1. Өрнек санды теңдіктер туралы теориялық негіздемесі
жүктеу/скачать 123,87 Kb.
|
1 2
|
МАЗМҰНЫ
Кіріспе Математиканы оқу кезінде математикалық ұғымдардың логикалық құрылымы өте маңызды. Алгебралық төсеніштерге алгебрадағы амалдар мен олардың қасиеттерін зерттеумен қатар өрнектер, теңдеулер, теңсіздіктер сияқты ұғымдар зерттеледі. Олармен алғашқы танысу математиканың бастапқы курсында өтеді. Олар, әдетте, қатаң анықтамаларсыз, көбінесе қарқынды түрде енгізіледі, бұл мұғалімнен осы ұғымдарды білдіретін терминдерді қолдануда үлкен дәлдікті ғана емес, сонымен қатар олардың бірқатар қасиеттерін білуді талап етеді. Сондықтан, осы абзацтың материалын зерттеуге кіріскен кездегі басты міндет-өрнектер (сандық және айнымалылармен), сандық теңдіктер мен сандық теңсіздіктер, теңдеулер мен теңсіздіктер туралы білімді нақтылау және тереңдету. Бұл ұғымдарды зерттеу математикалық тілді қолданумен байланысты, ол белгілі бір ғылыммен бірге жасалатын және дамитын жасанды тілдерді білдіреді. Кез-келген басқа сияқты, математикалық тілдің де өзіндік алфавиті бар. Бұл курстық жұмыста біз "теңсіздіктер", "теңдеулер" "өрнектер"тақырыптарын қарастырдық. Сандық теңсіздік-түрдің мәлімдемесі A < b немесе A > b, мұндағы < - қатаң тәртіптің қатынасы, ал ≤ қатынасы-кейбір сандар жиынындағы қатаң емес тәртіптің қатынасы. Айнымалымен теңсіздік-а≤ в түрінің экспоненциалды формасы, мұндағы А немесе В-экспоненциалды форма. X айнымалысының (немесе бірнеше айнымалылардың) мәндерінің жиынтығы, онда а < В немесе А ≤ В мәнінің мән формасы осы форманың ақиқат жиынтығы немесе айнымалымен теңсіздіктің шешімі деп аталады. Кейде айнымалыдағы теңсіздік аз формальды түрде анықталады, бірақ көп болуы мүмкін: теңсіздік белгісімен қосылған екі өрнек. > Немесе < белгісін қамтитын теңсіздік қатаң деп аталады; ≤ немесе ≥ белгісін қамтитын қатаң емес деп аталады. А және В сандары үшін "кіші" және "үлкен" қатынастар өзара байланысты: егер а>b, содан кейін b<а; егер а Шынайы (шынайы) сандық теңсіздіктің екі бөлігіне бірдей санды қосуға болады, нәтижесінде біз шынайы теңсіздікті аламыз. Шынайы сандық теңсіздіктің екі бөлігін де көбейту A < b оң санға с, біз шынайы теңсіздікті аламыз as Теңсіздіктер желісінің мазмұны мектептегі математика курсында қолданылады. Осы сызық материалының маңыздылығы мен кеңдігін ескере отырып, оқытудың соңғы кезеңдерінде осы жолдың маңызды компоненттерін, негізгі ұғымдар мен шешімдердің негізгі әдістерін, тапсырмаларды зерттеу мен негіздеуді белсендіруге арналған әр түрлі және күрделі тапсырмаларды ұсынудың орындылығын тағы бір рет атап өтеміз. Математикадағы өрнек - бұл іс жүзінде біз математикамен айналысатын барлық нәрсе. Теңдеулер, бөлшектер, мысалдар, формулалар... 1+1-өрнек, a+b+c-өрнек, 5X + 12 = 37 теңдеуі-теңдік белгісімен қосылған 2 математикалық өрнек. Бөлшек-алым мен бөлгіштен тұратын математикалық өрнек. Өрнектің мәні - (сұрақ толық түсінілмеген) бұл жай ғана мысал, теңдеу және т.б. шешімінің нәтижесі (жауабы) немесе бұл сандар мен математикалық белгілерден тұратын сандық өрнек (онда әріптер жоқ, егер әріптер пайда болса, онда ол қазірдің өзінде айнымалы немесе алгебралық өрнек). 7-3 - сандық өрнек, (12+5)-(15-5) - сандық өрнек. Кез - келген бөлшек-сандық өрнек. Кейде Сандық өрнектердің мағынасы болмайды, мысалы, (12+5):(48-12х4) - тек нөлге бөлуге болмайтындықтан. Теңдеу-әріптермен көрсетілген белгісіз сандарды қамтитын теңдік. Теңдеудегі белгісіз сандар айнымалылар деп аталады. Айнымалылар көбінесе X, y, Z әріптерімен белгіленеді, бірақ оларды басқа әріптермен де белгілеуге болады. Зерттеудің өзектілігі: теңдеулермен, теңсіздіктермен және өрнектермен жүйелі жұмыс сапалы оқытудың негізі болып табылады. Зерттеудің мақсаты: математикалық ұғымдарды, теңдеулерді, өрнектерді, теңсіздіктерді қарастыру және олармен жұмыс істеуді зерттеу. Зерттеу нысаны: теңдеулер, өрнектер, теңсіздіктер. Зерттеу пәні: математикалық ұғымдар, теңдеу ұғымы, теңсіздіктің негізгі ұғымдары. Зерттеу гипотезасы: теңдеуді, өрнектерді, теңсіздіктерді және олардың қасиеттерін анықтау осы тақырыптарды игеруде тереңірек ұғымдар жасайды. Зерттеу міндеттері: теңдеулердің түрлерін, теңсіздіктерді қарастыру, Жұмыста келесі зерттеу әдістері қолданылды: * Теориялық талдау және синтез; * Әдебиеттерді, әртүрлі дереккөздерді зерттеу; * Педагогикалық тәжірибені зерттеу және жалпылау; Жұмыстың құрылымы кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан және әдебиеттер тізімінен тұрады. 1. Өрнек санды теңдіктер туралы теориялық негіздемесі 1.1 Математикадағы өрнек ұғымы Математикадағы өрнектер барлық математиканың негізі болып табылады. Барлық математика өрнектерден және олардың түрлендірулерінен тұрады. Алдымен математикада өрнек деген не екенін білейік. Сандық өрнек дегеніміз не және алгебралық өрнек дегеніміз не. Математикадағы өрнек өте кең ұғым. Математикада біз айналысатын барлық нәрсе-бұл математикалық өрнектер жиынтығы. Кез келген мысалдар, формулалар, фракциялар, теңдеулер және т.б. бәрі математикалық өрнектерден тұрады.[2] 3+2 - математикалық өрнек. C2-d2-бұл математикалық өрнек. Сау бөлшек те, тіпті бір Сан да барлық математикалық өрнектер. Мысалы, теңдеу келесідей: 5х + 2 = 12 теңдік белгісімен байланысқан екі математикалық өрнектен тұрады. Бір өрнек сол жақта, екіншісі оң жақта. Осы мақсатта "математикалық өрнек" тіркесі өте жақсы. Дұрыс және берік. Бірақ практикалық қолдану үшін математикадағы өрнектердің нақты түрлерін жақсы түсіну керек. Белгілі бір көрініс-бұл басқа мәселе. Математикалық өрнектердің әр түрінің өз ережелері мен әдістері бар, оларды шешуде қолдану керек. Бөлшектермен жұмыс істеу үшін-бір жиынтық. Тригонометриялық өрнектермен жұмыс істеу үшін - екінші. Логарифмдермен жұмыс істеу үшін-үшінші. Және т. б. Бір жерде бұл ережелер сәйкес келеді, бір жерде олар күрт ерекшеленеді. Логарифмдер, тригонометрия және басқа да жұмбақ заттарды біз тиісті бөлімдерде меңгереміз. 1.2 Сандық өрнектер. Арифметикалық әрекеттердің сандарынан, жақшаларынан және белгілерінен тұратын математикалық өрнек сандық өрнек деп аталады. 7-3-сандық өрнек. Сандық өрнектің басты белгісі-онда әріптер жоқ. Жоқ. Тек сандар мен математикалық белгішелер. Сандық өрнектерді әдетте санауға болады. Ол үшін жақшаларды ашып, белгілерді өзгерту, қысқарту, терминдерді ауыстыру керек - яғни.өрнектерді түрлендіру. [16] Біз сандық өрнекпен ештеңе істеудің қажеті жоқ жағдайды түсінеміз. Өрнектің мағынасы жоқ. Сандық өрнек қашан мағынасы жоқ? Мысалы: (2+3) : (16 - 2•8) Алайда, бұл өрнектің де мағынасы жоқ. Қарапайым себеппен, екінші жақшада - егер сіз есептесеңіз-нөл алынады. Ал нөлге бөлуге болмайды. Бұл математикадағы тыйым салынған операция. Бұл өрнекпен де ештеңе істеудің қажеті жоқ. Осындай өрнегі бар кез-келген тапсырмада жауап әрқашан бірдей болады: өрнектің мағынасы жоқ. 1.3 Алгебралық өрнектер. Егер әріптер сандық өрнекте пайда болса, ол алгебралық өрнекке айналады. Мысалы: 5а2; 3x-2y; 3 (z-2); 3,4 m/n; x2+4x-4; (A+b) 2;... Мұндай өрнектер әріптік өрнектер деп те аталады. Немесе айнымалылары бар өрнектер. Бұл іс жүзінде бірдей. 5А +с өрнегі, мысалы - әріптік, алгебралық және айнымалылары бар өрнек. Алгебралық өрнек ұғымы санға қарағанда кеңірек. Ол барлық сандық өрнектерді қамтиды. Яғни, сандық өрнек-бұл алгебралық өрнек, тек әріптерсіз. Айнымалылары бар өрнек фразасы да таңқаларлық емес. Егер сіз әріптердің астында сандар бар екенін түсінсеңіз. Әр түрлі сандар әріптердің астында жасырылуы мүмкін... 5 және -18 және кез келген нәрсе. Яғни әріпті әртүрлі сандармен ауыстыруға болады. Сондықтан әріптер айнымалылар деп аталады. Өрнекте ж+5, мысалы, ж-айнымалы шама. Немесе олар жай "айнымалы" дейді, "шама"деген сөз жоқ. Беске қарағанда, бұл шама тұрақты. Немесе жай-тұрақты. Алгебралық өрнек термині берілген өрнекпен жұмыс істеу үшін алгебра заңдары мен ережелерін қолдану керек дегенді білдіреді. Егер арифметика белгілі бір сандармен жұмыс жасаса, онда алгебра барлық сандармен бірден жұмыс істейді. Түсіндіру үшін қарапайым мысал. Арифметикада мынаны жазуға болады 3 + 5 = 5 + 3 Санау және бәрі. Сол жақта 8, ал оң жақта 8. Ал басқа сандар үшін мұндай теңдік орындалады? Сіз де жазып, санай аласыз. Бірақ сандар шексіз Сан... Әр жолы не санау керек?! Бірақ егер біз осындай теңдікті алгебралық өрнектер арқылы жазсақ: а + b = b + a біз барлық мәселелерді бірден шешеміз. Барлық сандар үшін. Барлық шексіз Сан үшін. Себебі А және В әріптері барлық сандарды білдіреді. Тек сандар ғана емес, сонымен қатар басқа математикалық өрнектер. Алгебра осылай жұмыс істейді. Қандай жағдайларда алгебралық өрнек мағынасы жоқ. Мысал үшін айнымалылары бар осындай өрнекті алайық: 2: (а-5) Бірақ а-ның бір мағынасы бар, онда бұл өрнектің мағынасы жоқ. Бұл 5. Егер айнымалы А 5 санына ауыстырылса (олар "ауыстыру" дейді), жақшада нөл пайда болады. Оны бөлуге болмайды. Сонымен, Егер А = 5 болса, біздің өрнегіміздің мағынасы жоқ екен. Алгебралық өрнек 2: (а - 5) А = 5-тен басқа кез келген А мәндері үшін мағынасы бар. Берілген өрнекке ауыстыруға болатын сандардың барлық жиынтығы осы өрнектің рұқсат етілген мәндерінің домені деп аталады. 1.4 Өрнектерді түрлендіру. Бірдей түрлендірулер. Біз сандық және алгебралық өрнектермен таныстық. Енді сіз өрнектерді түрлендіру дегеніміз не екенін түсінуіңіз керек-бұл өрнегі бар кез-келген әрекет. 3+5 салқын сандық өрнекті алайық. 3+5 = 8 Бұл есептеу өрнекті түрлендіру болады. Сол өрнекті басқаша жазуға болады: 3+5 = 5+3 Өрнек басқа түрде жазылды. Бұл да өрнекті түрлендіру болады. Сіз осылай жаза аласыз: 3+5 = 10-2 Бұл да өрнекті түрлендіру. Мұндай түрлендірулерді қалағаныңызша жасауға болады. [15] Өрнектің үстіндегі кез-келген әрекет, оны басқа түрде жазу өрнек түрлендіру деп аталады. Бірақ мұнда бір маңызды ереже бар. Соншалықты маңызды, оны барлық математиканың негізгі ережесі деп атауға болады. Біз өз өрнегімізді осылай өзгерттік делік: 3+5 = 2+1 Барлық математика түрлендірулерге негізделген, онда сыртқы түрі өзгереді, бірақ өрнектің мәні өзгермейді. Үш плюс бесеуін кез-келген түрде жазуға болады, бірақ ол сегіз болуы керек. Өрнектің мәнін өзгертпейтін түрлендірулер бірдей деп аталады. Бұл мысалдың мәнін сақтай отырып, күрделі мысалды қарапайым өрнекке айналдыруға мүмкіндік беретін бірдей түрлендірулер. Егер түрлендіру тізбегінде біз қателесетін болсақ, біз бірдей түрлендіруді жасамаймыз, содан кейін біз басқа мысалды шешеміз. Дұрыс жауаптарға қатысы жоқ басқа жауаптармен. Бұл кез-келген тапсырманы шешудің негізгі ережесі: түрлендірулердің сәйкестігін сақтау. Түсінікті болу үшін 3+5 сандық өрнегі бар мысал келтірдім. Алгебралық өрнектерде бірдей түрлендірулер формулалар мен ережелермен беріледі. Алгебрада формула бар делік: a(b+c) = ab + ac Сонымен, біз кез-келген мысалда A(b+c) өрнегінің орнына ab + ac өрнегін батыл жаза аламыз. Және керісінше. Бұл бірдей түрлендіру. Математика бізге осы екі өрнекті таңдауға мүмкіндік береді. Олардың қайсысын жазу нақты мысалға байланысты. Тағы бір мысал. Ең маңызды және қажетті түрлендірулердің бірі-бөлшектің негізгі қасиеті. Ереже: егер бөлшектің алымы мен бөлгіші бірдей санға немесе нөлге тең емес өрнекке көбейтілсе (бөлінсе), бөлшек өзгермейді. Міне, осы қасиет бойынша бірдей түрлендірулердің мысалы: Бұл тізбекті шексіздікке дейін жалғастыруға болады Бірдей түрлендірулерді орнататын формулалар көп. Бірақ ең маңыздысы - өте ақылға қонымды сома. Негізгі түрлендірулердің бірі - көбейткіштерге ыдырау. Ол барлық математикада қолданылады - бастауыштан жоғарыға дейін. Қорытынды: математикадағы өрнектер барлық математиканың негізі болып табылады. Барлық математика өрнектерден және олардың түрлендірулерінен тұрады. Курстық жұмыста біз келесі ұғымдарды қарастырдық: математикалық өрнек, сандық өрнек, алгебралық өрнектер, өрнек түрлендірулері. Барлық математика түрлендірулерге негізделген, онда сыртқы түрі өзгереді, бірақ өрнектің мәні өзгермейді. жүктеу/скачать 123,87 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2