● Физика–математика ғылымдары

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

ҚазҰТУ хабаршысы №3 2015  

 

485 







)

/

1

2

1

2

1

)

1

(

2

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

(

)

,

,

(

2











































y

x

x

x

y

y

y

y

x

x

e

t

y

x

f

t

, 

 





)

(

),

(

)

(

0

0

0

x

x

u

x

W





,   

 

)

1

(

)

1

(

)

(

)

(

0

0









y

y

x

x

x

x

u



. 

 

Точное решение задачи 







,

u

W 

 

)

1

(

)

1

(

)

,

,

(

)

,

,

(









y

y

x

x

e

t

y

x

t

y

x

u

t



. 

При 

0

.

1





, 

05

,

0





, 

1

.

0



h

, 

000028

.

0





, 

10000



K

  (

K

  –  число  траекторий) 

полученные  результаты  приближенного  решения 







~

,

~

~

u

W 

  во  всех  внутренних  узлах  при 

10

,...,

2

,

1



n

  удовлетворяют  условию 

088676

.

0

~



 W

W

.  Решение  оценивалось  одновременно  во 

всех точках сетки, через которую проходила траектория.  

 

ЛИТЕРАТУРА 

1. Темам Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ. –М., 1981, с. 262 - 303, 332 - 346. 

2. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. –Изд. 2-е. –М., 

1970, с. 235-273. 

3. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. –Изд. 2-е. –М., 1975, с. 258-271, 360-367. 

 

REFERENCES 

1. Temam R. Navier - Stokes equations. Theory and numerical analysis. –M., 1981, p. 262 - 303, 332 - 346. 

2. Ladyzhenskaya O.A. The mathematical theory of viscous incompressible fluid. -Ed. 2nd. –M., 1970, p. 235-273. 

3. Ermakov S.M. Monte Carlo method and related matters. –Ed. 2nd. –M., 1975, p. 258-271, 360-367. 

 

Шакенов К.К., Заманова С.К.

 

Босаңдау сығылатын сұйықтықтың сызықтықталған теңдеулерін шешудің сандық əдістері  

Түйіндеме.  Босандау  сығылатын  сұйықтықтың  сызықтықталған  теңдеулерінің  айырымдылық  тәріздігін 

(Ламе теңдеулерін) шешу үшін Монте-Карло және тізбекті жуықтамалар әдістерін қолданылуы қарастырылған.  

Түйін  сөздер:  Монте  –  Карло  әдістері,  тізбекті  жуықтамалар  әдісі,  босаңдау  сығылатын  сұйықтықтың 

теңдеулері, Ламе теңдеулері. 

 

Shakenov K.K., Zamanova S.K. 

           Numerical methods for solving the linearized equations of weakly compressible fluid 

Summary. Considers the application Monte - Carlo methods and the method of successive approximations for 

the discrete analogue of the linearized equations of weakly compressible fluid (Lame equations).   

Key  words:  Monte  -  Carlo  methods,  the  method  of  successive  approximations,  the  equations  of  weakly 

compressible fluid, Lamé equation. 

 

 

 

ЖОК 621.01:329.78 

 

А.Ж. Исмаилова  

(әл-Фараби атындағы ҚазҰУ, Алматы, Қазақстан Республикасы) 

 

СЕРІКТІҢ АЙНАЛМАЛЫ ҚОЗҒАЛЫСЫН МАГНИТТІК  

ТҰРАҚТАНДЫРУЫНА ОРБИТА КӨЛБЕУЛІГІНІҢ ӘСЕРІ 

 

Кіріспе.  Жасанды  Жер  серіктерін  бұрыштық  тұрақтандыру  жүйелерін  құру  өткен  ғасырдың  ортасында 

басталған. Осы уақытқа дейін орбиталдық нысандардың бағдарлау теориясын құру және серіктердің бұрыштық 

қозғалыстарын әртүрлі басқару жүйелерін құруға мүмкіндік берген өте көп зерттеулер жүргізіліп келеді. Қазіргі 

кезде  бағдарлауды  басқару  жүйелерін  сенімді  әрі  арзан  болуын  қажет  ететін  кіші  серіктердің  пайда  болуына 

байланысты жасанды серіктерді тұрақтандыру мәселесіне қызығушылық өсе бастады [1,2]. Мұндай жүйелердің 

ішіндегі  алдыңғы  қатардағы  пассивті  магниттік  тұрақтандыру  жүйелері  жеңіл  жасалуы  мен  айрықша 

сенімділігімен  ерекшеленеді.  Бұл  жүйелер  бағдарланатын  ось  бойына  орналастыратын  бір  немесе  бірнеше 

тұрақты  магниттер  мен  жұмсақ  магниттерден  жасалатын  гистерезисті  сырықтардың  жинағынан  құрылады. 

●

 Физико–математические науки

  

 

№3 2015 Вестник КазНТУ  

                    

486 

Тұрақты  магниттер  арқылы  құрылатын  меншікті  магниттік  момент  Жердің  магниттік  өрісінің  кернеулік 

векторының  бойымен  серіктің  өсін  бағдарлау  үшін  қалпына  келтіретін  моментті  тудыруға  жеткілікті  болуы 

қажет. Серіктің ұшу  кезіндегі гистерезисті сырықтардың магниттелуі бастапқы этапта пайда болатын серіктің 

айналмалы  қозғалысының  энергиясын  ыдыратуды  және  кездейсоқ  ұйытқуларды  демпферлеуді  қамтамасыз 

етеді.  Пассивті  магниттік  жүйелер  жоғарғы  дәлдікті  бағдарлауды  және  күрделі  бағдарламалық  бұрылуларды 

талап етпейтін жасанды серіктер үшін қолданылады [3,4]. 

Бұл  жұмыста  серікті  пассивті  магниттік  тұрақтандыру  кезінде  орбита  көлбеулігінің  әсері  зерттеледі. 

Серік орбита бойымен қозғалғанда геомагниттік өрістің кернеулік векторы орбитаның әрбір нүктесінде өзгеріп, 

кеңістікте күрделі түрде  орын ауыстыратындықтан, көлбеулік  орбита бойымен қозғалатын серіктің бағдарына 

әсер ететін ұйытқулар туындайды. 

 

Есептің қойылымы 

Серіктің берілген бұрыштық қозғалысын қамтамасыз ететін  қарапайым әрі жиі қолданылатын 

әдістердің  бірі,  инерция  моменті  үлкен  ось  төңірегінде  айналатын  серік  кеңістікте  бағдарын  ұзақ 

уақыт  сақтайды.  Серіктің  айналу  өсін  бағдарлау  және  меншікті  айналу  жылдамдығын  реттеу  үшін 

пассивті  магниттік  жүйе  қолданылады  [5,6].  Пассивті  магниттік  тұрақтандыру  серікке  орнатылған 

тұрақты магнит пен геомагниттік өрістің өзара әсерлесуімен іске асырылады. Жердің магниттік өрісі 

үшін «тік диполь» моделі пайдаланылады. 

Қажетті  бағдарлау  алу  үшін  зымыран-тасушыдан  бөлінген  серіктің  массалар  центрі 

төңірегіндегі айналуын тұрақтандырып алу қажет. Кеңістікте серікті сыртқы күштердің моменттерін 

пайдаланып,  пассивті  түрде  бағдарлаған  ыңғайлы.  Мұндай  мүмкін  болатын  пассивті  тұрақтандыру 

жүйесінің бірі – серікті Жердің магниттік өрісі арқылы бағдарлау, яғни серіктің магниттік моментін 

магниттік  өрістің  күш  сызығы  бойымен  бағдарлау.  Бірақ  серік  үшін  магнитті  тұрақтандыру  жүйесі 

геомагниттік өрістің кернеулік векторының шамасы орбита бойында өзгеріп тұратындықтан күрделі 

мәселе болады [7].  

Геомагниттік  өрістен  туындайтын  әртүрлі  күш  моменттерімен  әсерлесетін  серіктің  массалар 

центріне  қатысты  айнымалы  қозғалыс  теңдеуінің  математикалық  моделін  құру  үшін  Жердің 

магниттік өрісінің кернеулік векторының шамасын білу қажет. Осыған байланысты Жердің магниттік 

өрісінің математиклық модельдеу мәселесі туындайды. 

Көптеген  зерттеулер  Жердің  магниттік  өрісін  бірінші  жуықтау  кезінде  біртекті  магниттелген 

шар  немесе  Жердің  центрінде  орналасқан  диполь  өрісімен  модельдеуге  болатынын  көрсетеді.  Егер 

Жердің  центрінде  орналасқан  дипольдің  осі  Жердің  тәуліктік  айналу  осімен  сәйкес  келсе,  онда 

мұндай қарапайым модельді «тік диполь» деп атайды [9].  

Серіктің  қозғалысын  гравитациялық  және  магниттік  өрістерде  қарастырамыз.  Осыған 

байланысты,  серіктің  айналмалы  қозғалысына  әсер  ететін  гравитациялық  момент  келесі  түрде 

анықталады: 

 

R

g

e

g

e

U

grad

M

R











)

(

, 

 

мұндағы 



g

U

гравитациялық  өрістің  потенциалы, 

R

e



серіктің 

R



  радиус-векторымен  бағытталған 

бірлік вектор. 

Серіктің  магниттік  моменті  мен  геомагниттік  өрістің  өзара  әсерлесуінен  болатын  магниттік 

момент мына түрде жазылады: 

 

H

I

M

m











0

. 

 

Мұндағы 

0

I



  бағдарлау  өсіне  орналастырылған  тұрақты  магниттен  туындайтын  серіктің 

магниттік моменті.                                                                                                

 

Математикалық моделі 

Кеңістікте  серіктің  бұрыштық  орнын  анықтау  үшін  келесідей  координаттар  жүйелерін 

еңгіземіз. 



Z

Y

X

C

C

  бас  нүктесі  Жердің  центріде  орналасқан  қозғалмайтын  (абсолют) 

кооординаттар  жүйесі. 

Y осі  Жердің    айналу  өсімен  сәйкес  келеді,  ал 

Y

X ,

  остері  Жердің  экватор 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

ҚазҰТУ хабаршысы №3 2015  

 

487 

жазықтығында  жатады, 

Z

  осі  көктемгі  күн  мен  түннің  теңесу  нүктесіне  бағытталады. 



Cxyz

 

«орбиталық»  координаттар  жүйесі. 

z

  осі  орбитаның  жергілікті  радиус-векторымен  бағытталады, 

x

 

және 

y

 остері  орбитаның нормалі мен трансверсаль бағыттарына сәйкес  келеді. 



z

y

x

C

қозғалмалы 

координаттар жүйесі. Бұл жүйенің остері серіктің бас инерция остерімен бағытталады. 

Аталған координат жүйелерінің өзара байланысын сипаттайтын бағыттауыш косинустар келесі 

өрнектер арқылы анықталады [8]: 

 























































































































.

cos

cos

,

sin

sin

cos

cos

sin

,

cos

sin

cos

sin

sin

,

cos

sin

,

sin

sin

sin

cos

cos

,

cos

sin

sin

sin

cos

,

sin

,

sin

cos

,

cos

cos

3

2

1

3

2

1

3

2

1



















         



















































































.

cos

sin

sin

cos

cos

,

sin

sin

,

cos

cos

sin

sin

cos

,

sin

sin

,

cos

,

sin

cos

,

cos

cos

sin

sin

cos

,

sin

cos

,

cos

cos

cos

sin

sin

3

2

1

3

2

1

3

2

1

i

u

u

c

i

c

i

u

u

c

i

u

b

i

b

i

u

b

i

u

u

a

i

a

i

u

u

a

         (1) 

 

Мұндағы 



i

орбита көлбеулігі, 





орбита түйіндер сызығының ұзақтығы, 







u







 

ендік  аргументі, 







орбитаның  перигейі  мен  түйіндер  сызығының  арасындағы  бұрыштық 

қашықтық, 





 серіктің орбитадағы орнын анықтайтын нақты аномалия. 

Серіктің қозғалмалы координаталар жүйесіне қатысты айналмалы қозғалыс теңдеулері 

Эйлердің динамикалық және кинематикалық теңдеулері жазылады:          

 













































.

)

(

,

)

(

,

)

(

y

g

z

m

x

y

z

y

g

y

m

z

x

y

x

g

x

m

y

z

x

M

M

pq

J

J

dt

dr

J

M

M

pr

J

J

dt

dq

J

M

M

qr

J

J

dt

dp

J

                                                     (2) 

 









































































































.

)

cos

1

(

1

cos

sin

)

sin

cos

(

,

)

cos

1

(

1

cos

sin

cos

,

)

cos

1

(

1

sin

cos

sin

cos

2

2

3

2

0

2

2

3

2

0

2

2

3

2

0













e

e

cg

r

q

p

e

e

q

r

e

e

tg

r

q







                          (3) 

Мұнда 

2

2

3

2

0

)

cos

1

(

)

1

(







e

e









.                                                            (4) 

 

Мұндағы 









,

,

z

y

x

C

  қозғалмалы  коодинаттар  жүйесіне  қатысты  серіктің  бағдарын 

анықтайтын  бұрыштыр, 



r

q

p ,

,

серіктің  бұрыштық  жылдамдығының 

z

y

x

C

  жүйесіне  қатысты 

●

 Физико–математические науки

  

 

№3 2015 Вестник КазНТУ  

                    

488 

проекциялары, 



z

y

x

J

J

J

,

,

  серіктің  бас  инерция  моменттері, 



е

эксцентриситет, 



0



серіктің 

орбита бойымен қозғалуының бұрыштық жылдамдығы.  

g

M



  гравитациялық  моментінің 

z

y

x

C

  қозғалмалы  коодинаттар  жүйесіне  қатысты 

z

g

y

g

x

g

M

M

M

,

,

 проекциялары келесі түрде жазылады: 

 

.

)

(

3

,

)

(

3

,

)

(

3

2

1

3

3

1

3

3

2

3



















x

y

z

g

z

x

y

g

y

z

x

g

J

J

R

M

J

J

R

M

J

J

R

M













 

 

m

M



  магниттік  моменттің 

z

m

y

m

x

m

M

M

M

,

,

  проекцияларын  есептеу  үшін  алдымен 

z

y

x

C

  жүйе 

остеріне  қатысты 

H



  векторының  проекцияларын  есептейік.  Тік  диполь  моделіне  сәйкес  Жердің 

магниттік  өрісінің  кернеулік  векторы  абсолюттік  координаталар  жүйесіне  қатысты  проекциялары 

мына түрде жазылады [8]: 

 

.

cos

sin

sin

3

),

sin

sin

3

1

(

,

sin

cos

sin

3

3

2

2

3

2

3

u

u

i

R

m

H

u

i

R

m

H

u

i

i

R

m

H

e

Z

e

Y

e

X













 

 

Бұл 

құраушыларды 

(1) 

арқылы 

қозғалмалы 

координаттар 

жүйесіне 

проекциялап, 

T

z

I

I

)

,

0

,

0

(

0





өрнегін пайдаланып, 

H

I

M

m











0

 магниттік моментін келесі түрде анықтаймыз [9]: 

 





































































































































































.

0

,

sin

}

cos

]

cos

]

sin

sin

)

sin

cos

(cos

3

cos

)

sin

sin

3

sin

cos

cos

3

sin

cos

cos

3

1

[(

sin

sin

)

sin

sin

3

1

sin

sin

cos

)

cos

1

(

3

[(

sin

)

sin

sin

cos

cos

)

2

/

(

cos

6

sin

sin

sin

3

sin

sin

cos

cos

3

sin

cos

cos

3

{(

,

sin

}

sin

cos

]

sin

)

1

sin

sin

3

(

sin

sin

cos

cos

)

2

/

(

cos

6

sin

cos

cos

3

sin

cos

cos

3

[

sin

)

sin

sin

3

1

sin

sin

cos

)

cos

1

(

3

)(

sin

sin

sin

cos

(cos

]

cos

)

sin

sin

3

sin

cos

cos

sin

cos

cos

3

1

(

sin

sin

)

sin

cos

(cos

3

)[(

sin

sin

cos

sin

{(cos

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

z

e

z

y

e

z

x

M

i

u

u

i

u

u

i

u

u

i

u

u

i

u

u

i

u

i

u

i

u

u

i

i

u

i

u

u

u

i

R

I

M

i

u

i

u

u

i

i

u

i

u

u

u

u

i

u

i

u

i

u

i

u

u

i

u

u

i

u

u

i

u

R

I

M





     (5) 

 

(5) өрнектері сандық есептеу кезінде пайдаланылады. 

 

Сандық есептеу нəтижелері 

(2)-  (4)  жүйелері  арқылы  берілген  серіктің  айналмалы  қозғалыс  теңдеулері  4-ші  ретті  Рунге-

Кутта  әдісі  арқылы  сандық  тәсілмен  шешілді.  Сандық  модельдеу  кезінде  серік  шеңберлік  орбита 

(

0



e

, 

0







  және 

0





)  бойымен  қозғалады  деп  ұйғарылды.  Сонымен  қатар, 

y

x

J

J 

 

динамикалық  симметриялы  серік  қарастырылды.  Сандық  модельдеу  кезінде  Ресейлік  ТНС-0 

наносерігінің параметрлері қолданылды [10]. 1-ші суретте серіктің бұрыштық жылдамдығының 

q

p,

 

құраушылырының  уақыт  бойынша  өзгерулері  бейнеленген.  Графиктерден 

0



i

  экваторлық  орбита 

бойымен қозғалысы кезінде серікті пассивті магниттік тұрақтандыру 

сек

t

2000



 - қа тең болғанда 

орындалатынын  көреміз.  Ал  орбита  көлбеулігі 

0

15



i

, 

0

45



i

  және 

0

75



i

  тең  болған  кезде 

аталған тұрақтандыру тиімді болмайтыны анықталады. 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

ҚазҰТУ хабаршысы №3 2015  

 

489 

0

2000

4000

6000

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

p

0

2000

4000

6000

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

0

2000

4000

6000

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

0

2000

4000

6000

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

i=0

i=15

i=45

i=75

 

0

2000

4000

6000

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

q

0

2000

4000

6000

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

0

2000

4000

6000

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

0

2000

4000

6000

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

i=0

i=15

i=45

i=75

 

1-сурет. Серік бұрыштық жылдамдығының 

q

p,

 құраушыларының  

)

(сек

t

 уақыт бойынша өзгерулері. 

 

0

2000

4000

6000

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

t

fi

0

2000

4000

6000

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

t

0

2000

4000

6000

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

t

0

2000

4000

6000

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

t

i=0

i=15

i=45

i=75

 

0

2000

4000

6000

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

te

ta

0

2000

4000

6000

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

0

2000

4000

6000

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

0

2000

4000

6000

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

i=0

i=15

i=45

i=75

 

2-сурет. 



,

 серіктің бағдарлау бұрыштарының 

)

(сек

t

 уақыт бойынша өзгерулері 

 

●

 Физико–математические науки

  

 

№3 2015 Вестник КазНТУ  

                    

490 

0

2000

4000

6000

8000

10000

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

r

0

2000

4000

6000

8000

10000

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

p

s

i

i=0

i=15

i=45

i=75

a

b

 

3-сурет.  

а

) серік бұрыштық жылдамдығының 

r

 құраушысының 

)

(сек

t

 уақыт бойынша өзгеруі (

0



i

,  

0

15



i

, 

0

45



i

 және 

0

75



i

-қа тең орбита көлбеуліктері үшін);  

б) 



 серіктің бағдарлау бұрышының 

)

(сек

t

 уақыт бойынша өзгеруі (

0



i

,  

0

15



i

, 

0

45



i

 және 

0

75



i

-қа тең орбита көлбеуліктері үшін). 

 

2-ші  суретте  сәйкесінше 



,

  серіктің  бағдарлау  бұрыштарының  уақыт  бойынша  өзгеруі 

бейнеленген.  3-ші  суреттен  серік  бұрыштық  жылдамдығының 

r

  құраушысының  және 



  серіктің 

бағдарлау  бұрышының    барлық 

0



i

, 

0

15



i

, 

0

45



i

  және 

0

75



i

  орбита  көлбеуліктері  үшін 

уақыт  бойынша  өзгерулері  бейнеленген.  Графиктерден  бұл  параметрлердің  мәндері  серік 

динамикалық симметриялы болғандықтан өте аз өзгеретіндігін байқаймыз. 

 

Қорытынды.  Әртүрлі  көлбеу  орбиталардағы  серіктің  бұрыштық  қозғалысын  сандық  әдіспен 

модельдеу  нәтижесінде,  геомагниттік  кернеулік  векторының  серік  қозғалысына  әсері  зерттелді. 

Сандық  есептеудің  нәтижесінде  серіктің  орбитасы  полярлық  орбитаға  жақындаған  сайын,  серіктің 

айналмалы  қозғалысын  тұрақтандыруға  геомагниттік  өрістің  кернеулік  векторының  әсері  жоғарлай 

түсетіні  анықталды  (1-ші  және  2-ші  суреттер).  Экваторлық  орбита  бойымен  қозғалатын  серікті 

пассивті  тұрақтандыру  көлбеулік  орбиталардағы  серіктің  қозғалысына  қарағанда  жеңіл  болатыны 

көрсетілді.  Себебі  геомагниттік  өрісті  тік  дипольмен  модельдеген  кезде  Жердің  магниттік  өрісінің 

кернеулік  векторы  бағыты  мен  шамасы  бойынша  орбитаның  барлық  нүктесінде  өзгермейді  және 

үнемі  орбита жазықтығына перпендикуляр болады. Серік  орбита бойымен қозғалғанда геомагниттік 

өрістің  кернеулік  векторы  орбитаның  әрбір  нүктесінде  өзгеріп,  кеңістікте  күрделі  түрде  орын 

ауыстыратындықтан,  көлбеулік  орбита  бойымен  қозғалатын  серіктің  бағдарына  әсер  ететін 

ұйытқулар  туындайтыны  анықталды.  Тұрақты  әсер  етіп  отыратын  ұйытқулар  серіктің  резонансты 

тербелісін  тудыруы  мүмкін.  Алынған  нәтижелерге  байланысты  серіктің  көлбеулік  орбитадағы 

бағдарын пассивті магниттік жүйесімен дәл бағдарлау үшін қосымша демпферлеуші моменттер қажет 

болатыны туындайды. 

 

ӘДЕБИЕТТЕР 

1.  V.A.  Bushenkov,  M.Yu.  Ovchinnikov.  G.V.  Smirnov,  Attitude  stabilization  of  satellite  by  magnetic  soils  // 

Acta Astronautica, Vol.50, №12, 2002, pp. 721–728. 

2.  F.  Miranda.  Guidance  Stabilization  of  Satellites  Using  the  Geomagnetic  Field    //  International  Journal  of 

Aerospace Engineering, Article ID 231935, 2012, 9 pages. 

3. G. Park, S. Seagraves, N. H. McClamroch. A Dynamic Model of a Passive Magnetic Attitude Control System 

for the RAX Nanosatellite // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, Toronto, Ontario Canada, 2010.  

4.  S.  Jayaram,  D.  Pais,  Model-based  Simulation  of  Passive  Attitude  Control  of  SLUCUBE-2  Using  Nonlinear 

Hysteresis and Geomagnetic Models // International Journal of Aerospace Sciences, Vol.1, №4, 2012, pp. 77-84. 

5.  А.  А.  Ильин,    М.Ю.  Овчинников,    В.    И.  Пеньков.          Обеспечение          ориентации  малого  спутника, 

стабилизируемого  собственным вращением  // Препринт №83. М.: ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2004, 28 c. 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

ҚазҰТУ хабаршысы №3 2015  

 

491 

6.  А.А.  Ильин,  М.Ю.Овчинников,  В.И.  Пеньков.    Алгоритмы  магнитной  системы  ориентации  малого 

спутника,стабилизируемого собственным вращением // Препринт №19. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 2005, 32 c. 

7. В. В. Белецкий, А. А . Хентов. Вращательное движение намагниченного  спутника. М.: Наука, 1980, 286 с. 

8.  Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965, 416 c. 

9. A. Ismailova, K. Zhilisbayeva. Passive Magnetic Stabilization of the Rotational Motion of the Satellite in its 

Inclined Orbit // Applied Mathematical Sciences. Vol. 9, № 16. 2015, pp. 791- 802. 

10. Н.В. Куприянова, М.Ю. Овчинников, В.И. Пеньков, А.С. Селиванов.  Пассивная магнитная система 

ориентации  первого  российского  наноспутника  ТНС-0  //  Препринт  №  46.  М.:  ИПМ  им.  М.В.  Келдыша  РАН, 

2005, 23 c. 

 

REFERENCES 

1.  V.A.  Bushenkov,  M.Yu.  Ovchinnikov.  G.V.  Smirnov,  Attitude  stabilization  of  satellite  by  magnetic  soils  // 

Acta Astronautica, Vol.50, №12, 2002, pp. 721–728. 

2.  F.  Miranda.  Guidance  Stabilization  of  Satellites  Using  the  Geomagnetic  Field    //  International  Journal  of 

Aerospace Engineering, Article ID 231935, 2012, 9 pages. 

3. G. Park, S. Seagraves, N. H. McClamroch. A Dynamic Model of a Passive Magnetic Attitude Control System 

for the RAX Nanosatellite // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, Toronto, Ontario Canada, 2010.  

4.  S.  Jayaram,  D.  Pais,  Model-based  Simulation  of  Passive  Attitude  Control  of  SLUCUBE-2  Using  Nonlinear 

Hysteresis and Geomagnetic Models // International Journal of Aerospace Sciences, Vol.1, №4, 2012, pp. 77-84. 

5  A.  A.  Il'in,    M.Ju.  Ovchinnikov,    V.    I.  Pen'kov.          Obespechenie          orientacii  malogo  sputnika, 

stabiliziruemogo  sobstvennym vrashheniem  // Preprint №83. M.: IPM im.M.V.Keldysha RAN, 2004, 28 s. 

6.  A.A.  Il'in,  M.Ju.Ovchinnikov,  V.I.  Pen'kov.    Algoritmy  magnitnoj  sistemy  orientacii  malogo 

sputnika,stabiliziruemogo sobstvennym vrashheniem // Preprint №19. M.: IPM im. M.V.Keldysha RAN, 2005, 32 s. 

7. V. V. Beleckij, A. A . Hentov. Vrashhatel'noe dvizhenie namagnichennogo  sputnika. M.: Nauka, 1980, 286 s. 

8.  Beleckij V.V. Dvizhenie iskusstvennogo sputnika otnositel'no centra mass. M.: Nauka, 1965, 416 s. 

9. A. Ismailova, K. Zhilisbayeva. Passive Magnetic Stabilization of the Rotational Motion of the Satellite in its 

Inclined Orbit // Applied Mathematical Sciences. Vol. 9, № 16. 2015, pp. 791- 802. 

10.  N.V.  Kuprijanova,  M.Ju.  Ovchinnikov,  V.I.  Pen'kov,  A.S.  Selivanov.    Passivnaja  magnitnaja  sistema 

orientacii pervogo rossijskogo nanosputnika TNS-0 // Preprint № 46. M.: IPM im. M.V. Keldysha RAN, 2005, 23 s. 

 

Исмаилова А.Ж. 

Серіктің айналмалы қозғалысын магниттік тұрақтандыруына орбита көлбеулігінің əсері 

Түйін.  Бұл  мақалада  көлбеу  орбитадағы  серіктің  айналмалы  қозғалысын  пассивті  магниттік 

тұрақтандыру мәселесі зерттелді. Сандық модельдеу  нәтижелері геомагниттік өрістің кернеулік векторы  серік 

орбитасының  әрбір  нүктесінде  өзгеріп  отыратындықтан,  орбитаның  әртүрлі  көлбеулігіне  қатысты  ұйытқулар 

туындайтынын көрсетті.  

Кілттік сөздер: пассивті магниттік тұрақтандыру, геомагниттік өріс, тік диполь моделі, көлбеу орбита. 

 

Исмаилова А.Ж. 

Влияние наклонения орбиты на магнитную стабилизацию вращательного движения спутника 

Резюме.  Исследована  проблема  о  пассивной  магнитной  стабилизации  спутника  на  наклонной  орбите. 

Результаты  численного  моделирования  показывают,  что  в  зависимости  от  наклонения  орбиты    возникают 

возмущения, так как вектор геомагнитной напряженности 

H



 изменяется в каждой  точке орбиты спутника. 

Ключевые  слова:  пассивная  магнитная  стабилизация,  геомагнитное  поле,  прямой  диполь,  наклонная 

орбита. 

 

Ismailova A.Zh. 

The effect of the orbital inclination to the magnetic stabilization of the satellite’s rotational motion 

Summary.  In  this  paper  has  been  studied  the  problem  of  the  passive  magnetic  stabilization  of  a  satellite.  An 

analysis of obtained numerical results show that on the inclined orbits the perturbations occurs, since the vector of the 

geomagnetic field strength varies at each point of the satellite's orbit. 

Key words: passive magnetic stabilization, geomagnetic field, direct dipole model, inclined orbit.