Тіркеу нөмірі 204-ж Регистрационный №204-ж
жүктеу/скачать 13,26 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Өскемен С. Аманжолов атындағы ШҚМУ «Берел» баспасы Усть-Каменогорск Издательство «Берел» ВКГУ
- Бас редактор Қуандықов Ә.Ө., экономика ғылымдарының докторы Бас редактордың орынбасары
- Жауапты хатшы Саденова М.А., химия ғылымдарының кандидаты Редакциялық алқа
- ISSN 1683-1667 ©
- Ответственный секретарь Саденова М.А., кандидат химических наук Редакционная коллегия
- Editor in chief Kuvandykov A.U., Doctor of Economic Sciences Deputy Editor in Chief
- ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ ЖӘНЕ ФИЗИКАЛЫҚ-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАР ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
- Шығыстың аймақтық хабаршысы
- Региональный вестник Востока
| Тіркеу нөмірі 204-ж Регистрационный № 204-ж Registration number №204-j № 2 (66), маусым, 2015 № 2 (66), июнь, 2015 № 2 (66), june, 2015 1999 жылдан бастап шығады Основан в 1999 году Founded in 1999 Жылына 4 рет шығады Выходит 4 раза в год Published 4 times a year Ғылыми журнал Шығыстың
аймақтық хабарШысы региональный вестник востока Научный журнал Scientific journal Regional bulletin of the east
Бас редактор Қуандықов Ә.Ө., экономика ғылымдарының докторы Бас редактордың орынбасары Ердембеков Б.А., филология ғылымдарының докторы, профессор Жауапты хатшы Саденова М.А., химия ғылымдарының кандидаты Редакциялық алқа Абдуллина Л.И., филология ғылымдарының кандидаты, доцент; Абылқасова Г.Е., химия ғылымдарының кандидаты, доцент; Аманжолова Д.А., тарих ғылымдарының докторы, профессор (Мәскеу қ., Ресей Федерациясы); Амреева Л.М., медицина ғылымдарының кандидаты, доцент; Бейсембаева Р.С., география ғылымдарының кандидаты, доцент; Жан М., филология ғылымдарының докторы, профессор (Бейжің қ., Қытай Халық Республикасы); Жан Ш.-Ш., тарих ғылымдарының докторы, профессор (Бейжің қ., Қытай Халық Республикасы); Жылқубаева А.Ш., филология ғылымдарының докторы, ШҚМУ профессоры; Кайгородцев А.А., экономика ғылымдарының докторы, профессор; Қапышева Г.Қ., филология ғылымдарының кандидаты, доцент; Мамбетқазиев Е.А., химия ғылымдарының докторы, ҚР ҰҒА академигі (Өскемен қ., Қазақстан); Мырзағалиева А.Б., биология ғылымдарының докторы, профессор; Рахимбердин Қ.Х., заң ғылымдарының докторы, доцент; Редферн С., минералды физика профессоры, философия докторы (Кембридж қ., Ұлыбритания); Секенұлы А., география ғылымдарының докторы, профессор (Үрімші қ., Қытай Халық Республикасы); Селиверстов В.И., заң ғылымдарының докторы, профессор (Мәскеу қ., Ресей Федерациясы); Сидорович А.В., экономика ғылымдарының докторы, профессор (Мәскеу қ., Ресей Федерациясы); Сқақов М.Қ., физика-математика ғылымдарының докторы, профессор (Курчатов қ., Қазақстан); Сүйнова Н.Х., филология ғылымдарының докторы, профессор (Черкесск қ., Карачаево-Черкес Республикасы, Ресей Федерациясы); Тикунов В.С., география ғылымдарының докторы, профессор (Мәскеу қ., Ресей Федерациясы); Федорчук Ю.М., техника ғылымдарының докторы, профессор (Томск қ., Ресей Федерациясы); Финке П., тарих ғылымдарының докторы, профессор (Цюрих қ., Швейцария); Шапиро Н.А., экономика ғылымдарының докторы, профессор (Санкт-Петербург қ., Ресей Федерациясы). ISSN 1683-1667 © С. Аманжолов атындағы
Шығыс Қазақстан мемлекеттік университеті, 2015 Главный редактор Кувандыков А.У., доктор экономических наук Заместитель главного редактора Ердембеков Б.А., доктор филологических наук, профессор Ответственный секретарь Саденова М.А., кандидат химических наук Редакционная коллегия Абдуллина Л.И., кандидат филологических наук, доцент; Абылкасова Г.Е., кандидат химических наук, доцент; Аманжолова Д.А., доктор исторических наук, профессор (г. Москва, Российская Федерация); Амреева Л.М., кандидат медицинских наук, доцент; Бейсембаева Р.С., кандидат географических наук, доцент; Жан М., доктор филологических наук, профессор (г. Пекин, Китайская Народная Республика); Жан Ш.-Ш., доктор исторических наук, профессор (г. Пекин, Китайская Народная Республика); Жилкубаева А.Ш., доктор филологических наук, профессор ВКГУ; Кайгородцев А.А., доктор экономических наук, профессор; Капышева Г.К., кандидат филологических наук, доцент; Мамбетказиев Е.А., доктор химических наук, академик НАН РК (г. Усть-Каменогорск, Казахстан); Мырзагалиева А.Б., доктор биологических наук, профессор; Рахимбердин К.Х., доктор юридических наук, доцент; Редферн С., профессор минеральной физики, доктор философии (г. Кембридж, Великобритания); Секенулы А., доктор географических наук, профессор (г. Урумчи, Китайская Народная Республика); Селиверстов В.И., доктор юридических наук, профессор (г. Москва, Российская Федерация); Сидорович А.В., доктор экономических наук, профессор (г. Москва, Российская Федерация); Скаков М.Қ., доктор физико-математических наук, профессор (г. Курчатов, Казахстан); Суинова Н.Х., доктор филологических наук, профессор (г. Черкесск, Карачаево- Черкесская Республика, Российская Федерация); Тикунов В.С., доктор географических наук, профессор (г. Москва, Российская Федерация); Федорчук Ю.М., доктор технических наук, профессор (г. Томск, Российская Федерация); Финке П., доктор исторических наук, профессор (г. Цюрих, Швейцария); Шапиро Н.А., доктор экономических наук, профессор (г. Санкт-Петербург, Российская Федерация). ISSN 1683-1667 © Восточно-Казахстанский
государственный университет имени С. Аманжолова, 2015 Editor in chief Kuvandykov A.U., Doctor of Economic Sciences Deputy Editor in Chief Yerdembekov B.A., Doctor of Philological Sciences, professor Executive secretary Sadenova M.A., Candidate of Chemical Sciences Editorial board Abdullina L.I., Candidate of Philological Sciences, associated professor; Abylkassova G.Ye., Candidate of Chemical Sciences, associated professor; Amanzholova D.A., Doctor of Historical Sciences, professor (Moscow, Russia); Amreyeva L.M., Candidate of Medical Sciences, associated professor; Beisembayeva R.S., Candidate of Geographic Sciences, associated professor; Zhang Meilan, Doctor of Philological Sciences, professor (Beijing, China); Zhang Xushan, Doctor of Historical Sciences, professor (Beijing, China); Zhilkubayeva A.Sh., Doctor of Philological Sciences, professor of EKSU; Kaigorodtsev A.A., Doctor of Economic Sciences, professor of EKSU; Kapysheva G.K., Candidate of Philological Sciences, associated professor; Mambetkaziyev Ye.A., Doctor of Chemical Sciences, academician of NAS RK (Ust- Kamenogorsk, Kazakhstan); Myrzagaliyeva A.B., Doctor of Biological Sciences, professor of EKSU; Rakhimberdin K.H., Doctor of Juridical Sciences, associated professor; Redfern S., Professor of mineral physics, Doctor of PhD, Head of X-ray diffraction laboratory (Cambridge, United Kingdom); Sekenuly A., Doctor of Geography, professor (Urumchi, China); Selivyorstov V.I., Doctor of Juridical Sciences, professor (Moscow, Russia); Sidorovych A.V., Doctor of Economic Sciences, professor (Moscow, Russia); Skakov M.K., Doctor of Physics and Mathematics, professor (Kurchatov, Kazakhstan); Suyіnova N.H., Doctor of Philological Sciences, professor (Cherkessk, Republic of Karachay-Cherkessia, Russia); Tikunov V.S., Doctor of Geographic Sciences, professor (Moscow, Russia); Fedorchuk Yu.M., Doctor of Technology, professor (Tomsk, Russian Federation); Finke P., Doctor of Historical sciences, professor (Zurich, Switzerland); Shapiro N.A., Doctor of Economic Sciences, professor (St. Petersburg, Russia). ISSN 1683-1667 © S. Amanzholov
East-Kazakhstan State University, 2015 Региональный вестник Востока
Выпускается ежеквартально ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ ЖӘНЕ ФИЗИКАЛЫҚ-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАР ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ENGINEERING, TECHNOLOGY, PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES ӘОЖ 517.54. А. АЙДАРБЕКҚЫЗЫ, Д. АМАНКЕЛДІ, О.Д. АПЫШЕВ С. Аманжолов атындағы Шығыс Қазақстан мемлекеттік университеті, Өскемен қ., Қазақстан АЛГЕБРАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДЕ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ АУЫСТЫРМАЛАРДЫ ҚОЛДАНУ Мақалада күрделі алгебралық жаттығуларда тригонометриялық ауыстырмалар- ды енгізіп, пайда болған есептерді стандартты емес тригонометриялық есеп ретінде қарастырылған. Осы бағытта бірнеше мысалдардың шығару жолдары келтіріліп, дәстүрлі, классикалық әдіске қарағанда басымдылығы айқын көрсетілген. Түйін сөздер: иррационал теңдеулер, теңсіздіктер, симметриялы теңдеулер, тригонометриялық функциялар, полярлық координаттар. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАДАЧАХ АЛГЕБРЫ В статье рассмотрены нестандартные методы решения сложных алгебраических уравнений, неравенств и их систем, путем приведения их к тригонометрическим урав- нениям и системам. В этом направлении авторами демонстрированы решения удачно подобранных нескольких примеров и задач. Показаны преимущества методов по срав- нению со стандартными приемами.
уравнения, тригонометрическая функция, полярные координаты. USETRIGONOMETRICVARIABLEINALGEBRAICEQUATIONS The article deals with non-standard methods for solving complex algebraic equations, by bringing them to trigonometric equations and systems. In this direction, the authors dem- onstrate the solutions of several well-chosen examples and problems. The advantages of the method compared to standard methods.
tions, polar coordinates. Әдетте тригонометриялық есептерде жаңа айнымалыны енгізіп, оны алгебралық есепке келтіріп шешу кең тараған әдістердің бірі болып табылады. 5
6 Тоқсанына бір рет шығарылады
Шығыстың аймақтық хабаршысы Күрделі алгебралық мысалдарда тригонометриялық ауыстырманың көмегімен керісінше ондай есептерді тригонометриялық есеп ретінде қарастырып шешу, дәстүрлі емес әдіс-тәсілдердің бірі болатынына көз жеткізіп, осы бағытта сан түрлі алгебралық есептердің шығарылатын жолдары келтірілген. Жалпы мұндай есептер негізінен – стандартты емес, қиындығы жоғары дәрежедегі есеп- тер қатарына жатады. Стандартты емес есептер деп математика курсында оларды шешудің нақты бағдарламасын анықтайтын ортақ ережелері мен нақты жағдайлары (алгоритмі) жоқ есептерді айтады. Оқушыларды стандартты емес есептердің шешімін іздеуге, дәлірек айтқанда, ондай есептерді әртүрлі әдістермен, дәстүрлі емес тәсілдермен шығаруға баулу – оқушылардың ой-қабілетінің өсіп-жетілуіне, математика пәніне деген сүйіспеншілігін арттыруға тигізетін көмегі ұшаң-теңіз. Кейінгі жылдары оқушыларды ҰБТ-ға даярлауға көбірек назар бөлетіндік- тен, оларды стандарттық, трафареттік мысалдарды шығарумен шектейді. Есептің шартына терең үңіліп, жеткілікті талқылау жасамай, алдыңғыларына ұқсас шешуге тырысады. Біздің мақсатымыз шәкірттердің ой-өрісінің дұрыс да- мып жетілуі үшін стандартты емес есептерді шешуге баулып, олардың қабілетін жандандыру болып табылады, нәтижесінде логикалық даму жолына өз ықпалын тигізетініне ешбір күмәніміз жоқ. Стандартты емес әдістердің түрлері сан қилы (олармен әдебиеттер тізі- міндегі оқулықтардан тереңірек танысуға болады). Біз олардың ішінен тек қана тригонометрияның аппаратымен шығарылатын жаттығуларды қарастырып, жан- жақты талқылаймыз. Жалпы алгебралық есептердің басқа да шығару жолдары әбден болуы мүмкін, аты айтып тұрғандай, кез келген стандартты емес есепке арналған дағдыланған сара жол жоқ, көбінесе әрқайсысының өзіндік шығаратын жеке әдіс-тәсілі бар болады. Берілген алгебралық есептер белгілі тригонометриялық формулаларға ұқсас болып келгенде жұмыстың нәтижелі, оң шешімі табылатынын атап өткен жөн. Кең тараған түрлеріне төмендегі өрнектер жатады: Тригонометриялық есептердің шешімдері берілген есептің шешімдерін алгебралық та, тригонометриялық формалаларда да табуға мүмкіндік береді. Тригонометриялық теңдеулердің әдетте шексіз көп түбірлері, ал берілген ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ ЖӘНЕ ФИЗИКАЛЫҚ-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАР
7 Региональный вестник Востока
Выпускается ежеквартально теңдеуде – ақырғы болатынын ерекше атап өтеміз. Енді әртүрлі жаттығуларға тоқталайық. 1-мысал. теңдеуін шешейік. Шешуі: теңдеудің шешімі емес, сондықтан берілген теңдеуді -ке бөлеміз. Онда егер
немесе сол жағы 4-тен үлкен, ал оң жағы 4-тен кіші болатыны айқын. Олай болса теңдеудің түбірлері бар болса, олар тек аралығында жататыны анық. Сол себепті
ауыстырмасын енгізсек, берілген теңдеу
тригонометриялық теңдеуге айналады да
⇒
болғандықтан, осы аралыққа тек қана түбірлері тиісті, ал . Жауабы:
2-мысал. теңдеулер жүйесін шешейік. Шешуі: және
болғандықтан
деп ұйғарайық, онда
, берілген жүйеден
аламыз. Бірінші теңдеуден sin( , ал
жүйесі пайда болады да, одан шығады. Ең А. АЙДАРБЕКҚЫЗЫ, Д. АМАНКЕЛДІ, О.Д. АПЫШЕВ. 2 (66) 2015. Б. 5-15
ISSN 1683-1667 8 Тоқсанына бір рет шығарылады
Шығыстың аймақтық хабаршысы соңында
. Жауабы: ( ). 3-мысал. теңдеуін шешейік. Шешуі: теңдеудің ММЖ – бүкіл сан осі. Айнымалыға ауы- стырма жасайық, жаңа айнымалы үшін деп алуға болады. Онда берілген теңдеу түріне келеді, ал болғандықтан немесе ⇒
және . аралығында тек қана шешімі жатады. Олай болса сәйкес . Жауабы:
. 4-мысал. теңдеуін шешейік. Шешуі: теңдеудің ММЖ шартын қанағаттандыратын -терден тұрады, сонымен қатар шешімі болмайды, олай болса теңдеудің барлық түбірлерін облысынан іздейміз. ауыстырмасын жасайық, екені өзінен-өзі түсінікті. Онда
деген тағы жаңа
айнымалыны енгізсек
⇒
және . біріншісінің шешімі жоқ, себебі ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ ЖӘНЕ ФИЗИКАЛЫҚ-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАР
9 Региональный вестник Востока
Выпускается ежеквартально . Онда шешімді екіншісінен іздейміз. және
Онда сәйкес
немесе аламыз, ал және
Сонымен есептің шешімі ; . Жауабы: . 5-мысал. теңдеулер жүйесін шешейік. Шешуі: берілген жүйенің үш теңдеулері бір-біріне өте ұқсас, айырмашылы- ғы белгісіздердің коэффициенттерімен оң жақтарында. Жүйені толық симметри- ялы жасау үшін жаңа белгісіздерді енгізейік, онда жүйе төмендегі түрге енеді: Жүйенің теңдеулері белгілі формулаға ұқсап тұрғанын байқаймыз. Осы ұқсастықты пайдаланып
ауыстырмасын жасайық, басқаша
айтқанда
деген жаңа айнымалыны енгізейік. Онда төмендегі қатынастарға келеміз: болғандықтан А. АЙДАРБЕКҚЫЗЫ, Д. АМАНКЕЛДІ, О.Д. АПЫШЕВ. 2 (66) 2015. Б. 5-15
ISSN 1683-1667 10 Тоқсанына бір рет шығарылады
Шығыстың аймақтық хабаршысы мәндерінің ішінен осы облысқа тиістілері болып кезіндегі мәндері табылады, бірақ та , ал болғандық- тан шешім болып табылмайды, ал мәндері үшін екені түсінікті. Берілген белгісіздері үшін жүйенің шешім- дері болып (мұндағы табылады. Жауабы: . 6-мысал. теңдеуін шешейік. Шешуі: иррационал теңдеуді бір қарағанда қандай әдіспен шешілетіні түсініксіз. Дегенмен түбір астындағы өрнектерден тригонометриялық ауы- стырманы қолдануға болатынын көреміз. ММЖ (мүмкін мәндер жиыны) аралығы болғандықтан, деп жаңа ай- нымалыны енгізейік. Онда , себебі , дәл осылайша . Сонымен , оң жағына көмекші бұрышты қолдансақ. . Енді
жататын n және k мәндерін таңдап алайық. ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ ЖӘНЕ ФИЗИКАЛЫҚ-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАР аламыз.
11 Региональный вестник Востока
Выпускается ежеквартально
.
көреміз. Олай болса . Шамасы немесе
бұрыштың белгілі бұрыштармен байланысы болмаса да оның тригонометриялық функцияларын радикалдарда өрнектеуге болады. Ол үшін екі, үш еселі аргументтердің косинус, синустарының формулала- рын қолданамыз. болғандықтан, десек, онда белгілі қатынастарынан
болатынын көреміз. ⇒ Жауабы:
7-мысал. теңсіздігін шешейік. ⇒ А. АЙДАРБЕКҚЫЗЫ, Д. АМАНКЕЛДІ, О.Д. АПЫШЕВ. 2 (66) 2015. Б. 5-15 ISSN 1683-1667 12 Тоқсанына бір рет шығарылады
Шығыстың аймақтық хабаршысы Шешуі:
теңсіздігіне интер- валдар әдісін қолданайық. , алдымен нөлдерін анықтайық, ол үшін теңдеуін шешейік. ауыстырмасын жасайық. Берілген теңдеу
немесе түріне енеді мұндағы
. аралығында және үш сандары жата- ды,
олай болса
теңдеуінің түбірлері болып
мәндері табылады. Ал және
↗⇒
теңсіздіктерінің орынды болатынын көреміз. Енді теңсіздігіне келейік.
берілген теңсіздіктің шешімі болып табы- лады.
Жауабы: . Ескерту: 1. теңдігінің түбірлері болып сандары екенін көрдік, ал ежелден белгілі ради- ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ ЖӘНЕ ФИЗИКАЛЫҚ-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАР 13 Региональный вестник Востока
Выпускается ежеквартально калдар, олай болса есептің жауабы . 2. Иррационалдықтан құтылып, дәстүрлі жолмен шығатын әдісі бар, бірақ тригонометриялық ауыстырманың артықшылығы айқын көрініп тұр. 8-мысал. теңдеуінің
шартын қанағаттандыратын түбірлерін табайық. Шешуі: (0,1) аралығынан алынған үшін
болатын
облысының жалғыз ғана аргумент -ның мәні табылады (косинус функциясының монотондық интервалы). Онда ал
берілген теңдеу тригонометриялыққа айналып кетеді.
болғандықтан екі жағын да көбейтеміз: , ал қарапайым теңдеуінен аламыз. -ден облысына тек және (n=0 және n=1 мәндерінде), ал -ден (k=1 мәнінде) жататынын көреміз, яғни Жауабы:
Осы есептің алгебралық шешімі де бар, тек теңдеу жетінші ретті болып, өте күрделеніп кететінін атап өтуге болады. Ең соңында бірнеше мысалдар- ды тригонометриялық ауыстырма арқылы қалай оңай шешімге ие болатынын А. АЙДАРБЕКҚЫЗЫ, Д. АМАНКЕЛДІ, О.Д. АПЫШЕВ. 2 (66) 2015. Б. 5-15
ISSN 1683-1667 14 Тоқсанына бір рет шығарылады
Шығыстың аймақтық хабаршысы көрсете кетейік (олардың барлығы 1-8 мысалдар сияқты тригонометриялық теңдеулерге немесе өрнектерді зерттеуге келеді). а)
теңдеуі
ауыстырмасы арқылы шешімдерге ие болады. б)
теңдеуі айнымалы- сын енгізсек теңдеуіне келеді де
десек
теңдеуі арқылы ең соңында
шешімдеріне келеміз; в) теңдеуінің параметр -ның қандай мәндерінде шешімі бар болатынын анықтайық. Ол үшін десек
мәндерінде ғана теңдеудің шешімі бар болатынын көреміз; г) өрнегінің мәндерінің жиынын табайық. деп белгілеу енгізсек, онда ; д) егер пен теңдігін қанағаттан дырса мәндерінің жиыны қабылдайтын облысты табай ық. Ол үшін полярлық координаттар система- сын енгізсек, онда
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ ЖӘНЕ ФИЗИКАЛЫҚ-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАР 15 Региональный вестник Востока
Выпускается ежеквартально мұндағы мәндерінің жиыны болып кесіндісі табылатынын көреміз. ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 1. Олехник С.Н. Нестандартные методы решения. Уравнения и неравенства. Спра- вочник / С.Н. Олехник [и др.]. – М.: МГУ, 1997. – 219 с. 2. Егерев В.К. 4х100 задач / Егерев В.К. [и др.]. – М.: Linka-Press, 1993. – 262 с. 3. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике / В.П. Су- прун. – Минск: Полымя, 1998. – 108 с. 4. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: уч.пособие для 11 кл. СШ / И.Ф. Шарыгин [и др.]. – М.: Просвещение, 1991. – 384 с. 5. Арлазаров В.В. Лекции по математике для физико-математических школ: учеб- ное пособие / В.В. Арлазаров [и др.]. – М.: Изд. ЛКИ, 2008. – 264 с. REFERENCES 1. Olehnik S.N. i dr., Nestandartnye metody reshenija. Uravnenija i neravenstva. Spra-
2. Egerev V.K. i dr., 4х100 zadach. Moskva, Linka Press, 1993, 262 (in Russ). 3. Suprun V.P., Izbrannye zadachi povyshennoj slozhnosti po matematike. Minsk,
4. Sharygin I.F. i dr., Fakul’tativnyj kurs po matematike. Reshenie zadach. Uch. posobie dlja 11 kl. SSh. Moskva. Prosveshhenie, 1991, 384 (in Russ). 5. Arlazarov V.V. i dr., Lekcii po matematike dlja fiziko matematicheskih shkol.Ucheb- noe posobie. Moskva, Izd. LKI, 2008, 264 (in Russ). ӘОЖ 665.753.4 жүктеу/скачать 13,26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|