Сабақ №27 Сабақтың тақырыбы : Математикалық индукция принципі

жүктеу/скачать 0,96 Mb.

Дата	06.12.2022
өлшемі	0,96 Mb.
	#55363
түрі	Сабақ

Алгебра.

9 сынып

I тоқсан.

Сабақ №27

Сабақтың тақырыбы: Математикалық индукция принципі
Мақсаты: 9.2.3.3 математикалық индукция әдісін білу және қолдану.
Конспект
Дербес тұжырымдардан жалпы қорытынды шығару тәсілін индукция деп атайды.
Математикалық индукцияның принципі:
P(n) тұжырымы кез келген n үшін орындалады, егер:

Ол n=1 үшін орындалса;
Қандай да бір n=k үшін орындалған тұжырым n=k+1 үшін де орындалса;

Бұл әдісті қосылғыштардың саны n-ге байланысты болған кезде қосындыны есептеу формуласын табу үшін, бір немесе екі жағы да n-ге тәуелді болатын теңсіздіктерді дәлелдеуде тиімді қолдануға болады.
Математикалық индукция әдісі, ұсынылған пікірдің не тұжырымның ақиқаттығын дәлелдеуге көмектесетін әдіс. Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу екі кезеңнен тұрады.
1) Натурал сан n=1 болғанда (немесе бұл тұжырымның мағынасы болатын n-нің басқа мәндерінде) дұрыс болса
2) n=k (к >1) қандай бір натурал мәні үшін ақиқат деп ұйғарып, келесі n=k+1 үшін де ақиқат болса, онда тұжырым n- нің барлық натурал мәндері үшін ақиқат болады.
Математикалық индукция әдісі натурал n- ге тәуелді тұжырымдарды дәлелдеуге қолданылады.
1- есеп. Тақ натурал сандар үшін 1+3+5+...+ (2n-1) = n² болатындығын дәлелдеу керек

n = 1 болса S(1) = 1²
n = k үшін формула S(n) = n² орынды деп ұйғарып, n = k+1 үшін орынды болатындығын S(k+1) = (k+1)² дәлелдейік.

S(k+1) = 1+3+5+...+ (2k-1) + (2k+1) = S(k) + (2k+1) = k²+2k+1 = (k+1)² яғни S(k+1) = (k+1)² орынды екендігі дәлелденді. Сондықтан барлық натурал n сандар үшін орынды.
2- есеп. Натурал сандардың алғашқы n мүшелерінің квадраттарының қосындысы үшін 1²+2²+3²+4² +...+ n² = теңдігінің орындалатындығын дәлелдеу керек.
1) S(1) = 1 = 1² =1 n=1 үшін орынды.

n=k үшін орынды деп ұйғарамызда,

n=k+1 үшін дәлелдейік.
S(k+1) = 1² +2² +3² + 4² +...+k² +(k+1)² = S(k) + (k+1)² = +(k+1)² = == = мұнан біз n=k+1 үшін формула орынды екендігін дәлелдедік, ендеше кез – келген
натурал n үшін формула орынды.
3-есеп. Кез- келген натурал n үшін мына теңдіктің орынды екендігін дәлелдейік
1+3+6+10+...+ =

n=1 онда, 1= орынды.
n=k үшін орынды деп ұйғарамызда,

n=k+1 үшін дәлелдейік
1+3+6+...+ +=S(k)+ =
= + = = =
= формула n=k+1 үшін орынды. Онда теңдік кез- келген натурал сан үшінде орынды.

4-есеп. Tеңдіктің тура екендігін дәлелдеу керек.
+++...+=
1) n=1 үшін = орынды.
2) n=k үшін орынды деп ұйғарып,
n=k+1 үшін дәлелдейік
+++...+ + =+=
= = = = n =k+1 үшін дәлелденді, олай болса теңдік кез – келген натурал n үшін орынды.

5-есеп. Кез – келген натурал n >3 үшін + + +…+ < теңсіздігінің
орынды екендігін дәлелдеу керек.
1) n=4 1+ + + = 1+ = < ;
2) n=k үшін орынды деп алып,
n=k+1 үшін дәлелдейміз
++ +...+ +< + = 2- + = -+-
-+= + (- ) < ; себебі -< 0
n=k+1 үшін теңсіздік орынды. Сондықтан кез-келген натурал n>3 орынды болады.
6-есеп. 4ⁿ+15n-1 өрнегі натурал n болғанда 9- ға бөлінетіндігін дәлелдейік.

n=1 болғанда, 4¹+15-1=18 9-ға бөлінеді.
n=k болғанда 4^k+15k-1 өрнегі 9-ға бөлінеді деп ұйғарып,

n=k+1 үшін 9-ға бөлінетіндігін дәлелдейік.
4^k+1+15(k+1)-1=4^k4+15k+15-1+45k-45k-3+3=(4^k4+60k-4)-45k+18=
=4(4^k+15k-1)-9(5k-2) мұндағы 4(4^k+15k-1) де, 9(5k-2) де 9- ға бөлінеді, онда n кез- келген натурал сан болғанда берілген өрнек 9- ға еселік болады.

Үй тапсырмасы:
1-тапсырманы математикалық индукция әдісін өз беттерінше қолданып дәлелдеңіз.
Тапсырма 1:
Алғашқы тізбектес n натурал сандардың қосындысы S_n= тең екендігін дәлелдеңіз.
Тапсырма 2:
өрнегі барлық натурал n сандары үшін 19-ға еселік болатынын дәлелдеңіз.
Тапсырма 3:
Барлық натурал п және барлық үшін (Бернулли теңсіздігі) орындалатынын дәлелдеңіз.
Тапсырма 4:
Барлық натурал п үшін
1+2²+3²+…….+ n²= болатынын дәлелдеңіз.
Әзірлеуші: Дощанова Анипа Айткуловна №53 мектеп-гимназияның математика пәні мұғалімі.
Алматы қаласы Білім басқармасының Қалалық білім берудегі жаңа технологиялардың ғылыми-әдістемелік орталығының қолдауымен ұсынылып отыр.

жүктеу/скачать 0,96 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: