1-тарау Алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің классикалық әдістері
Алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерациялық әдістері
жүктеу/скачать 0,66 Mb.
|
algebraly-tedeuler-zhyesn-sheshud-klassikaly-dster
2.3 Алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерациялық әдістері
Сандық әдістер курсынан алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің көптеген әдістері белгілі. Мысалы Крамер, Гаусс, итерация, кері матрица, Холецкий, ең кіші шаршылар (наименьшие квадраты), үшбұрышты матрицаларға жіктеу, түйіндес градиенттер, клеткаларға бөлу, қума (прогонка) т.б. әдістер бар.ШЭӘ–де қатаңдық матрицасы –дің мынадай ерекше қасиеттері бар: түзілімі симметриялы, ленталық түрі бар, оң анықталған т.с.с. Осындай қасиеттерді сақтап құру үшін терең түсінік пен үлкен шеберлік керек. Осы айтылған әдістердің ішіндегі үлкен жүйелер үшін жарамдысы Гаусс пен Итерация әдістері. Тіптен үлкен жүйелер үшін бірден –бір жарамды әдіс тек итерация әдістері ғана деуге болады. Себебі өзге әдістермен бірге Гаусс әдісінің де кемшілігі қателіктер жөнделмей үнемі өсіп отырады. Ал итерация әдістерінде керісінше қателіктер жөнделіп отырады. Егер шешетін теңдеулер жүйесінің реті болса, онда итерация әдістерінде , ал Гаусс әдісінде амал орындалады. Сондықтан есептеу уақыты жағынан да итерация әдісінің әлдеқайда тиімді екенін көреміз. Итерация әдістерінің өзі Якоби, Ричардсон, Зейдел, Янг т.б. түрлеріне бөлінеді. Янг әдісінің ШЭӘ – дегі бір түрі жоғары релаксация немесе Гаусс – Зейдел әдісі деп аталады. Якоби итерациясының жүйенің –ші қатары үшін алгоритмі мынадай (17) Гаусс – Зейдел алгоритмі (18) Жоғары релаксация коэффициенті есептеу процесін қатты үдетеді. (19) мұндағы - (18) бойынша есептелген ығысу шамасы. – жоғары релаксация коэффициенті. (17) – (19) – шы өрнектердегі итерация санын, немесе нөмірін көрсетеді. Көптеген есептеулер тәжірибесі мынаны көрсетті. Алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімі болғанда тездейді. Бұл коэффициенттің мәнін алғаш реет Янг былай деп ұсынған еді: . Егер болса, онда Гаусс – Зейдел әдісіне келеміз, ал егер болса, онда жоғарғы релаксация әдісіне келеміз. Енді осы әдісті кеңірек талдайық. Ол үшін матрицасын деп диагоналдық, төменгі үшбұрышты, және жоғарғы үшбұрышты элементтерін белгілейік. Бұл айтқанның Гаусс бойынша деп жіктеуге ешқандай қатысы жоқ. Шындығында деген қосындыларға тең. Итерацияның жүруінің тездеуі мынадай өрнекпен анықталады. (20) Бұл өрнектің сол жағы –ға қатыссыз төменгі үшбұрышты матрица да дәл солай оң жағы да –ға қатыссыз жоғарғы үшбұрышты матрица. Бұл алгоритмның мәнісі жуықтауы есептеліп бітуіне қарай – жуықтауына ауыстырылады. Гаусс – Зейдел әдісінің бір қадамы мына өрнекпен есептеледі. (21) Егер алдыңғы жуықтауы шын шешім – ға теңессе, онда жаңа жуықтау де – ға тең болады. Гаусс – Зейделдің итерациялық әдісі оңай программаланады. (9) – өрнекпен берілген алгебралық теңдеулер жүйесінің әрқайсысы (21) – ге эквивалентті (18) бен итерацияланады да, табылған шешім (20) – мен анықталады. Итерация қажетті шешім табылғанша жүргізіле береді. Шешімнің табылуы қатар екі итерацияның айрымының қажетті мөлшерге (мейлінше аз шама нан кіші) тең болуымен анықталады, яғни . ШЭӘ–нің негізгі теңдеуі (9) – ді шешуге қолданатын әдісті таңдарда жүйенің ретіне қарау керек. Егер жазық есептерде жүйе реті p2=, ал кеңістіктік есептерде p3=. Бұл жердегі есептік облысты шекті элементтерге бөлгендегі нүктелердің саны. Егер жүйенің қатаңдық матрицасының оң анақталғандық қасиеті сақталып, p2 немесе p3 шамамен 100 болса, онда кері матрица әдісін қолдану керек. Кері матрица бір–ақ рет табылады да әрі қарай оң жақтарындағы күш векторы ғана өзгеріп отырады. Егер жүйенің реті 100 (p2 немесе p3) 000 болса онда Гаусс әдісі тиімді де, p3≥20 000 болса итерациялық әдістерді қолдану керек. жүктеу/скачать 0,66 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|