Ту хабаршысы



жүктеу 15.98 Mb.
Pdf просмотр
бет63/82
Дата15.03.2017
өлшемі15.98 Mb.
1   ...   59   60   61   62   63   64   65   66   ...   82

Лемма 2.

 Пусть выполнены условия I-V. Тогда граничные функции 



n

k

t

k

,

1



),

,

(





 на 

отрезке [0,1] существуют, единственны и выражаются формулой: 



 Физико–математические науки

  

 

№5 2014 Вестник КазНТУ  



          

358


 

,

,



1

,

)



(

)

,



(

)

,



(

n

k

t

t

k

k







 

 

 

 

(9) 


 

где 


)

,

(





t

k

-  определитель,  полученный  из 



)

(



  заменой 



k

-  ой  строки    фундаментальной 

системой  решений 

)

,



(

),...,


,

(

1





t



y

t

y

n

  уравнения 

0



y



L

.  Из  (9)  для  граничных  функции 



n

k

t

k

,

1



),

,

(





  с  учетом  (4),  (8)  получаем  следующие  асимптотические  при 

0



 

представления: 











)

(



1

exp


)

0

(



)

(

)



(

)

(



)

0

(



)

,

(



0

,

1



0

10

)



(

21

,



1

1

,



2

)

(



1

t

m

m

j

n

j

m

j

m

m

j

dx

x

t

t

y

t

t









 

1

,



0

,

)



(

1

exp



0

1





















n



j

dx

x

O

t

j

m



  



 

 

(10) 























t

k

m

m

j

n

j

m

k

j

k

j

k

dx

x

t

t

y

t

t

0

10



0

,

1



0

1

10



)

(

1



,

1

)



(

)

(



1

exp


)

0

(



)

(

)



(

)

1



(

)

(



)

,

(









n

k

n

j

dx

x

O

t

j

m

,

2



;

1

,



0

,

)



(

1

exp



0

1























 

 



Для  граничных  функций 

n

k

t

j

k

,

1



),

,

(



)

(



    с  помощью  (10)  имеем  следующие 



асимптотические при 

0



 оценки: 

 

                                         



1

,

0



,

exp


)

,

(



)

(

1





















n

j

t

C

t

j

m

j





,                          

(11) 


,

exp


1

)

,



(

)

(























t



C

t

j

m

j

k

n

k

n

j

,

2



;

1

,



0



 

 



Решение задачи (1), (2) будем искать в виде [2]: 

 







t

n

n

ds

s

z

s

t

K

t

С

t

С

t

y

0

1



1

)

,



(

)

,



,

(

1



)

,

(



...

)

,



(

)

,



(





 , 


 (12)

 

где 



n

i

C

i

,

1



,

  неизвестные  постоянные,  а 



)

,



(



t



z

неизвестная  функция,  определяемая  из 

следующего интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода: 

 





1



0

1

)



,

(

)



,

,

(



)

,

(



)

(

)



,

(

ds



s

z

s

t

H

t

C

t

F

t

z

k

n

k

k





.                                   (13)

 

 



Здесь  

n

k

dx

x

x

t

H

t

i

k

m

i

i

k

,

1



,

)

,



(

)

,



(

)

,



(

)

(



1

0

1



0















1

1

0



)

(

)



,

,

(



)

,

(



1

)

,



,

(

s



m

i

i

i

dx

s

x

K

x

t

H

s

t

H



   


 

 

       (14) 



Пусть 

VI. Число 

1





 не является собственным значением ядра 

)

,



,

(



s

t

H

Тогда интегральное урванение (13) имеет единственное решение, представимое в виде: 



)

,

(



)

,

(



)

,

(



1





t



C

t

F

t

z

k

n

k

k



,          



                           

   (15) 


где 

 Физика–математика єылымдары 

 

ЌазЎТУ хабаршысы №5 2014  



 

359




1

0

)



(

)

,



,

(

)



(

)

,



(

ds

s

F

s

t

R

t

F

t

F





1



0

,

1



,

)

,



(

)

,



,

(

)



,

(

)



,

(

n



k

ds

s

s

t

R

t

t

k

k

k





,                      



      (16) 

 

 



 

а 



)

,

,



(



s



t

R

  резольвента  ядра 

)

,

,



(



s



t

H

.  Поставляя  (15)  в  парвую  часть  (12)    получим 

решение задачи (1), (2) в виде: 

)

,



(

)

,



(

)

,



(

1





t



P

t

Q

C

t

y

k

n

k

k



,  



 

 

 



(17) 

 

где 







t

k

k

k

ds

s

s

t

K

t

t

Q

0

)



,

(

)



,

,

(



1

)

,



(

)

,



(







1

0



)

,

(



)

,

,



(

1

)



,

(

ds



s

F

s

t

K

t

P



    



 (18) 

 

Теперь  определим  неизвестные  постоянные 



k

C

  так,  чтобы  функция 

)

,

(





t

y

,  определяемая 

формулой  (17),  удовлетворяла  краевым  условиям  (2).  Тогда  имеем 

l

i

a

C

i

i

,

1



,



,  а  для 

определения 



n

l

i

C

i

,

1



,



 получаем систему алгебраических уравнений 



























)

(



)

(

))



(

1

(



...

)

(



)

(

...



...

...


...

...


...

),

(



)

(

)



(

...


)

(

))



(

1

(



1

2

2



,

1

1



,

1

1



1

1

1



2

2

,



1

1

1



,

1









p

i

pi

l

i

p

n

pn

l

l

p

l

l

p

i

i

l

i

n

n

l

l

l

l

e

a

d

b

C

d

C

d

C

d

e

a

d

b

C

d

C

d

C

d

      (19) 

где 

n

k

p

i

ds

s

s

K

d

i

m

j

k

j

ij

ik

,

1



,

,

1



,

)

(



)

,

,



1

(

)



(

1

0



1

0

)



(



 








p

i

ds

s

F

s

K

e

i

m

j

j

ij

i

,

1



,

)

(



)

,

,



1

(

)



(

1

0



1

0

)



(



 





 



Для главного определителя 

)

(



 системы (19) справедливо асимптотическое представление 



),

(

)



(





O



где 



pn

l

p

l

p

n

l

l

d

d

d

d

d

d





1



...

...


...

...


...

...


1

2

,



1

,

1



2

,

1



1

,

1



 

Предположим, что 



VII. 

0



 

Тогда справедлива следующая  



Теорема 1. 

Пусть  выполнены  условия  I-VII.  Тогда  решение

)

,

(





t

y

  сингулярно  возмущенной 

краевой задачи (1), (2) на отрезке [0,1] существует, единственно и выражается формулой: 

 









l

i

p

i

i

l

i

i

i

t

P

t

Q

t

Q

a

t

y

1

1



)

,

(



)

,

(



)

(

)



(

)

,



(

)

,



(







 

 

 



(20) 

где 


n

k

t

Q

k

,

1



),

,

(



 и 



)

,

(





t

P

 выражаются формулой (18), 

)

(



- главный определитель системы 

(19), а 

)



(



i

определитель, полученный из 

)

(



 заменой его 



i

го столбца правой частью (19). 



 Физико–математические науки

  

 

№5 2014 Вестник КазНТУ  



          

360


Для 

определителя 

)

(





i

 

справедливо 



асимптотическое 

представление 



p

i

O

i

i

,

1



),

(

)



(





,  где 



i

-  определитель,  полученный  из 



заменой  его  i-го  столбца 

столбцом 

)

,...,



(

1

1



1

1

1



p

i

pi

l

i

p

i

i

l

i

e

a

d

b

e

a

d

b







 

Из (18) с учетом оценок (6), (11) и формул (14), (16) получаем для функции 



n

k

t

Q

k

,

1



),

,

(



 и 



)

,

(





t

P

 следующие асимптотические оценки:  

 

2

,



0

,

)



0

,

(



max

)

,



(

1

1



0

)

(



1







n

j

t

H

C

t

Q

m

t

j

















t



C

t

H

C

t

Q

m

t

n

exp


)

0

,



(

max


)

,

(



1

1

0



)

1

(



1

2



,

0

,



)

,

(



)

(





n



j

C

t

Q

j

k

,  















t



C

C

t

Q

n

k

exp


)

,

(



)

1

(



2

,



0

,

)



(

max


)

,

(



1

0

)



(





n

j

t

F

C

t

P

t

j

,   



 

 

(21) 





















t

t

F

C

t

P

t

n

exp


1

1

)



(

max


)

,

(



1

0

)



1

(

 



 




Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   59   60   61   62   63   64   65   66   ...   82


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет