Процессы управления и устойчивость



жүктеу 30.48 Mb.
Pdf просмотр
бет8/57
Дата27.12.2016
өлшемі30.48 Mb.
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   57

(X, Y ) и M

k

(X, Y ) определены и



непрерывны на множестве k = 0, 1, . . . , r(X) < H, r(Y ) < H и удо-

влетворяют условиям

P

k

(0) = 0,



D

k

(X, Y ) ≤ c



1

r

λ



(X),

|M

ki



(X, Y )| ≤ ψ

i

(X, Y )r



σ+m

i

(X),



где ψ

i

(X, Y ) → 0 при r(X) + r(Y ) → 0, c



1

> 0, λ > 0, i = 1, n

1

,

H — положительная постоянная.



Наряду с уравнениями (1) рассмотрим систему, состоящую из

двух изолированных подсистем

X

k+1


= X

k

+ F (X



k

),

(2)



Y

k+1


= P

k

(Y



k

),

(3)



которую будем называть системой первого приближения для (1).

Пусть нулевое решение обобщенно-однородной системы диффе-

ренциальных уравнений

.

X = F (X)



(4)

асимптотически устойчиво. Кроме того, предположим, что суще-

ствует функция Ляпунова V

1k

(Y ), заданная при k = 0, 1, . . . ,



r(Y ) < H и обладающая свойствами:

1) V


1k

(Y ) непрерывно дифференцируема по Y , причем ее частные

производные ∂V

1k

/∂Y



j

, j = 1, n

2

, ограничены;



2) V

1k

(Y ) — положительно-определенная функция;



3) приращение V

1k

(Y ) на решениях системы (3) неположительно.



Таким образом, нулевое решение уравнений (2) асимптотически

устойчиво, а нулевое решение уравнений (3) является устойчивым.

Теорема 1. При выполнении неравенства λ > σ нулевое решение

системы (1) устойчиво по всем переменным и асимптотически X-

устойчиво.

Доказательство. В работе [1] доказано, что из асимптотиче-

ской устойчивости нулевого решения системы (4) следует суще-

ствование обобщенно-однородных функций Ляпунова. Рассмотрим

58


функции Ляпунова V (X) и W (X) обобщенно-однородные класса

(m

1



, . . . , m

n

1



) порядка m − σ и m соответственно, для которых верно

равенство dV /dt = W . Здесь m — положительное рациональное чис-

ло. Причем V (X) — положительно-определенная функция, а W (X)

— отрицательно-определенная. Для функций V (X) и W (X) имеют

место следующие неравенства

a

1



r

m−σ


(X) ≤ V (X) ≤ a

2

r



m−σ

(X),


(5)

ξ

1



r

m

(X) ≤ W (X) ≤ ξ



2

r

m



(X),

где a


1

, a


2

> 0, ξ


1

, ξ


2

< 0.

Рассмотрим

приращение

функции


V (X)

на

решениях



системы (1). Получим, что при всех k = 0, 1, . . . , r(X

k

) < H,



r(Y

k

) < H, имеют место соотношения



∆V = V (X

k

+ F (X



k

) + M


k

(X

k



, Y

k

)) − V (X



k

) = (V (X

k

))



G

k

(X



k

, Y


k

)+

+



1

2

(G



k

(X

k



, Y

k

))



V (X


k

+ θG


k

(X

k



, Y

k

))G



k

(X

k



, Y

k

),



где G

k

(X, Y ) = F (X) + M



k

(X, Y ), θ ∈ (0, 1).

Тогда, в достаточно малой окрестности точки X = 0, Y = 0 при

всех k = 0, 1, . . . , получаем

∆V = (V (X

k

))



F (X


k

) + (V (X

k

))



M

k

(X



k

, Y


k

)+

+



1

2

n



1

i,j=1


G

ik

(X



k

, Y


k

)G

jk



(X

k

, Y



k

)V

ij



(X

k

+ θG



k

(X

k



, Y

k

)) ≤



≤ ξ

2

r



m

(X

k



) + a ψ(X

k

, Y



k

)r

m



(X

k

) + r



m+σ

(X

k



) .

Здесь a — положительная постоянная.

Следовательно, существует число η > 0 такое, что если при

k = k


0

, . . . , k

1

решение (X



k

, Y



k

)



системы (1) остается в области

r(X) ≤ η, r(Y ) ≤ η, то для этих значений k справедлива оценка

∆V ≤


ξ

2

2



r

m

(X



k

).

(6)



59

Далее

рассмотрим

приращение

функции


V

1k

(Y )



в

силу


системы (1). Имеем

V

1k



(Y

k+1


) − V

1k

(Y



k

) = [V


1k

(P

k



(Y

k

) + D



k

(X

k



, Y

k

)) − V



1k

(P

k



(Y

k

))]+



+[V

1k

(P



k

(Y

k



)) − V

1k

(Y



k

)].


Принимая во внимание указанные выше свойства функции V

1k

(Y ),



приходим к неравенству

∆V

1k



(Y

k

) ≤ V



1k

(P

k



(Y

k

) + θD



k

(X

k



, Y

k

))



D

k

(X



k

, Y


k

) ≤ b


1

r

λ



(X),

где b


1

> 0, θ ∈ (0, 1).

Рассмотрим оценку (6). Учитывая, что обобщенно-однородная

функция V (X) при всех X ∈ E

n

1

удовлетворяет неравенствам (5),



получаем

V (X


k+1

) ≤ V (X


k

) +


ξ

2

2



r

m

(X



k

) ≤ V (X


k

) +


ξ

2

2



V (X)

a

2



m

m−σ


.

При этом будем считать, что число η выбрано настолько малым,

чтобы выполнялось условие

−ξ

2



m η

σ

2a



2

(m − σ)


≤ 1.

Используя лемму 8.1 [2], приходим к неравенству

r(X

k

) ≤ a



1

r(X


k

0

) (1 + a



2

r

σ



(X

k

0



)(k − k

0

))



1

σ



,

(7)


которое справедливо при k = k

0

, . . . , k



1

+ 1. Здесь a

1

и a


2

— положи-

тельные постоянные, не зависящие от начальных данных рассмат-

риваемого решения.

Далее имеем

V

1k



(Y

k

1



+1

) − V


1k

(Y

k



0

) ≤ b


1

k

1



k=k

0

r



λ

(X

k



) ≤

≤ b


1

r

λ



(X

k

0



) 1 + a

λ

1



k

1

k=k



0

+1

(1 + a



2

r

σ



(X

k

0



)(k − k

0

))



λ

σ



≤ b


1

r

λ



(X

k

0



)

1 + a



λ

1

k



1

k

0



(1 + a

2

r



σ

(X

k



0

)(t − k


0

))



λ

σ

dt



 .


60

Так как (1 + a

2

r



σ

(X

k



0

)(k − k


0

))



λ

σ

≥ 0, то



k

1

k



0

(1 + a


2

r

σ



(X

k

0



)(t − k

0

))



λ

σ



dt ≤

+∞

0



(1 + a

2

a t)



λ

σ



dt.

Здесь a = r

σ

(X

k



0

). Пусть at = τ , тогда dt = (1/a) dτ . Отсюда

+∞

0

(1 + a



2

a t)


λ

σ



dt =

1

a



+∞

0

(1 + a



2

τ )


λ

σ



dτ =

= r


−σ

(X

k



0

)

+∞



0

(1 + a


2

τ )


λ

σ



dτ.

Значит, справедлива оценка

V

1k

(Y



k

1

+1



) ≤ V

1k

(Y



k

0

) + b



1

r

λ



(X

k

0



) + b

1

a



λ

1

a



3

r

λ−σ



(X

k

0



),

(8)


где a

3

=



+∞

0

(1 + a



2

τ )


λ

σ



dτ .

Задаем сколь угодно малое положительное число ε, ε < η. Пусть

β =

inf


k≥0,r(Y )=ε

V

1k



(Y ). Выберем δ > 0 так, чтобы выполнялись усло-

вия a


1

δ < ε, 3b

1

δ

λ



< β,

3b

1



a

λ

1



a

3

δ



λ−σ

≤ β,


V

1k

(Y ) < β/3



при

r(Y ) < δ, k = 0, 1, . . .

Из оценок (7) и (8) следует, что если начальные данные реше-

ния (X


k

, Y



k

)



удовлетворяют неравенствам k

0

> 0, r(X


k

0

) < δ,



r(Y

k

0



) < δ, то при всех k ≥ k

0

имеем r(X



k

) ≤ ε, r(Y

k

) < ε, и при



этом r(X

k

) → 0 при k → ∞. Теорема доказана.



Аналогичные исследования для случая, когда функция F (X) яв-

ляется однородной, были проведены в работе [2].

2. Условия сохранения устойчивости при возмущениях,

порядок которых может быть ниже порядка функций, вхо-

дящих в правую часть системы. Рассмотрим систему

X

k+1



= X

k

+ F (X



k

) + L


k

(X

k



, Y

k

),



Y

k+1


= P

k

(Y



k

) + D


k

(X

k



, Y

k

).



(9)

61


Здесь векторная функция L

k

(X, Y ) = R



k

(X) + M


k

(X, Y ). Компонен-

ты вектора R

k

(X) имеют вид



R

ks

(X) =



l

s

j=1



b

ksj


q

sj

(X),



где b

ksj


— постоянные коэффициенты, q

sj

(X) — непрерывно диффе-



ренцируемые на множестве X ∈ E

n

1



обобщенно-однородные класса

(m

1



, . . . , m

n

1



) порядка µ + m

s

> 1 функции, s = 1, n



1

, l


s

– натураль-

ные числа.

Тогда функцию L

k

(X, Y ) можно представить в виде



L

k

(X, Y ) = B



k

Q(X) + M


k

(X, Y ).


Здесь B

k

– постоянные (n



1

×l)-матрицы, l =

n

1

i=1



l

i

, элементы которой



b

ksj


= b

ksj


при j ∈ [l

s−1


, l

s

] и b



ksj

= 0 при j /

∈ [l

s−1


, l

s

], l



0

= 0, т.е.

B

k

=





b



k11

b

k12



. . . b

k1l


1

0

0 . . . 0



0 . . . 0

0

0 . . . 0



0

0 . . . 0

b

k21


b

k22


. . . b

k2l


2

0 . . . 0

0

0 . . . 0



. . .

0

0 . . . 0



0

0 . . . 0

0 . . . 0 b

kn1


b

kn2


. . . b

knl


n





,

а Q(X) — вектор размерности l следующего вида

Q(X) = (q

11

, . . . , q



1 l

1

, q



21

, . . . , q

2 l

2

, . . . , q



n1

, . . . , q

n l

n

)



,

где q



sj

= q


sj

(X).


В дополнение к условиям, наложенным на функцию Ляпунова

V (X), будем считать, что она дважды непрерывно дифференцируе-

ма. Для этого достаточно, чтобы правые части уравнений (4) были

дважды непрерывно дифференцируемыми [1].

Рассмотрим последовательность (n

1

× l)-матриц



C

0

= 0,



C

k

=



k−1

j=0


B

j

, k = 1, 2, . . . .



(10)

62


Теорема 2. Если последовательность (10) ограничена, то при

выполнении

неравенств

µ > σ/2, λ > σ

нулевое

решение


системы (9) устойчиво по всем переменным и асимптотически

X-устойчиво.

При доказательстве теоремы функция Ляпунова выбирается в

виде


V

1k

(X) = V (X) −



∂V (X)

∂X



C

k

Q(X).



Дальнейшее

доказательство

аналогично

доказательству

теоремы 1.

Следствие. В случае, если функция F (X) является однородной

порядка σ > 1, Q(X) — однородная порядка µ, а D

k

(X, Y ) удовлетво-



ряют условию D

k

(X, Y ) ≤ c



1

X

λ



, для сохранения устойчивости

по всем переменным и асимптотической X-устойчивости нулевого

решения достаточно, чтобы имели место следующие неравенства

µ >


σ + 1

2

, λ > σ − 1.



Литература

1. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автома-

тического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1974. 336 c.

2. Александров А.Ю., Жабко А.П. Устойчивость разностных си-

стем. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003. 112 c.

63


Михеев В.С., Михеев С.Е.

Санкт-Петербургский государственный университет

Точная релаксация модифицированного

метода Ньютона

Пусть имеется некоторое отображение A : B → B, где B –

банахово пространство. Рассматривается метод простой итерации

x

k+1


= A(x

k

), k = 0, 1, . . . , поиска неподвижной точки α отобра-



жения A. Об A часто бывает известна некоторая дополнительная

информация I. Например, такая

A(x

k

) − α ≤ c x



k

− α ,


c < 1.

Для ускорения метода простой итерации, а точнее, создания нового

итеративного процесса с базовым отображением A предлагается

Принцип минимальности (ПМ). Введем в состав итератив-

ной информации I

k

величину A(x



k

) и оценку текущей погрешности

d

k

. Пусть множество элементов, удовлетворяющих этой информа-



ции, есть I

k

. Следующей итерацией назначим минимайзер величины



k

(y) := max



z∈I

k

y − z , иными словами,



x

k+1


= min

y∈B


max

z∈I


k

y − z .


Итеративный метод, полученный применением принципа мини-

мальности к какому-либо методу простой итерации, будем называть

точной релаксацией (ТР) соответствующего метода.

Подвергнем точной релаксации модифицированный метод Нью-

тона (ММН) решения скалярного уравнения g(x) = 0:

x

k+1



= x

k

− J



−1

(x

0



)g(x

k

) =: A(x



k

),

(1)



где J := g . ММН является методом простой итерации с линей-

ной сходимостью. Поскольку речь идет о практической реализации,

в вычислительном процессе должен присутствовать критерий оста-

новки, например, по малости невязки:

g(x

k

) < ε, или по малости



оценки погрешности: d

k

< ε,

x

k

− α ≤ d



k

, α — искомое решение

уравнения, которое, очевидно, является неподвижной точкой базово-

го алгоритма A. Для ТР наиболее удобен последний критерий. Его

и возьмем для исследования. В этом случае о сходимости и скоро-

сти сходимости ММН имеется теорема Мысовских [2] (теорема 4),

но ее заключение о скорости сходимости имеет форму, непригодную

для использования в ТР. Однако непосредственно из доказательства

64


этой теоремы извлекается достаточно информации нужного вида.

Приведем её формулировку.

Теорема Мысовских (ТМ). Если уравнение g(x) = 0 имеет

решение α в шаре S

d

0

x



0

и если выполнены условия:

1) существует оператор J

−1

(x



0

) и


J

−1

(x



0

) ≤ r


0

, J := g ;

2) g (x) ≤ L

∀ x ∈ S


d

0

+P



M

d

0



/2

x

0



;

3) P


M

:= r


0

Ld

0



< 2

2 − 2;



то решение α единственно в шаре S

d

0



x

0

, и к нему сходятся итера-



ции (1), а быстрота сходимости характеризуется рекуррентными

формулами c

0

:= P


M

/2,


x

k

− α ≤ c



k−1

d

k−1



=: d

k

,



c

k

= P



M

+

L − r



0

2

d



k−1

,

k = 1, 2, . . .



Отметим, что в этой теореме условия 2 и 3 взаимозависимы. Это

представляет заметное неудобство в ее непосредственном примене-

нии. Чтобы уйти от дополнительной проблемы, огрубим несколько

результаты, заменив в радиусе шара из условия 2) величину P

M

на

какую-то ее оценку сверху, например, на 2



2 − 2 < 0, 83 или даже

на единицу: 2’) g (x) ≤ L ∀x ∈ S

1,5d


0

x

0



.

Первое приближение по ММН и по обычному методу Ньютона

совпадают и имеют квадратичное изменение оценки погрешности:

x

1



− α ≤ r

0

L x



0

− α


2

/2, которая в сравнении с линейной из ТМ

приводит к существенно иной формуле ТР, что повышает сложность

программирования. Поэтому огрубим квадратичную оценку до ли-

нейной

|x

1



− α ≤

P

M



2

x

0



− α ≡ c

0

x



0

− α ,


что позволяет использовать с переменным c на всех итерациях фор-

мулы ТР для скалярного случая [1]: r := A(y

k

) − y


k

,

r := |r |,



y

k+1


=





y

k

+ d



k

sgn r + r/(1 + c)

2 ∧ d

k

≤ r/(1 − c),



y

k

+ r/(1 − c



2

)

∧ d



k

> r/(1 − c),

(2)

d

k+1



=





d

k

− r/(1 + c)



2 ∧ d

k

≤ r/(1 − c),



rc/(1 − c

2

)



∧ d

k

> r/(1 − c).



(3)

Были проведены численные эксперименты с несколькими ска-

лярными уравнениями по единой схеме.

65


Ш а г 1. Выбиралась скалярная функция f с известным корнем

α. На некотором расстоянии от него выбиралась начальная точка x

0

,

т.е. начальная погрешность (не ее оценка) была d



0

= |x


0

− α|.


Ш а г 2. Определялся сегмент

σ := [x


0

− 1, 5d


0

, x


0

+ 1, 5d


0

] ⊃ [x


0



2d

0

, x



0

+



2d

0

].



Ш а г 3. Находилась оценка L ≥ sup

x∈σ


f (x).

Ш а г 4. Выяснялось, удовлетворяют ли найденные параметры

условию ТМ: P

M

≡ Lr



0

d

0



≤ 2

2 − 2 или немного более сильному



условию: P

M

≤ 0, 83. Если нет, то возврат на шаг 1.


Каталог: bitstream
bitstream -> С. торайғыровтың публицистикасы
bitstream -> Қ атыстық сын есімдердің лексикалық тіркесімділігі
bitstream -> «Қазақ» газетіндегі ұлт-азаттық көтеріліс туралы мақалалардың маңызы
bitstream -> Бегімбай К. М. Дизайн және бейнелеу өнері салаларына
bitstream -> Грам м атические форм ы вы раж ения ком паративны Х отнош ений в научно-популярной лингвистической литературе
bitstream -> СҮттің Қоректік сапасы және сүттегі микроорганизмдер
bitstream -> Қазақ халқының ою-өрнектерінің Қолданылуы
bitstream -> Л. Н. Гумилев атындағы ЕҰу хабаршысы


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   57


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет