, то у точки r две первые координаты равны между собой. Тогда вследствие того, что r € (аба 1), находим я



бет3/3
Дата18.05.2023
өлшемі329,94 Kb.
#94394
1   2   3
Байланысты:
21-27 Байділдаева Жанерке (копия)


ГЛАВА
ПРОСТЕЙШИЕ ФАКТЫ ГЕОМЕТРИИ
ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
S 6. ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Л и т е р а т у р а :

  1. Назвать фигуры, двойственные следующим:

а) трехвершинннк, б) две различные прямые, в) три коллинеарные точки, г) четырехвершинник.

  1. Даны две прямые I и [1. Точки А,В,С принадлежат прямой l, точки А 1, В, , Ci принадлежат прямой Л. Докажите коллинеарность точек [1, Р = (АР) П (АД), R (ВС), если прямые АА 1, ВВ1, СС1 принадлежат одному пучку. Сформулируйте двойственное утверждение.

У к а з а н и е . Примените обратную теорему Дезарга к трехвершинникам ААР и CC{R.

  1. Докажите, что утверждение, сформулированное в условии задачи 59, является частным случаем теоремы Дезарга.

  2. Сформулируйте задачу, двойственную задаче 59. Покажите, что утверждение, содержащееся в двойственной задаче, есть частный случай обратной теоремы Дезарга.

  3. Даны прямая а, неколлинеарные точки А, В, С, причем эти точки не инцидентны а. Достройте конфигурацию Дезарга так, чтобы а была дезарговой осью, а трехвершинник АВС дезарговым трехвершинником. Сформулируйте двойственную задачу.

  4. Рассмотрите частные случаи конфигурации Дезарга на расширенной плоскости, когда:

а) дезаргова ось — несобственная прямая;
б) дезаргов центр — несобственная точка.
Сформулируйте соответствующие частные случаи прямой и обратной теорем Дезарга в терминах евклидовой геометрии.

  1. Даны четыре точки А, В, С, S, из которых никакие три не коллинеарны, и прямая s, не инцидентная ни одной из них. Постройте конфигурацию Дезарга с центром S , осью s и трехвершинником АВС.

















  2. В конфигурации Дезарга на расширенной евклидовой плоскости две вершины одного из дезарговых треугольников — несобственные точки. Сделайте чертеж конфигурации Дезарга и сформулируйте соответствующие частные случаи прямой и обратной теорем Дезарга в терминах евклидовой геометрии. Докажите полученные теоремы средствами евклидовой геометрии.

У к а з а н и е . Приводим формулировку прямой теоремы.
Пусть АВС — произвольный трехвершинник, S — точка, не принадлежащая его сторонам, и С, — произвольная точка прямой SC, отличная от S и С. Если точки Р и Q, лежащие соответственно на сторонах ВС и АС, таковы, что (СЮ) l l (AS) и (CiP) И (BS), то прямые АВ и PQ параллельны (рис. 7).
Рис. 7 Для доказательства теооемы средствами евклидовой геометрии рассмотрите гомотетию с центром в точке С, при которой точка S отображается на С,. Покажите, что образом прямой АВ при этой гомотетии будет прямая QP.

  1. Сделайте чертеж конфигурации Дезарга в случае, когда одна из вершин одного из дезарговых трехвершинников несобственная.

  2. Сделайте чертеж конфигурации Дезарга в случае, когда пара несоответствующих вершин трехвершинников — несобственные точки.

  3. Проверьте, что для любой прямой из конфигурации Дезар-

г а можно подобрать такие два трехвершинника этой же конфигурации, для которых данная прямая будет дезарговой осью.

  1. На евклидовой плоскости трапеция вписана в четырехугольник так, что ее параллельные стороны параллельны одной из его диагоналей. Докажите, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали (рис. 8).

Р е ш е н и е .Трапеция EFQH вписана в четырехугольник ABCD так, что (FQ) (ЕН) П Прямые FQ и М, ЕВ и DE,BQ и D Н пересекаются на прямо АС. Следовательно, трехвершинники и FBQ и EDH удовлетворяют обратной теореме Дезарга и прямые FE, QH и BD пересекаются в одной точке.

  1. На евклидовой плоскости вершины параллелограмма

ABCD лежат на сторонах параллелограмма A'B'C'D' так, что А е (А'В'), В (ВС), С (СТ), D (ТТ). Докажите, используя теорему Дезарга, что центр симметрии параллелограмма ABCD совпадает с центром симметрии параллелограмма A'B'C'D'.

  1. Используя теорему Дезарга, докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

  2. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые и т и точка Р, им не принадлежащая. Пользуясь одной линейкой, через точку Р проведите прямую, параллельную прямым

Р е ш е н и е . Анализ. Пусть задача решена и прямая п — ис комая (рис. 9). Рассмотрим конфигурацию Дезарга, центром которой является несобственная точка, принадлежащая прямым Е, т, п. Ось s и точки R € l, Q (- т и R ' I могут быть выбраны произвольно, но так, чтобы R , Q и Р не были коллинеарными.
Если Х— (RQ) П s, У (PQ) n s, Z = (RP) П то — (R'x)n т, Р! (R'Z) П СУ).
Построение. 1) Произвольно выберем точки R , Q14 R ' так, чтобы Р, Q и R не принадлежали одной прямой и (RR )

Рис. 9



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет