Ту хабаршысы



жүктеу 15.98 Mb.
Pdf просмотр
бет67/82
Дата15.03.2017
өлшемі15.98 Mb.
1   ...   63   64   65   66   67   68   69   70   ...   82

Key words: modified Novikov-Veselov equation, Dirac operator, Mutard transformations, a new potentials for 

the Dirac operator. 

 

 

 



УДК  517.958             

                   



Е.А. Акжигитов, М.Ш. Тилепиев, Э.У. Уразмаганбетова, А.Б. Аруова  

(Казахский агротехнический университет имени С.Сейфуллина, 

Астана, Республика Казахстан) 

  

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТЕФАНА ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ ВОЗРАСТАНИИ ВРЕМЕНИ 

 

Аннотация. В  работе  рассматривается  задача  о  вытеснении  одной  жидкости  другой  в  пористой  

среде.  В  задачах  изотермической  фильтрации рассматривается  две  зоны  и  разделяются  несмешивающиеся  

жидкости    подвижным    фронтом.          В  статье  показано,  что  при    определенных    условиях    гладкости   

сформулированная    задача    имеет    единственное    классическое    решение    на    достаточно    малом    интервале  

времени,  а  также  выясняются  условия  на  данные  задачи,  при  которых  найденное   решение  продолжимо  

на  произвольный  интервал  времени. 



Ключевые слова: задача Стефана, принцип максимума, неизотермическая фильтрация. 

     


 

Математическая    постановка    задачи    о    вытеснении    одной    жидкости    другой    в    пористой  

среде  представляет    собой    усложненный    вариант    задачи    Стефана.    В    задачах    изотермической  

фильтрации    часто        рассматриваются    две    зоны    и        несмешивающиеся    жидкости    разделяются 

подвижным    фронтом     

.

)



(t

R

  Особый    интерес    вызывает    тот    случай,    когда    через    уравнение  

массопереноса  в  насыщенных  пористых  средах  и  известный  расход   жидкости  определяется    

неизвестная    граница     

.

)

(t



R

  В    частности,    фильтрация    тяжелой    сжимаемой    жидкости    в  

вертикальной  пористой  галерее   исследована  Мейрмановым  А.М.  в  работе  [1];  для  линейных  

уравнений    в    автомодельной    постановке    подобная    задача    рассмотрена    в    [2],    где    решение  

получено    в    конечном    виде;    моделирование    фазовых      переходов    при    неизотермической  

фильтрация      сжимаемой    жидкости    исследовано    в    [3],  в    которой    доказаны    теоремы  

существования  и  единственности  гладкого  решения.   

Пусть в пористую  среду  через  границу  

0



x



   нагнетается  вытесняющий  агент.  Тогда в 

пористой    среде    образуется    две    зоны    фильтрации,    разделенные    подвижной    границей   





)

(

0



:

)

(



t

R

x

t

R

первая  зона  фильтрации  вытесняющего  агента;    





0

)

(



x

x

t

R

вторая  


зона,    в    которой    фильтруется    вытесняемой    агент.    Распределение    давления   

P

,    плотности 

,



 



скорости фильтрации 



V

 подчиняются уравнению  неразрывности,  закону  Дарси.   

В    дальнейшем    изложении    необходимы    следующие    теоремы    о    существовании    и  

качественных  свойствах  решений  линейных  параболических  уравнений  второго  порядка. 

Рассматривается  ограниченная  область  



c

R

n



  границей  

S

 класса 


2



l



H

 (определение  

этого    класса    и    класса   

2

O

  для    специалистов    дифференциальных    уравнений    в    частных  


 Физика–математика єылымдары 

 

ЌазЎТУ хабаршысы №5 2014  



 

383


производных    являются    стандартными    и    можно    найти,    например,    в    [1]).    В    области   

)

,



(

T

O

T



   ищется  решение  



)

,

(



t

x

u

   уравнения  

 

                                                     



),

,

(



t

x

f

u

L

                                                  (1) 



 

где  




L

параболический  оператор  второго  порядка,  удовлетворяющий  на  границе  

)

,

(



T

O

S

S

T



  одному  из  краевых  условий: 

 

                                                       



  

),

,



t

x

Ф

u

T

S

                                             (2) 



 

                                                     

  

),

,



t

x

Ф

Bu

T

S

                                           (3) 



 

где  




B

линейный  дифференциальный   оператор  первого  порядка,  и  начальному  условию: 

                                                      

                                                                       

).

(

0



x

u

t



                                                (4) 

 

Предположим,  что  оператор  





L

равномерно  параболический  в  области  



T



Теорема  1.  Пусть  

 0



l

нецелое  число,  коэффициенты  оператора  принадлежат  классу  

)

(

2



/

,

T



l

l

H



 

а 

 



граница 

 



S

классу 


 

2



l

H

 



Тогда 

 

при 



 

любых 


)

(

)



(

,

)



(

2

/



)

2

(



,

2

2



2

/

,



T

l

l

l

T

l

l

S

H

и

H

H

f







,  удовлетворяющих    условию    согласования  



порядка  

 


,

2

/



1

l

  задача  (1),  (2),  (4)  имеет  единственное  решение  класса  



)

(

2



/

)

2



(

,

2



T

l

l

H



.  Для  


него  справедливо  неравенство: 

 

)



2

(

)



2

(

)



(

)

2



(

(









l



S

l

l

l

T

T

T

f

C

u



 

 



 

Теорема    2.    Пусть   



и

f

L

,

,

    так  же,    как    и    в    теореме    1,    коэффициенты    оператора  



принадлежат  классу     

)

(



2

/

)



2

(

,



2

T

l

l

S

H



.  Тогда  при   любой  

)

(



2

/

)



2

(

,



2

T

l

l

S

H



, удовлетворяющей  



условиям    согласования    порядка   



,

2

/



)

1

(





l

    задача    (1),  (3),  (4)    имеет    единственное    решение  

),

,

t



x

u

 причем 


 

 

)



(

)

2



(

)

2



(

)

(



)

2

(









l

S

l

l

l

T

T

f

C

u



 

Постановка    задачи.    Пусть    тяжелая    сжимаемая    жидкость    занимает    область  



)}

(

0



{

)

(



t

R

x

x

t



,    в    которой    скорость   





V

,    давление   



P

    и    плотность  

)

(

(



)

(

P



f

P

f



- заданная  функция)  удовлетворяют  уравнению  неразрывности  и  закону  

Дарси 


 

                                                

,

0

)



(









x

t

m

                                            (5) 

 

                                                   



.

x

P

k





                                                   (6) 



 Физико–математические науки

  

 

№5 2014 Вестник КазНТУ  



          

384


 

В    (5),      (6)     





0

const

m

  пористость    грунта,     





0

const

k

  коэффициент 

проницаемости    грунта, 



0

const

вязкость    фильтрующейся    жидкости.    На    свободной  



границе  

)

(t



R

x

 



 

                                          

,





dt

dR

m

                 

,

0





const



P

P

H

              (7) 

 

где  


H

P

- давление  насыщения.  При  

0



x



 задан  расход  массы: 

 

 



                                                     

).

(t





                                                      (8) 



 

Кроме    того    в    начальный    момент    времени    известно    положение    свободной    границы    и  

распределение  давления: 

 

                                     



).

0

(



),

(

)



,

(

,



0

)

0



(

0

0







x



x

P

o

x

P

R

R

                            (9) 

 

Без  ограничения  общности  постоянные  



H

P

k

m

,

,



,

  можно  положить  равными  единице  и  



1

)

(





P

f

,  если 


)

1

(



1

)

(



,

1







P

p

f

p

, если   



1



P

,  где  

0



 const



Тогда    в    области   

}

0



),

(

0



)

,

{(



T

t

t

R

x

t

x

T





      давление   

1

)

,



(



t



x

P

    и    из  

уравнения  (5),  (6)  легко  получить  относительно  давления  

)

,



t

x

P

  следующие  уравнения: 

 

                                               



.

)

,



(

),

)



(

(

)



(

T

t

x

x

P

P

f

x

t

P

P

f







                            (10) 



 

Из  (7)  следует,  что  давление 

)

,

t



x

P

  на  свободной  границе  удовлетворяет  двум  условиям: 

 

 

 



                                    

).

,



(

),

(



,

,

1



T

O

t

t

R

x

x

P

dt

dR

P





                            (11) 



 

Кроме  того  из  (8)  получим  на  известной  границе  

0



x



 при  

)

,



T

O

t

 



 

                                                                 

)

(

)



(

t

x

P

P

f





,                                                 (12) 

 

а  в  начальный  момент  времени  выполняется  условие  (5). 



Ниже  показывается,  что  при  определенных  условиях  гладкости   сформулированная  задача  

имеет  единственное  классическое  решение  на  достаточно  малом  интервале  времени,  а  также  

выясняются    условия    на    данные    задачи,    при    которых    найденное      решение    продолжимо    на  

произвольный  интервал  времени. 

Далее  используя  преобразование   Г. Дюво: 

 

                                                                 



,

)

(



)

,

(



1



P

dS

S

f

t

x

U

                                              (13) 

 

 


 Физика–математика єылымдары 

 

ЌазЎТУ хабаршысы №5 2014  



 

385


исходная  задача  (9)-(12)  переформулируется  в  эквивалентную  краевую  задачу: 

   


                                                   

,

)



(

2

2



x

P

P

a

t

U





                                           (14) 

 

где  



.

)

(



)

(



P

f

P

a

Соответственно  условия (11)  и  (12)  записываются  следующим  образом: 



        на  свободной  границе  функция  

)

,



t

x

U

  удовлетворяет   

 

 

 



                                   

)

,



(

),

(



,

,

0



T

O

t

t

R

x

x

U

dt

dR

U





,                      (15) 

 

 

        а  на  известной  границе  



0



x

  при  

)

,



T

O

t

 



 

                                                       

)

(t



x

U



.                                                   (16) 



 

 

Кроме  того,  в  начальный  момент  времени   



 

                       

,

0

)



0

(

)



0

(

),



(

)

,



(

0

0







R



R

x

x

U

o

x

U

                   (17) 

где  

.

)



(

)

(



1

)

(





x



O

P

O

dS

S

f

x

U

 

 Далее,   достаточно  показать  положительность  функций  



)

,

t



x

U

  в  области  



T

 и  



установить  ограниченность  величины 

 

)



1

(

)



(





T



U

T

J

O

 

с некоторым  



)

1

,



0

(



В    самом    деле,    если   



)



(T

J

O

,    то    на    верхней    крышке   

}

{

T



t

области   



T

  функция  



)

,

(



)

(

~



T

x

U

x

U

O

    принадлежит    классу,    следовательно,    решение    продолжимо    на    интервале    с  



некотором  положительным  



Положим 

).

)



(

,

)



(

max(


)

2

(



)

0

(



)

1

(



)

.

0



[

2









x

U

t

M

O

 

 



Лемма  1.  Пусть  функция  

)

(t



  неотрицательна  в  области  



T

 и  



)

(x



U

O

    положительна  в  

области  

O

.  Тогда  для  решения  задачи  



)

,

T



x

U

  (14) – (17)  справедливы  оценки  

          

                                  

),

)

(



exp(

)

(



)

,

(



0

2

2



2

1

T



M

N

M

N

t

x

U



                                (18) 

            

                                            

,

0

)



),

(

(



)

(

)



(

)

0



(

2

3









t



t

R

x

U

K

U

M

N

YT

                             (19) 

 

 

1   ...   63   64   65   66   67   68   69   70   ...   82


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет