Сборник трудов III международной научно практической конференции

171 
 
 
Как  известно  из  теории  делимости  целых  чисел  [1],  всякое  множество 
целых чисел, состоящее из 
g
  элементов,  попарно  несравнимых  по  модулю 
g
, 
называется  полной  системой  вычетов  по  модулю 
g
,  а  последовательность 
}
1
,
,
1
,
0
{

g

 называется наименьшими неотрицательными вычетами по модулю 
g
. На основании формулы Евклида (деление с остатком), каждое целое число 
a
 
представляется однозначно в «многочленном» виде 
(5)                      
;
1
1
1
1
1
g
k
k
g
k
k
k
k
a
a
a
a
a
g
a
g
a
g
a
a











 
где 







g
j
k
a
k
g
j
g
a
g
a
;
1
,
,
2
,
1
,
,
0
,
1

выражает остаток при делении числа 
a
 
на 
g
,  т.е. 
1
0
;





g
a
a
bg
a
g
g
.  Представление  (5)  называют  также 
систематическое представление числа 
a
 по основанию 
.
g
  На практике часто (в 
криптографии,  теории  кодирования,  нумерологии  и  др.)  пользуются   
некоторыми  образованиями  (кортежами),  состоящих  из  слов,  символов,  а  
также  из  кортежа  многозначных  чисел,  расположенных  друг  за  другом.  В 
наших рассмотрениях мы будем исследовать случай, когда основание числа 
a
 в 
представлении  (5)  равно 
.
10

g
  Тогда  будем  иметь  в  качестве  основного 
множества 
1
};
,
,
,
{
1
1
0


g
x
x
x
g

  множество  целых  чисел,  состоящее  из  полной 
системы  вычетов  по  модулю  10,  т.е. 
}
9
,
,
2
,
1
,
0
{

,  и  на  их  основе  будем 
рассматривать всевозможные  

n
значные числа вида (3).  
Следовательно, имеем следующие однозначные базовые множества: 
       (6)                           
}
8
,
6
,
4
,
2
,
0
{
)
1
;
10
(
};
9
,
7
,
5
,
3
,
1
{
)
1
;
10
(
2
1


S
S
. 
Далее все 

n
значные числа вида (3) формируются на базе элементов двух 
базовых  множеств: 
},
8
,
6
,
4
,
2
,
0
{
)
1
;
10
(
};
9
,
7
,
5
,
3
,
1
{
)
1
;
10
(
2
1


S
S
  где  число  элементов  в 
каждом из них поровну, т.е. по  5, а число смешанных элементов равно нулю.  
Примеры: 


1357591
a
нечётный  семизначный  кортеж,  составленный    из 
нечётных  чисел,  принадлежащих  множеству
)
1
;
10
(
1
S
, 


2064248
b
  чётный 
семизначный кортеж, составленный  из чётных чисел множества 
)
1
;
10
(
2
S
и 


1054749
c
смешанный  семизначный  кортеж,  составленный    из  элементов 
обоих множеств.  

172 
 
 
Далее  исследуем  вероятностный  смысл  каждого  подмножества  по 
отношению  к  множеству 

n
значных  чисел  для  любого  натурального  числа 
2

n
.  и базовых однозначных подмножеств 
)
1
;
10
(
),
1
;
10
(
2
1
S
S
.  
Сформулируем общую задачу в общепринятом виде. 
В  ящике  (урне)  имеются  шары  трёх  видов,  пронумерованные 

n
 
значными числами из множества 
)
1
;
10
(
);
1
;
10
(
2
1
S
S
.  
Другими словами, в урне 
имеются  шары,  пронумерованные 

n
значными  числами,  имеющими 
только нечётные, чётные и смешанные цифры. 
1. Найти общее количество всех 

n
значных чисел, определить из них   
количество с нечётными, чётными и смешанными цифрами кортежей. 
2.  При  извлечении  случайным  образом  одного  шара  из  ящика,  найти 
вероятность 
)}
(
{
n
N
X
P
p
i
i


 появления каждого 

n
значного числа.   
  3. Построить закон распределения дискретной случайной величины  
)};
(
),
(
),
(
{
)
(
3
2
1
n
N
n
N
n
N
n
X

  где 
)
(
),
(
),
(
3
2
1
n
N
n
N
n
N
-
  количество  элементов  в 
каждом  подмножестве,  а  также  числовые  характеристики  случайной 
величины  
)
(n
X
:  
математическое ожидание, дисперсия и стандарт.  
Решение. Для полноты изложения сначала исследуем случай 
.
2

n
 Имеем:
  
 
,
25
2
}
99
;
;
93
,
91
;
;
19
,
17
,
15
,
13
,
11
{
)
2
;
10
(
1
1



N
S


  
 
.
20
2
}
88
;
86
;
84
;
82
,
80
;
;
28
,
6
2
,
24
,
2
2
,
20
{
)
2
;
10
(
2
2



N
S

 
Общее  количество  двузначных  чисел  равно 
90
9
99


.  Следовательно,  число 
смешанных  двузначных  чисел  равно 
45
45
90


,  т.е. 
45
3

N
.  Следовательно,  в 
нашем  случае  мы  получаем  случайную  величину  с  соответствующими 
вероятностями: 
)};
2
(
),
2
(
),
2
(
{
)
2
(
3
2
1
N
N
N
X

;
90
20
;
90
25
2
1


p
p
 
;
90
45
3

p
 
Таким  образом,  в  этом  случае  закон  распределения  случайной    величины  
)
2
(
X
 и таблица распределения будет выглядеть так: 
 
2
X
 
 
2
1
N
 
 
2
2
N
 
 
2
3
N
 
 
2
P
 
90
25
 
90
20
 
90
45
 
 

173 
 
 
Основные числовые характеристики находятся по известным формулам 
(например, см.[2]): 
 
,
89
,
33
)
2
(
2
3
1





i
i
i
N
p
МX
   
 



2
2
)]
2
(
[
)]
2
(
[
MX
X
M
D
n
X
  
;
268
,
126

  
 
 
237
,
11


n
X
n
X
D

. Аналогично рассматривается случаи 
.
3

n
 
Решение задачи в общем  случае. Для случаев 
2

n
  основное  множество 
)
;
10
(
n
S
  распадается  на  три  подмножества 

n
значных  чисел: 
),
;
10
(
),
;
10
(
2
1
n
S
n
S
)
;
10
(
3
n
S
 при этом условимся, что все чётные кортежи, для которых число ноль 
находится  спереди,  учитывается  только  в  одном  единственном  случае,  когда 
рассматриваются  однозначные  кортежи.    В  остальных  случаях  все  числа, 
представленные  в  кортеже  должны  быть 

n
значными  в  соответствии  с 
формулой (5) т.е. старший коэффициент разложения 
k
a
 должен быть отличным 
от  нуля.    Пусть 
2

n
,  тогда  общее  количество  всех 

n
значных  чисел 
вычисляется  по  формуле 
 
 


1
1
10
9
1
10
1
10








n
n
n
n
N
.  С 
другой  стороны 
имеем: 
 
)
(
)
(
)
(
3
2
1
n
N
n
N
n
N
n
N



.  Нетрудно  показать,  что  имеют  место 
равенства:   
;
5
4
)
(
;
5
)
(
1
2
1




n
n
n
N
n
N
  отсюда  получим 
 


1
2
5
9
1
1
3






n
n
n
N
. 
Найдем соответствующие вероятности: 
(7)                         
1
1
2
9
5



n
p
, 
1
2
2
9
4



n
p
, 







1
1
3
2
1
2
n
n
p
 
Закон    распределения  случайной  величины 
 
)}
(
),
(
),
(
{
3
2
1
n
N
n
N
n
N
n
X

 
задаётся  следующей таблицей: 
 
n
X
 
 
n
N
1
 
 
n
N
2
 
 
n
N
3
 
 
n
P
 
1
2
9
5


n
 
1
2
9
4


n
 






1
1
2
1
2
n
n
 
 
Далее,  математическое  ожидание,  дисперсия  и  стандарт  находятся  по 
известным  формулам:  именно 
 
],
))
1
2
(
9
(
41
[
2
9
5
)
(
2
1
1
1
3
1













n
n
n
i
i
i
p
n
N
n
МX
 
аналогично находятся:  
 
;
)]
(
[
)]
(
[
2
2
n
MX
n
X
M
D
n
X


 
 
n
X
n
X
D


при каждом  .
n  
На практике часто пользуются шестизначными числами, т.е. когда 
6

n
. 
Выпишем значения основных величин: 
 
 
;
15625
6
;
900000
6
1


N
N
 

174 
 
 
                  
 
 
;
871875
6
;
12500
6
3
2


N
N
},
871875
;
12500
;
15625
{
)
6
(

X
 
      
;
9687
,
0
)
6
(
)
6
(
;
0139
,
0
)
6
(
)
6
(
;
0174
,
0
)
6
(
)
6
(
3
3
2
2
1
1






N
N
p
N
N
p
N
N
p
 
При
 
этом
 
выполняется равенство: 
1
3
2
1



p
p
p
, т.е. мы имеем полную группу 
событий. Теперь найдём числовые характеристики:  
          
.
8575
,
302338
;
0635
,
8
9140878472
;
9375
,
845030
)
6
(
)
6
(
)
6
(
)
6
(




X
X
X
D
D
MX

 
 
Вывод:  когда  число  знаков  в  номере  шариков  увеличивается,  то  число 
наборов  с  четными  цифрами  убывает  по  сравнению  с  числом  наборов  с 
нечетными цифрами, а число смешанных наборов стремительно растёт. Таким 
образом,  при  кодировании  указанными  наборами  естественно  наиболее 
выгодными являются наборы с четными цифрами, т.е. дешифровать  случай с 
четными наборами труднее  в отличие от двух других случаев. Однако, всегда у 
«взломщиков» остаётся надежда на случайность. Также отметим, что в общем 
случае  аналогичные задачи можно исследовать с иными условиями разбиения 
элементов базового множества 
1
};
,
,
,
{
1
1
0


g
x
x
x
g

. На этом мы ограничимся. 
 
Литература 
1. И.М. Виноградов «Основы теории чисел», Наука, Москва 1981 г., 176с 
2.  М.С.  Бокаева,  Д.  Исмоилов,    Н.Д.  Сарбасова  «Курс  лекций  по  теории 
вероятностей и математической статистике», ИнЕУ, Павлодар, 2014г, 430с (А4) 
 
Капалова Н. А.,  Дюсенбаев Д.С. 
ПОЗИЦИЯЛЫҚ ЕМЕС ПОЛИНОМДЫҚ САНАУ ЖҮЙЕСІНЕ 
НЕГІЗДЕЛГЕН ШИФРЛЕУ АЛГОРИТМДЕРІНЕ СЫЗЫҚТЫҚ 
КРИПТОТАЛДАУДЫ ҚОЛДАНУ 
ҚР БҒМ ҒК «Ақпараттық және есептеуіш технологиялар институты»  
Алматы, Қазақстан Республикасы 
 
Дәстүрлі  емес  шифрлеу  мен  электрондық  сандық  қолтаңбаны  қалыптастыру 
және криптографиялық кілттерді тарату алгоритмдер мен  әдістерін дамыту мен 

175 
 
 
зерттеуде  позициялы  емес  полиномды  санау  жүйесін  (ПЕПСЖ)  қолдану 
криптографиялық  рәсімдердің  сенімділігі  мен  тиімділігін  айтарлықтай 
арттырады  [1-5].  Қалдықтар  классының  классикалық  жүйесіне  қарағанда 
ПЕПСЖ  модулдік  негіздері  коэффициентері  екілік  жүйеде  болатын 
келтірілмейтін  көпмүшеліктерден  (немесе  GF(2)  өрісінде)  тұрады.  Позициялы 
емес  полиномды  санау  жүйесін  пайдаланып  құрылған  криптографиялық 
алгоритмдердің  криптографиялық  беріктілігін  бағалау  үшін  сызықтық  анализ 
жүргізілді. 
Сызықтық  криптоанализ  –  сызықтық  емес  теңдеулерден,  кілтке,  ашық  және 
жабық мәтінге қатысты сызықтық теңдеулер құру мүмкіндігіне негізделген [6].  
Біріншіден,  шифрлау  алгоритм  белгілі  болуы  тиіс.  Екіншіден,  сызықтық 
теңдеулер жүйесін құрудағы сызықтық қиындық қаншалықты. 
Жұмыстың негізгі мақсаты позициялы емес полиномды санау жүйесі негізінде 
көпмүшеліктерді  модуль  бойынша  көбейту  арқылы  шифрлау  алгоритміне 
сызықтық криптоанализ жүргізу әдістерін қарастыру. 
ПЕПСЖ  қалыптастыру  [2-4]  айтылған:  осы  негіздердің  дәрежелері 
??????
1
, ??????
2
, … , ??????
??????
 болатын, сәйкесінше  
                               
 ??????
1
(??????), ??????
2
(??????), … , ??????
??????
(??????)                                     (1)  
GF(2) өрісінде келтірілмейтін көпмүшеліктер таңдалады. 
Әрбір 
?????? үшін GF(2
??????
??????
) кеңейтілген ақырлы өрісінде дәрежесі 
??????
??????
 болатын 
 ??????
??????
(??????) - 
келтірілмейтін  көпмүшелігі  бойынша  GF(2)  өрісінде  GF(2)[x]/(
  ??????
??????
(??????)) 
факторсақиналарын құрайды. 
Алдымен  жұмыс  негізі  біреу  болған  жағдайы,  яғни  бір  келтірілмейтін 
көпмүшелік  деп  қарастырайық.  Позициялы  емес  полиномді  санау  жүйесі 
арқылы құрылған  
??????(??????) ∗ ??????(??????) = ??????(??????)(?????????????????? ??????(??????)),    
 
(2) 
шифрлауды қарастырайық [2, 5]. 
Берілген (2) алгоритмде дешифрлау мына формула  бойынша орындалады 
??????(??????) ∗ ??????
−1
(??????) = ??????(??????)(?????????????????? ??????(??????)),   
(3) 

176 
 
 
мұңдағы 
??????(??????) ∗ ??????
−1
(??????) = 1(?????????????????? ??????(??????)). 
∃??????(??????) ∈ ????????????(2)[??????]/(??????(??????)) - көпмүшелігі табылады және  
??????(??????) ∗ ??????
−1
(??????) ⊕ ??????(??????) ∗ ??????(??????) = ??????(??????),  
 
(4) 
теңдігін қанағаттандырады.  
Онда (4) теңдігінен төмендегідей теңдеулер жүйесін аламыз. 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
??????
??????−1
∗ ??????
??????−1
⊕ ??????
??????
∗ ??????
??????−2
= 0                                                                                                    
??????
??????−1
∗ ??????
??????−2
⨁??????
??????−2
∗ ??????
??????−1
⨁??????
??????
∗ ??????
??????−3
⨁??????
??????−1
∗ ??????
??????−2
= 0                                                   
…
??????
??????−1
∗ ??????
1
⨁??????
??????−2
∗ ??????
2
⨁ … ⨁??????
1
∗ ??????
??????−1
⨁??????
??????
∗ ??????
0
⨁??????
??????−1
∗ ??????
1
⊕ … ⨁??????
2
∗ ??????
??????−2
= 0       
??????
??????−1
∗ ??????
0
⨁??????
??????−2
∗ ??????
1
⊕ … ⨁??????
0
∗ ??????
??????−1
⨁??????
??????−1
∗ ??????
0
⨁ … ⨁??????
1
∗ ??????
??????−2
= ??????
??????−1
                 
??????
??????−2
∗ ??????
0
⨁??????
??????−3
∗ ??????
1
… ⨁??????
0
∗ ??????
??????−2
⨁??????
??????−2
∗ ??????
0
⨁??????
??????−3
∗ ??????
1
⊕ … ⨁??????
0
∗ ??????
??????−2
= ??????
??????−2
…
??????
2
∗ ??????
0
⨁??????
1
∗ ??????
1
⨁??????
0
∗ ??????
2
⨁??????
2
∗ ??????
0
⨁??????
1
∗ ??????
1
⨁??????
0
∗ ??????
2
= ??????
2
                                               
??????
1
∗ ??????
0
⨁??????
0
∗ ??????
1
⨁??????
1
∗ ??????
0
⨁??????
0
∗ ??????
1
= ??????
1
                                                                                 
??????
0
∗ ??????
0
⊕ ??????
0
∗ ??????
0
= ??????
0
                                                                                                               
   
(5) 
?????? = (??????
??????−1
, ??????
??????−2
, … , ??????
2
, ??????
1
, ??????
0
)  сандар  тізбегі  шифр  мәтіннің  бит  түріңдегі  пішіні 
болғандықтан, олар бізге белгілі. 
?????? = (??????
??????−1
, ??????
??????−2
, … , ??????
2
, ??????
1
, ??????
0
), ?????? = (??????
??????
, ??????
??????−1
, … , ??????
2
, ??????
1
, ??????
0
), 
?????? = (??????
??????−1
, ??????
??????−2
, … , ??????
2
, ??????, ??????
0
) және ?????? = (??????
??????−2
, ??????
??????−3
, … , ??????
2
, ??????
1
, ??????
0
) 
тізбектері белгісіз айнымалылар.  
Қандай криптоанализ жүргізілсе де  осы (5) теңдеулер жүйесінен шығады. Бұл 
теңдеулер  жүйесі  кілттің,  ашық  және  жабық  мәтіннің  мәңдерін 
байланыстыратын басты схема. 
Криптоаналитик  ең  алдымен  шифртекстің  әлсіз  жерлерін  іздейді,  яғни 
көпмүшеліктердің  көбейтіндісінің  дәрежесі  келтірілмейтін  көпмүшеліктің 
(модуль негізі) дәрежесінен кіші болатын жағдайларды қарастырады. Өйткені, 
ол жағдайларда (5) теңдеулер жүйесінде 
??????
??????
 және 
??????
??????
 айнымалыларына қатыссыз, 
тек 
??????
??????
 және 
??????
??????
 айнымалыларына қатысты сызықтық теңдеулер жүйесі шығады. 
Сондықтан кілтті таңдау кезінде ондай жағдайды жібермеуі керек. 
Егер  келтірілмейтін  көпмүшеліктің 
??????
??????
  және 
??????
0
  коэффициенттерінің  1 
болатынын  ескерсек,  онда  (5)  теңдеулер  жүйесіндегі 
??????
??????
  айнымалыларынан 
толық  құтылып,  теңдеулер  жүйесі 
??????
??????
, 
??????
??????
  және 
??????
??????
  айнымалыларына  қатысты 
болатын теңдеулердің саны n болады. Яғни жүйедегі теңдеулердің санын 2n-1-

177 
 
 
ден  n-ге  дейін  азайтамыз.  Теңдеулер  жүйесінің  шешімдері  көп.  Бізге  ақиқат 
шешімін табу керек. Ол шешімді табу үшін әртүрлі әдістерді қолдануға болады.  
??????
??????
  айнымалылары  ашық  мәтіннің  бит  түріңдегі  пішіні  болғандықтан  оларды 
өзіміз  жорамалдау  арқылы  береміз. 
??????
??????
  айнымалылары    келтірілмейтін 
көпмүшеліктердің коэффициенттері де белгісіз, сондықтан оларды теру арқылы 
тексереміз. 
Егер 
?????? және ?????? айнымалылар тізбегін таңдадық десек, онда теңдеулер жүйесінде 
?????? = (??????
??????−1
, ??????
??????−2
, … , ??????
2
, ??????
1
, ??????
0
) айнымалылары қалады. 
Теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің саны мен айнымалылар саны тең. 
Теңдеулер  жүйесінің  шешімі  болуы  үшін,  осы  жүйенің  мәңдерінен  құрылған 
сәйкесінше  матрицаның  рангі  айнымалылардың  санына  тең  болу  керек.  Яғни, 
теңдеулер  жүйесінің  шешімі 
(??????
??????−1
′
, ??????
??????−2
′
, … , ??????
2
′
, ??????
1
′
, ??????
0
′
)  болсын.  Онда  келесі 
сандар  тізбегін    кему  ретімен  сәйкесінше  коэффициенттері  болатын 
көпмүшеліктерге  модуль  бойынша  көбейтеміз,  дешфрлаудағы  есептеулер 
бойынша  дешифрланған  мәтін  ашық  мәтіннің  ережелерін  қанағаттандырмаса, 
оқылмаса,  онда  келесі  таңдауға  көшеміз.  Дәл  осылай  ашық  мәтін  шыққанша 
орындалады.  Келтірілмейтін  көпмүшеліктердің  дәрежесі  артқан  сайын,  іздеу 
қиындығы да артады (таблица 1-2). 
Осы  алгоритм 
?????? = ∑
??????
??????
??????
??????=1
  –  кілттің  ұзындығы  болғандықтан  теңдеудің  әрбір 
m
i
  дәрежелі  келтірілмейтін  көпмүшелігіне  сәйкес  m  қадам  бойынша 
тексеріледі. 
Еңдігі жұмыс іздеу қиындығын есептеу. Сонда біз сызықтық криптоанализдың 
тұрақтылығы қаншалықты екеніне жауап береміз. 
Таблица 1. Кілтке қатысты ашық мәтінді іздеу мүмкіндігі. 
Кілт ұзындығы 
3
 
4
 
5
 
6
 
7
 
8
 
9
 
10
 
11
 
12
 
13
 
14
 
15
 
16
 
Келтірілмейтін 
көпмүшеліктердің 
саны 
2
 
3
 
6
 
9
 
18
 
30
 
56
 
99
 
186
 
335
 
630
 
1161
 
2182
 
4080
 
Ашық мәтенді 
таңдау саны 
8
 
16
 
32
 
64
 
116
 
116
 
232
 
464
 
928
 
1856
 
3712
 
7424
 
13456
 
13456
 

178 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Таблица 2. Стандартты кеңейтілген файлдардың бастапқы байттары. 
байт 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9  10  11  12  13  14  15  16 
.docx  50  4b  03  04  14  00  06  00  08  00  00  00  21  00    
  
.jpg 
ff 
d8  Ff  e0  00  10  4a  46  49  46  00  01  01  01  01  2c 
.pdf 
25  50  44  46  2d  31  2e    
  
  
  
  
  
  
  
  
.pdf*  ef  bb  Bf  25  50  44  46  2d  31  2e    
  
  
  
  
  
.htm 
3c  21  44  4f  43  54  59  50  45  20  68  74  6d    
  
  
.doc 
d0  cf  11  e0  a1  b1  1a  e1  00  00  00  00  00  00  00  00 
.zip 
50  4b  03  04    
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
.exe 
4d  5a  90  00  03  00  00  00  04  00  00  00  ff 
ff 
00  00 
 
Екінші  әдіс. 
3
4
  ықтималдылықпен 
????????????⨁??????⨁?????? = 1  теңдігін  қарастыруға  болады. 
Егер  (5)  теңдеулер  жүйесіндегі  айнымалылардың  көбейтіндісін 
???????????? = ??????⨁??????⨁1 
өрнегімен жуықтау арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз.
 
Егер  теңдеулердегі 
???????????? = ??????⨁??????  қателіктері  жұп  болып  кездесетін  болса,  онда 
олар  ақиқаттықты  береді.  Осы  құрылған  теңдеулер  жүйесінде  алғашқы 
әдістегідей арнайы таңдалған ашық мәтінтерді теру арқылы шығарамыз.  
Кілт бөлікшесінің барлық  мүмкін  мәңдерін  таңдауға  айнымалылардың  мүмкін 
мәңдеріне  келтірілмейтін  көпмүшеліктердің  санына  көбейткенге  тең.  Ашық 
мәтіннің  статистикалық  кездесу  мүмкіндігі,  сол  көлемдегі  барлық  мүмкін 
мәңдерінен  кіші  болғандықтан,  теңдеулер  жүйесін  шешудегі  мүмкіндігі  ашық 
мәтіннің  кездесу  мүмкіндігі  мен  келтірілмейтін  көпмүшеліктердің  санына 
көбейткенмен  тең.  Кілтті  толық  табу  үшін,  осылай  біртіндеп  бөліктеп  табуға  
болады.  Осы  әдістерді  тексеруде  бағдарлама  жазылуда,  оның  тексеру 
мүмкіндігі кілт бөлікшелерінің ұзындығына тәуелді. 
 
 
Мүмкін болу саны 
 
16
 
64
 
256
 
832
 
2920
 
6400
 
19392
 
65328
 
237936
 
859696
 
3198256
 
11817520
 
41178512
 
96078992
 
 
Ықтималдылығы 
0,0625
 
0,015625
 
0,003906
 
0,001202
 
0,000342
 
0,000156
 
5,16E
-05
 
1,53E
-05
 
4,2E
-06
 
1,16E
-06
 
3,13E
-07
 
8,46E
-08
 
2,428E
-08
 
1,041E
-08
 

179 
 
 

жүктеу/скачать 7,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: