Сызықтық емес теңдеудің сандық шешімі Жоспар

жүктеу/скачать 35,19 Kb.

Дата	06.01.2022
өлшемі	35,19 Kb.
	#15509

Сызықтық емес теңдеудің сандық шешімі

Жоспар:

Хордалар әдісі
Бағдарламаны Pascal тілінде орындау.

Хордалар әдісі
f x  0, f a 0, f b 0;

x₀  a, x_n_₁  x_n  b  af x_n /f b f a
  lim xn , n  0,1, 2,...,

n
Мысал 1 Теңдеудің түбірін аналитикалық әдіспен тап және олардың біреуін 0,001 дәлдікке дейін есептеу. x ³ –0, 2 x ² + 0,5x +1,5=0

Шешуі: 1) f(x) = x ³ –0, 2 x ² + 0,5x +1,5 белгілейік

Теңдеудің түбірін Excel бағдарламасы арқылы табамыз:

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	R	L
1	x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
2					-
	f(x)	-131	-67,7	-28,8	8,3	-0,2	1,5	2,8	9,7	28,2	64,3	124

В2 ұяшығында – функция мәнін есептеу формуласы: = В1^3-0,2*В1^2+0,5*В1+1,5

Кестеден көріп отырғанымыздай теңдеудің бір түбірі бар: х₁ 1;0,

Хорда әдісімен ε = 0,01 дәлдікте нақтылаймыз. Есептеудің барлығын Excel ортасында жүргіземіз.

Түбірді нақтылау үшін:

1.Бірінші және екінші ретті түбірді табамыз: f ΄(x) = 3x ² – 0, 4 x + 0,5 , f΄΄(x) = 6 x – 0, 4;

2. Кестеден интервал ұштарындағы функциялардың таңбасын анықтайық. f(-1) = -0,2<0, f(0) =1,5>0

1;0, интервалдағы екінші ретті туындының таңбасын анықтайық, яғни f ΄΄(x) < 0

Сонымен, f(-1) ∙ f ΄΄(x )>0, -1 –интервалдың қозғалмайтын ұшы, ал 0– есептеудің бастапқы нүктесі ( екінші жағдай)

x_n_₁  x_n 

f (x_n )(a  x_n )

формуласын қолданайық, мұндағы а = -1,

ал f (а) = f (-1) = -0,2.

f (a)  f (x_n )

Сонымен,

x_n_₁  x_n 

f (x_n )(1

 x_n )

 x_n 

f (x_n )(1 x_n )

dx_n 

f (x_n )(1 x_n )

деп белгілейік.

 0,2  f

(x_n )

0,2  f (x_n )

Есептеудің барлығын Excel ортасында жүргіземіз:

	A	B	C	D	E	F
1	n	xn	f(xn)	1+xn	0,2+f(xn)	dxn
2	0	0	1,5	1	1,7	0,882353
3	1	-0,88235	0,216161	0,117647	0,416161	0,061108
4	2	-0,94346	0,010454	0,056539	0,210454	0,002809
5	3	-0,94627	0,000466	0,053731	0,200466	0,000125
6	4	-0,94639	2,07E-05	0,053606	0,20001	5,55E-06

В2 ұяшығында есептеудің бастапқы нүктесі орналасқан.

С2 ұяшығында – функцияның мәнін есептеу формуласы: = В2^3-0,2*В2^2+0,5*В2+1,5;
D2 ұяшығында мына формула орналасады: = 1+B2;

Е2 ұяшығында: = 0,2 + С2;

F2 ұяшығында–dxnесептеу формуласы: = С2۰D2/E2.

В3 ұяшығында: = B2 – F2.

Есептеуді жалғастыру үшінC2 – F2 жолдарын курсормен ерекшелеп алып, 3 жолға дейін тарту керек. Содан 3 жолды ерекшелеп алып, В бағанында үтірден кейін 3 сан қайталанғанша жалғастыра береміз. Бұл мына шарт орындалады дегенді білдіреді: | xn+1 - xn |< 0.001, есептеу процесін тоқтатуға болады және жауап ретінде B6 ұяшығындағы мәнді көрсетуге болады.

Pascal тіліндегі бағдарламадан үзінді:

x:=x0;
y:=y0;

whileabs(y-x)<=edo

beginr:=x-f(x)/(f(y)-f(x))*(y-x);x:=x-r;

r:=f(y)/f1(y);y:=y-r;

end;
Дөрекі жуықтаудың дәлдігін анықтайтын сандық әдіс итерация әдісі. Итерация “бірте-бірте тізбектеп жуықтауды” білдіреді. Итерациялық үрдісті орындау үшін теңдеудің анықтауға қажетті бастапқы жуықтау х0 мен Е дәлдігі берілуі керек.

Мысал 2.x ³ – 2 x ² + 7x +3 = 0теңдеудің түбірін аналитикалық әдіспен тап және олардың біреуін 0,001 дәлдікке дейін есептеу.

Шешуі: 1) f(x) = x ³ – 2 x ² + 7x +3 белгілейік

Теңдеудің түбірін Excel бағдарламасы арқылы табамыз:

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	R	L
1	x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
2	f(x)	-207	-121	-63	-27	-7	3	9	17	33	63	113

В2 ұяшығында – функция мәнін есептеу формуласы: = В1^3-2*В1^2+7*В1+3 Кестеден көріп отырғанымыздай теңдеудің бір түбірі бар х₁ 1;0,

3)Итерация әдісімен ε = 0,01 дәлдікте нақтылаймыз.
Теңдеуді мына түрге келтіреміз х = φ(х) , | φ΄(х) | < 1 шарты орындалуы үшін, барлығы х₁ 1;0, Ол үшін:

Туындысын тауып аламыз: f ΄(x) = 3x ² – 4 x + 7;

Туынды мәнін есептейміз: f ΄(-1) = 14, f ΄(0) =7

Үлкенін таңдаймыз max[a;b]|f ΄(x)| = 14, олай болса k =10 деп аламыз;
Функция мына түрде болады: φ(х) = х - f(x)/ k=

х - ( x³ – 2 x² + 7x +3)/10 = х – 0,1x³ + 0,2 x² – 0, 7x - 0,3

– 0,1x³ + 0, 2 x² + 0,3x - 0,3

Итерациялық шарттың орындалу процесін тексереміз, ол үшін:

φ΄(х) = – 0,3x² + 0,4 x+ 0,3;

| φ΄(-1) | =| – 0,3(-1) ² + 0,4 (-1) + 0,3| = 0.4<1 | φ΄(0) | =| – 0,3(0) ² + 0,4 (0) + 0,3| = 0.3<1
6.Есептеудің алғашқы нүктесі үшін интервалдың кез-келген нүктесін аламыз: [-1;0], түбірді нақтылау
үшін мына формуланы пайдаланамыз: хn+1 = φ(хn).

Есептеуді Excel ортасында жүргіземіз.

	A	B	C
1	n	xn	φ(xn)
2	0	0	-0,3
3	1	-0,3	-0,3693
4	2	-0,3693	-0,37848
5	3	-0,37848	-0,37947
6	4	-0,37947	-0,37958
7	5	-0,37958	-0,37959

В2 ұяшығында есептеудің алғашқы нүктесі.

С2 ұяшығында – функцияның мәнін есептеу формуласы φ(хn).:

-0,1*В2^3+0,2*В2^2+0,3*В2-0,3

В3 ұяшығына С2 ұяшығын көшіреміз . Есептеуді жалғастыру үшінC2 ұяшығын ерекшелеп, төмен тартса жеткілікті. Ерекшелеп тартуды | xn+1 - xn |< 0.001 дәлдікке жеткенше жалғастыра еруге болады.

Pascal тіліндегі бағдарламадан үзінді:

x:=(a+b)/2;l:=2/(max+min);

q:=abs(max-min)/(max+min);e1:=e*(1-q)/q;

repeat

r:=l*f(x);x:=x-r;k:=k+1;

untilabs(r)<=e1;

Бақылау сұрақтары:

Хорда әдісінің бар болуы.

Итерация әдісінің бар болуы.

Итерациялық процестің жүру шарты

Бұл әдістердің қателіктерінің бағасын қай формулалармен анықтайды?

Әдебиеттер:

Вабищевич, П.Н. Численные методы: Вычислительный практикум / П.Н Вабищевич. –М.: Ленанд, 2016. -320 с;
Демидович, Б.П. численные методы анализа. Приблеженный функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Б.П.Демидович, И.А. Марон, Э.З.Шувалова. – СПб.: Лань, 2010. -400с.

жүктеу/скачать 35,19 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: