Сабақ өтетін дәрісхана, зертхана


Дифференциалдық теңдеулердің жуық шешімдерін дәрежелік



бет39/42
Дата27.04.2022
өлшемі1.21 Mb.
#32503
түріСабақ
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   42
Дифференциалдық теңдеулердің жуық шешімдерін дәрежелік

қатардың көмегімен табуда Maple жүйесін пайдалану

Дифференциалдық теңдеулердің көптеген түрлері үшін дәл аналитикалық шешімдері табыла бермейді. Мұндай жағдайларда дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін жуықтау тәсілдерінің бірімен шешуге болады. Жуықтау тәсілдерінің бірі ізделінді функцияны дәрежелік қатарға жіктеу. Бұл тәсіл арқылы жуық шешімді табу үшін, dsolve командасындағы айнымалылардан кейін type=series (немесе жай ғана series) параметрі көрсетілуі керек. Ал жіктелу ретін n-ді, яғни жіктелу дәрежесінің ретін көрсету үшін dsolve командасының алдына ретті анықтаудың Order:=n командасы көрсетіледі. Егер дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі дәрежелік қатарға жіктелуі қажет болса, онда х айнымалысы дәрежелерінің алдындағы коэффициенттері функцияның белгісіз мәндерінде y(0) және олардың туындыларында D(y)(0), (D@@2)(y)(0) нольдерді қабылдайды. Шығарылу жолындағы алынған ізделінді шешімнің өрнектелуі Маклорен қатарына жіктелуге ұқсас, бірақ х айнымалысы дәрежелерінің алдындағы коэффициенттері ғана өзгеше болады. Дербес шешімдерін көрсету үшін бастапқы шарттары y(0)=у1, D(y)(0)=у2, (D@@2)(y)(0)=у3  т.с.с., сонымен қатар бастапқы шарттардың саны дифференциалдық теңдеудің ретіне сәйкес келуі керек. Дәрежелік қатарға жіктеу типі series командасы арқылы анықталады, сондықтан табылған қатармен жұмысты жалғастыру үшін, қатарды convert(%,polynom) командасының көмегімен полиномға өзгертіп алу қажет, сонан кейін алынған өрнектің оң жағын



rhs(%) командасының көмегімен бөліп алу керек.

Мысалы


1. ,  Коши есебінің шешімін дәрежелік қатар түрінде 5-ші ретті дәлдікпен табу керек.

> restart; Order:=5:

> dsolve({diff(y(x),x)=y(x)+x*exp(y(x)),

y(0)=0}, y(x), type=series);



Алынған шешімдегі  қосылғышы жіктелудің 5-ші ретті екендігін білдіреді.

2. дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін 4-ші ретті дәрежелік қатарға жіктеу арқылы табу керек. Жіктелу мынадай бастапқы шарттарды қанағаттандыруы керек: y(0)=1, y'(0)=0.

> restart; Order:=4: de:=diff(y(x),x$2)-

y(x)^3=exp(-x)*cos(x);

> f:=dsolve(de,y(x),series);



Ескерту: алынған жіктелудегі D(y)(0) жазуы туындының нольдегі мәнін білдіреді: y'(0). Дербес шешімін табу үшін бастапқы шарттарды көрсету керек: y(0)=1, y'(0)=0.

> y(0):=1: D(y)(0):=0:f;



3. Жуық шешімі 6-шы ретті дәрежелік қатар және дәл Коши есебінің шешімі:  шарттарын қанағаттандыратын теңдеуінің шешімдерін табу керек. Бір графикте дәл және жуық шешімдердің графиктерін салу керек.

> restart; Order:=6:

> de:=diff(y(x),x$3)-diff(y(x),x)=

3*(2-x^2)*sin(x);

de:=

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, D(2)(y)(0)=1

> dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=

> y1:=rhs(%):

> dsolve({de,cond},y(x), series);

y(x)=

Ескерту: дифференциалдық теңдеу шешімдерінің  типі series болғандықтан, шешімді онан кейінгі есептеулерде пайдалану үшін (нәтижелерін есептеу немесе графигін салу үшін), оны міндетті түрде convert командасының көмегімен полиномға келтіру керек

> convert(%,polynom): y2:=rhs(%):

> p1:=plot(y1,x=-3..3,thickness=2,color=black):

> p2:=plot(y2,x=-3..3, linestyle=3,thickness=2,

color=blue):

> with(plots): display(p1,p2);

Графиктен көрініп тұрғандай, дәл мән мен дәрежелік қатар арқылы өрнектелген жуық мәндердің бір біріне сәйкес келулері  -1<x<1 аралығында дәлірек болады.

19. Дифференциалдық теңдеулердің сандық шешімдерін табу мен



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   42




©emirsaba.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет