Бекітілген нүктені айналған дененің кинетикалық энергиясы

Әрі қарай түрлендірсек, 
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
.
N
N
N
к
x
i
i
i
y
i
i
i
z
i
i
i
i
i
i
N
N
N
x
y
i
i
i
x
z
i
i i
y
x
i
i
i
i
i
i
N
N
N
y
z
i
i i
z
x
i i
i
z
y
i i
i
i
i
i
E
ω
m y
z
ω
m x
z
ω
m x
y
ω ω
m x y
ω ω
m x z
ω ω
m y x
ω ω
m y z
ω ω
m z x
ω ω
m z y
=
=
=
=
=
=
=
=
=

=
+
+
+
+
+
−

−
−
−
−

−
−
−










Енді (9.1.6)-ны ескерсек, түпкілікті нәтижеге келеміз: 
2
2
2
1
.
2
к
xx
x
xy
x
y
xz
x
z
yx
y
x
yy
y
yz
y
z
zx
z
x
zy
z
y
zz
z
E
I ω
I ω ω
I ω ω
I ω ω
I ω
I ω ω
I ω ω
I ω ω
I ω


=
+
+
+
+
+
+
+
+


(9.2.3) 
Алынған формуланың күрделілігі декарттық координаталар жүйесін еш таңдаусыз 
еркін қабылдауға байланысты болып отыр. Егер координаталар жүйесінің осьтерін дене 
инерциясының бас осьтерімен бірдей қылып алса, инерцияның центрден тепкіш моменттері 
нольге тең болып, (9.2.3) теңдеу едәуір ықшамдалады: 
2
2
2
1
.
2
к
x
x
y
y
z
z
E
I ω
I ω
I ω


=
+
+


(9.2.4) 
Егер дененің бекітілген нүктесін және онымен қоса координаталардың бастама 
нүктесін дене инерциясы центріне ауыстырса, ал координаталар осьтерін инерцияның бас 
центрлік осьтерімен біріктірсе, дене инерцияның бас осьтерінің біреуін, мысалы 
z
осін, 
айнала қозғалады. Онда 
;
0;
0
z
x
y
ω
ω ω
ω
=
=
=
болып (9.2.3) немесе (9.2.4) тіпті қарапайым 
түрге келеді: 
2
1
.
2
к
E
Iω
=
(9.2.5) 
9.3. Еркін гироскоп қозғалысы. Эйлер теңдеулері. Нутация 
9.3.1. Еркін гироскоп қозғалысы. Эйлер теңдеулері 
Бір нүктесі бекітілген дене қозғалысы ретінде гироскоп қозғалысын қарастырайық. Өз 
симметрия осін тез айналуға келтірілген аксиал симметриялы денені 
гироскоп
деп атайды. 
Тікелей аударғанда 
гироскоп айналуды табатын аспап
деген мағына білдіреді. Жалпы 
мағынада гироскоп дегеніміз – айналу осі кеңістікте бағытын өзгерте алатын шапшаң 
айналған қатты дене. Гироскопқа мысал ретінде зырылдауықты, центрі арқылы өткен, 
бетіне перпендикуляр осьті өте тез айналған дискіні келтіруге болады. Гироскоптың тез 
айналуымен байланысты барлық құбылыстар 
гироскоптық
деп аталады. 
Гироскоп айналуының негізгі заңдарын анықтау үшін оны массалар центрінде бекіткен 
ыңғайлы (ары қарай гироскоп ретінде тез айналатын дискіні қарастырамыз). Қажетті бекіту 
гироскоп осіне үш өзара перпендикуляр бағытта бағдарын еркін өзгертуге мүмкіндік бере-
тін Кардан аспасы көмегімен жүргізіледі (9.3.1-сурет). Егер сақиналар екі оське де 
симметриялы болса, ауырлық күштерінің қорытқы күші үш осьтің қиылысу нүктесіне 
түсірілгендіктен, диск пен сақиналар кез келген жағдайда тепе-теңдікте қала береді. 
Мұндай бекітілуде гироскопты массалар центрі орналасқан О нүктеде бекітілген 
симметриялы қатты дене деп қарастыруға болады.
Бекітілген 
О
нүкте қозғалмағанда 
гироскоп денесі кез келген жағдайда болуы мүмкін. Егер барлық үш осьтегі 
подшипниктердегі үйкелісті және сақиналардың импульс моментін ескермеу шарты 
орындалса, мұндай гироскоп
 еркін
деп аталады. 

Қатты дене бекітілген нүктенің төңірегінде қозғалғанда бұрыштық жылдамдық векторы 
жалпы жағдайда кеңістіктегі бағытын және денеге салыстырмалы бағдарын өзгертеді, яғни 
айналу лездік осі өзінің бағдарын өзгертеді. Бұл қозғалысты денемен бұлжытпай 
байланысқан координаталар жүйесінде қарастырған қолайлы. Координаталық жүйенің 
бастама нүктесін дене бекітілген нүктеде – инерция центрінде орналастырайық. 
Координаталық осьтерді инерция бас осьтерінің бойымен бағыттаймыз. Бұл жағдайда 
инерция тензоры өзінің үш 
1
2
3
,
,
I I I
бас компоненталарымен өрнектеледі, ал импульс 
моменті тіпті қарапайым түрге келеді: 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
;
;
L
I ω L
I ω L
I ω
=
=
=
. Мұндағы 
1
2
3
,
,
ω ω ω
– бұрыштық жылдамдықтың денемен бірге қозғалған координаталар осьтеріне 
проекциялары. Моменттер теңдеуіндегі (
d
L/
dt
) туындысы координаталардың инерциялық 
жүйесінде есептеледі. Осы туындыны денемен бірге қозғалған координаталар жүйесінде 
анықтайық. Гироскоптың 
L
импульс моментін қозғалатын санақ жүйесіндегі 
компоненталары арқылы өрнектейміз: 
.
x
x
y
y
z
z
L
L
L
 
 
 
=
+
+
L
e
e
e
(9.3.1) 
Уақыт өткен сайын 
,
,
x
y
z
L L L
  
проекциялар мен инерциялық жүйеге қарағанда 
координаталық осьтердің бағдарлары өзгереді: 
.
y
y
x
z
x
z
x
y
z
x
y
z
dL
d
d
dL
dL
d
d
L
L
L
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt












=
+
+
+
+
+
e
L
e
e
e
e
e
(9.3.2) 
Бұрыннан белгілі 
(
)
d
dt
=

r
ω r
анықтамасына ұқсас бірлік векторлар туындысының да 
мағынасын анықтауға болады: 
(
)
(
)
(
)
;
;
y
x
z
x
y
z
d
d
d
dt
dt
dt






=

=

=

e
e
e
ω e
ω e
ω e
.
(9.3.3) 
Демек, (9.3.2) теңдеудегі соңғы үш мүшені былай жазуға болады: 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
y
x
z
x
y
z
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
d
d
d
L
L
L
L
L
L
L
L
L
dt
dt
dt






 
 
 
 
 
 
+
+
=

+

+

=

+
+
=


жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: