мно-



жества М, равносильно тому, что (x(t, t

0

, x



0

)) → +∞ при t → t

− 0.


Функция λ(t) ограничена при t ≥ 0, следовательно, существует

t ∈ [t


0

, t


) такое, что (x(t, t

0

, x


0

)) ≥ λ(t) для всех t ∈ [t, t

), а тогда



функция v(t) = V (t, x(t, t

0

, x



0

)) будет монотонно убывать на проме-

жутке [t, t

), т.е. будет выполнено условие v(t) > v(t) для любого



t ∈ (t, t

). Но величина v(t) конечная, а v(t) → +∞ при t → t



− 0.


Полученное противоречие доказывает продолжимость x(t, t

0

, x



0

) на


множество t ≥ t

0

.



Покажем, что на множестве t ≥ t

0

решение x(t, t



0

, x


0

) будет огра-

ничено. Пусть предположение не верно, тогда существует последова-

тельность {t

k

} → +∞ при k → +∞ такая, что x(t



k

, t


0

, x


0

) → +∞


при k → +∞, а, следовательно, и

(x(t


k

, t


0

, x


0

)) → +∞ при k → +∞.

(2)

В этом случае для функции x(t, t



0

, x


0

) возможны две ситуации:

1. Существует T ≥ t

0

такое, что (x(t, t



0

, x


0

)) ≥ λ(t) для всех

t ≥ T . Но тогда v(t) монотонно убывает при t ≥ T , а с другой

стороны, v(t

k

) → +∞ при k → +∞, что невозможно.



2. Существует последовательность {t

k

} → +∞ при k → +∞ та-



кая, что (x(t

k

, t



0

, x


0

)) = λ(t


k

) для любого k ≥ 1.

51


В последней ситуации зафиксируем произвольное число L > 0. В

силу (2), существует T

1

= T


1

(L) ≥ t


0

такое, что (x(t

k

, t


0

, x


0

)) > L


для всех t

k

≥ T



1

. Следовательно, существует бесконечная последо-

вательность отрезков

{[t


k

, t


k

]}, t


k

→ +∞ при k → +∞,

для которой выполнено: (x(t

k

, t



0

, x


0

)) = λ(t


k

), (x(t


k

, t


0

, x


0

)) = L и


λ(t) ≤ (x(t, t

0

, x



0

)) ≤ L при t ∈ (t

k

, t


k

).

Функция V (t, x) положительно определена относительно М, следо-



вательно, существует непрерывная функция V

1

(x), V



1

(x) > 0 при

(x) > 0, V

1

(x) = 0 при (x) = 0 такая, что V (t, x) ≥ V



1

(x) для всех

x и всех t ≥ 0. Пусть

min


(x)=L

V

1



(x) = l(L) = l.

(3)


Ясно, что l > 0. Из того, что V (t, x) допускает бесконечно малый

высший предел относительно М, следует, что функция

ϕ(t) =

max


(x)=λ(t)

V (t, x)


стремится к нулю при t → +∞, следовательно, существует момент

T

2



= T

2

(L) ≥ 0 такой, что



ϕ(t) < l для всех t ≥ T

2

.



(4)

Обозначим T = max{T

1

, T


2

}, тогда при t ≥ T функция v(t) монотон-

но убывает на отрезках [t

k

, t



k

], следовательно, начиная с некоторо-

го k будет выполнено неравенство v(t

k

) > v(t



k

), что противоречит

условиям (3) и (4). Таким образом, и вторая ситуация невозможна.

Поэтому для любой точки (t

0

, x


0

) существует постоянная величина

H = H(t

0

, x



0

) > 0 такая, что (x(t, t

0

, x


0

)) ≤ H при всех t ≥ t

0

.

Осталось показать, что (x(t, t



0

, x


0

)) → 0 при t → +∞. Пусть

это не так, тогда существует постоянная величина α > 0 такая, что

имеет место одна из трёх ситуаций:

1. Существует T

1

≥ t



0

такое, что (x(t, t

0

, x


0

)) ≥ α при t ≥ T

1

.

2. Существуют T



1

≥ t


0

и две последовательности {t

k

} → +∞,


{t

k

} → +∞ при k → +∞ такие, что для всех t ≥ T



1

выполнено

(x(t, t

0

, x



0

)) ≥ λ(t), (x(t

k

, t


0

, x


0

))−−−−→


k→+∞

0, (x(t


k

, t


0

, x


0

)) = α.


52

3. Существуют последовательности {t

k

} → +∞, {t



k

} → +∞ при

k → +∞ такие, что (x(t

k

, t



0

, x


0

)) = λ(t


k

), (x(t


k

, t


0

, x


0

)) = α.


В первом случае, из положительной определённости функции

W (t, x) относительно множества М, следует, что существует непре-

рывная при x ∈ R

n

функция W



1

(x), W


1

(x) > 0 при (x) > 0 такая,

что W (t, x) ≥ W

1

(x) для всех x и всех t ≥ 0. Положим



min

α≤ (x)≤H


W

1

(x) = γ(α, H) = γ.



Ясно, что γ > 0. Функция λ(t) → 0 при t → +∞, следовательно,

найдётся T

2

= T


2

(α) ≥ 0 такое, что

λ(t) < α, для любого t ≥ T

2

.



(5)

Пусть T = max{T

1

, T


2

}, тогда при t ≥ T будет выполнено

˙v(t) ≤ −γ.

Проинтегрировав это неравенство в пределах от T до t, получим

v(t) ≤ v(T ) − γ(t − T ).

Здесь правая часть неравенства стремится к −∞ при t → +∞, а

левая неотрицательна для любого t, что говорит о том, что первая

ситуация невозможна.

Рассмотрим вторую ситуацию. Пусть η > 0 выбрано из условия

η = η(α) = min

(x)=α

V

1



(x),

(6)


а T

2

определяется соотношением (5). В силу того, что v(t



k

) → 0 при

k → +∞, существует T

3

= T



3

(α) ≥ 0 такое, что v(t

k

) < η для всех



t

k

≥ T



3

. Обозначим через T = max{T

1

, T


2

, T


3

}, тогда v(t) монотонно

убывает при t ≥ T , но, начиная с некоторого k, получим v(t

k

) < η, а



v(t

k

) ≥ η, что противоречит монотонному убыванию функции v(t).



В третьем случае существует бесконечная последовательность от-

резков [τ

k

, τ


k

], τ


k

→ +∞ при k → +∞ такая, что

(x(τ

k

, t



0

, x


0

)) = λ(τ


k

), (x(τ


k

, t


0

, x


0

)) = α,


53

причём, (x(t, t

0

, x



0

)) ∈ [λ(t), α] для любого t ∈ [τ

k

, τ


k

]. Функция

ϕ(t) → 0 при t → +∞, следовательно, существует T

3

= T



3

(α) ≥ 0


такое, что

ϕ(t) < η для всех t ≥ T

3

.

(7)



Рассмотрим v(t) при t ≥ T = max{T

2

, T



3

}, где T


2

определяется усло-

вием (5). На каждом отрезке [τ

k

, τ



k

] функция v(t) монотонно убы-

вает, следовательно, v(τ

k

) > v(τ



k

). С другой стороны, v(τ

k

) > η в


силу (6), а v(τ

k

) < η, в силу (7). Следовательно, и третья ситуация



невозможна.

Таким образом, в силу произвольности выбора начальной точки

(t

0

, x



0

), t


0

≥ 0, можно утверждать, что все решения, начинающиеся

на множестве Ω, стремятся к множеству М при t → +∞.

Замечание 1. Из доказательства теоремы 1 следует, что если

для системы (1) существуют функции λ(t), V (t, x) и W (t, x), удо-

влетворяющие на множестве Ω(T ) = (x, t)

x ∈ R

n

, t ≥ T



всем

условиям теоремы 1, то все решения, начинающиеся на множестве

Ω(T ), стремятся к М при неограниченном возрастании времени.

Далее, рассмотрим множество Ω

h

. Пусть функция V (t, x) поло-



жительно определена относительно множества М, целиком содер-

жащемся внутри Ω

h

. Тогда существует непрерывная в Ω



h

функция


V

1

(x) > 0 при (x) > 0, V



1

(x) = 0 при (x) = 0 такая, что

V (t, x) ≥ V

1

(x), для всех (t, x) ∈ Ω



h

.

Теорема 2. Если для системы (1) существуют функции V (t, x),



W (t, x) и λ(t), удовлетворяющие на множестве Ω

h

первым четы-



рём условиям теоремы 1, и постоянная ξ > 0 такая, что

max


(x)=λ(t)

V (t, x) < min

(x)=ξ

V

1



(x),

(8)


при условии, что множество (x) ≤ ξ содержится внутри Ω

h

, то-



гда множество М является асимптотически инвариантным мно-

жеством для траекторий системы (1).

Доказательство. Пусть α удовлетворяет условиям теоремы 2 и

β > 0 определяется равенствами

β = β(ξ) = min

(x)=ξ


V

1

(x).



(9)

V (t, x) допускает бесконечно малый высший предел, относительно

множества М, следовательно, существует непрерывная на множестве

54


h

функция V



2

(x), V


2

(x) = 0 при (x) = 0, которая удовлетворяет

неравенству

V (t, x) ≤ V

2

(x) для всех (t, x) ∈ Ω



h

.

А тогда существует δ = δ(ξ) > 0 такое, что



V

2

(x) < β



(10)

при (x) ≤ δ. Покажем, что если (x

0

) ≤ δ, то (x(t, t



0

, x


0

)) < ξ.


Предположим, что это не так, тогда существует момент t

> t



0

та-


кой, что (x(t

, t



0

, x


0

)) = ξ. В этом случае для решения x(t, t

0

, x


0

)

возможны две ситуации: либо (x



0

) ≤ λ(t


0

), либо (x

0

) > λ(t


0

). В


первом случае существует t ∈ [t

0

, t



) такое, что (x(t, t

0

, x


0

)) = λ(t)

и (x(t, t

0

, x



0

)) ≥ λ(t) для любого t ∈ [t, t

], следовательно, функ-



ция v(t) = V (x(t, t

0

, x



0

)) монотонно убывает при t ∈ [t, t

], т.е.


v(t) > v(t

), что противоречит условию (8) теоремы 2, так как



v(t) ≤

max


(x)=λ(t)

V (t, x) < max

(x)=ξ

V

1



(x) ≤ v(t

).



Во втором случае может существовать момент t ∈ [t

0

, t



) такой,


что (x(t, t

0

, x



0

)) ≤ λ(t), тогда вновь попадаем в первую ситуацию.

Если такого момента нет, то (x(t, t

0

, x



0

)) ≥ λ(t) для всех t ∈ [t

0

, t


],

следовательно, v(t



0

) > v(t


), но v(t

0

) < β в силу условия (10), а,



v(t

) ≥ β в силу соотношения (9). Таким образом, показано, что



(x(t, t

0

, x



0

)) ≤ ξ для любого t ≥ t

0

.

Теперь покажем, что (x(t, t



0

, x


0

)) → 0 при t → +∞. Предпо-

ложим, что это не так, тогда, как и в доказательстве теоремы 1,

существует постоянная величина α > 0, для которой имеет место

одна из трёх ситуаций:

1. существует T

1

≥ t


0

такое, что α ≤ (x(t, t

0

, x


0

)) ≤ ξ при t ≥ T

1

;

2. существует T



1

≥ t


0

и две последовательности {t

k

} → +∞,


{t

k

} → +∞ при k → +∞, такие, что λ(t) ≤ (x(t, t



0

, x


0

)) ≤ ξ


для всех t ≥ T

1

, (x(t



k

, t


0

, x


0

))−−−−→


k→+∞

0 и (x(t


k

, t


0

, x


0

)) = α;


3. существуют последовательности {t

k

} → +∞, {t



k

} → +∞ при

k → +∞ такие, что (x(t

k

, t



0

, x


0

)) = λ(t


k

), (x(t


k

, t


0

, x


0

)) = α.


В первом случае, из положительной определённости функции

W (t, x) относительно множества М, следует, что существует непре-

рывная на множестве x

≤ h функция W

1

(x), W


1

(x) > 0 при

55


(x) > 0 такая, что W (t, x) ≥ W

1

(x) для всех x и всех t ≥ 0. Найдём



γ > 0 из условия

min


α≤ (x)≤ξ

W

1



(x) = γ(α, ξ) = γ.

Пусть момент T

2

определяется соотношением (5), и T = max{T



1

, T


2

},

тогда при t ≥ T будет выполнено



˙v(t) ≤ −γ.

Проинтегрировав, это неравенство в пределах от T до t получим

v(t) ≤ v(T ) − γ(t − T ).

Здесь правая часть неравенства стремится к −∞ при t → +∞, а

левая неотрицательна для любого t, что говорит о том, что первая

ситуация невозможна.

Рассмотрим теперь вторую ситуацию. Пусть, как и прежде, мо-

мент T


2

определяется соотношением (5), а величина η соотношени-

ем (6). В силу того, что v(t

k

) → 0 при k → +∞, существует момент



T

3

= T



3

(α) ≥ 0 такой, что v(t

k

) < η для всех t



k

≥ T


3

. Обозначим

через T = max{T

1

, T



2

, T


3

}, тогда v(t) монотонно убывает при t ≥ T ,

но, начиная с некоторого k, получим v(t

k

) < η, а v(t



k

) ≥ η, что

противоречит монотонному убыванию функции v(t).

В третьем случае, как и прежде, существует бесконечная после-

довательность отрезков [τ

k

, τ



k

], τ


k

→ +∞ при k → +∞ такая, что

(x(τ

k

, t



0

, x


0

)) = λ(τ


k

), (x(τ


k

, t


0

, x


0

)) = α,


причём, (x(t, t

0

, x



0

)) ∈ [λ(t), α] для любого t ∈ [τ

k

, τ


k

]. Пусть мо-

менты T

2

и T



3

определяются соотношениями (5) и (7), соответ-

ственно, а величина η > 0 соотношением (6). Рассмотрим v(t) при

t ≥ T = max{T

2

, T


3

}. На каждом отрезке [τ

k

, τ


k

] функция v(t) мо-

нотонно убывает, следовательно, v(τ

k

) > v(τ



k

). С другой стороны,

v(τ

k

) > η в силу (6), а v(τ



k

) < η в силу (7). Следовательно, и третья

ситуация невозможна.

Таким образом, показано, что существует δ-окрестность множе-

ства М такая, что выпущенные из неё решения остаются ограничен-

ными при t ≥ t

0

, и стремятся к множеству М при t → +∞. Тем



самым, теорема доказана полностью.

56


Минайло А.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Об устойчивости по части переменных

нелинейных разностных систем

Рекомендовано к публикации профессором Александровым А.Ю.

В работе исследована устойчивость по части переменных реше-

ний нелинейных разностных систем. Рассматривается воздействие

на систему неавтономных возмущений. Доказано, что для некото-

рых классов неавтономных возмущений порядок компонент вектора

возмущений может быть ниже порядка компонент функций, входя-

щих в правую часть системы.

1. Условия сохранения устойчивости при возмущениях,

порядок которых выше порядка функций, входящих в пра-

вую часть системы. Рассмотрим систему

X

k+1


= X

k

+ F (X



k

) + M


k

(X

k



, Y

k

),



Y

k+1


= P

k

(Y



k

) + D


k

(X

k



, Y

k

).



(1)

Здесь X, Y — векторы размерности n

1

и n


2

соответственно, эле-

менты вектора F (X) определены для любого X ∈ E

n

1



, являются

непрерывно дифференцируемыми обобщенно-однородными функци-

ями класса (m

1

, . . . , m



n

1

) порядка σ + m



i

[1] и удовлетворяют, в силу

обобщенной однородности, следующим неравенствам

c

1i



r

σ+m


i

(X) ≤ F


i

(X) ≤ c


2i

r

σ+m



i

(X),


где σ = p/q — рациональное число, (q — нечетное, p — любое целое

число), σ + m

i

> 0, i = 1, n



1

, X = (x


1

, . . . , x

n

1

)



, r(X) =


n

1

i=1



|x

i

|



1

mi

, а



c

1i

и c



2i

имеют вид

c

1i

= inf



r(X)=1

F

i



(X),

c

2i



= sup

r(X)=1


F

i

(X).



57
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет