1-тарау Алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің классикалық әдістері
Алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің түйіндес градиенттік әдісі
жүктеу/скачать 0,66 Mb.
|
algebraly-tedeuler-zhyesn-sheshud-klassikaly-dster
| 2.4 Алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің түйіндес градиенттік әдісі
Алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің бұл әдісін тікелей шекті элементтер әдісіне қолдану тұрғысында келтірейік. Шекті элементтер әдісінде (9) – теңдеу тепе–теңдік теңдеуі деп аталады. Физикалық мағынасы бойынша серпімді дененің деформациялану кезіндегі тепе–теңдігі сыртқы күш әсерінен онда (дененің ішкі нүктелерінде) пайда болатын серпімді деформацияланудың мүмкін түрлерінің ішіндегі потенциалдық энергиясының ең аз мөлшері байқалатын жағдайына сәйкес келеді. Сондықтан бұл жерде тепе–теңдікке жету үшін потенциялдық энергияны минимизациялау керек. Осы айтылғандарды серпімді жүйенің қатаңдық матрицасы, ығысу векторы және сыртқы күш векторы арқылы шекті элементтер әдісіндегі белгілі өрнегін былай жазамыз (22) Сонымен түйіндес градиенттік әдіс дегеніміз (9) ді тікелей шешпей–ақ ны минимизациялайтын жинақты итерациялық процесс. Оның алгоритмдері төмендегідей негізгі қадамдардан тұрады. 1 Қарапайым градиенттің теріс векторын, яғни (9) –ші теңдеудің сол жағындағы өрнекті оң жағына шығарғандағы айрымды кез – келген –ші итерация үшін мынадай алгоритмін былай жазамыз (23) – ды (алғашқы қадамдағы нөлінші итерация), яғни ығысу векторының элементтерін түгелдей нөл деуге болады. 2 Түйіндес градиент векторын есептейміз. (24) мұндағы Вектордың нормасы былай есептеледі Мұндағы –жүйенің еркіндік дәрежесінің саны, яғни теңдеулердің саны. 3 Итерация қадамының тиімді шамасын есептеу. (25) мұндағы және 4 Итерация соңындағы ығысулардың шамалары былай тексеріледі. (26) 5 Жинақтылық критериін (20) де көрсетілген деформацияның потенциалдық энергия өрнегі арқылы тағайындау қолайлы. Егер жинақтылық жеткіліксіз болса 1 – 4 қадамдар қайтадан қайталанады. Жоғарыдағы келтірілген қадамдар бірінен соң бірі орындалып отыратындықтан 1 – 5–ші қадамдарда (20), (21) – өрнектердегі мен есептеу үшін матрицалық көбейтулерді қайталап орындаудың қажеті де жоқ. Оны У. Р. Маркс пен Н. Ж. Соломон байқап төмендегідей алгоритмді ұсынды. Айтылған өрнектердегі көбейтіндісін басқаша жолмен біртіндеп қосу амалын орындай отырып іске асырған әлдеқайда тиімді. Мысалы (23) – ші өрнекте қолданылатын көбейтіндісін (24) да – ды есептеу үшін мынадай түрде қайтадан қолдануға болады: (27) Олай болса (28) Сондықтан үшін (29) Егер – ды түгел нөл десек – ді де есептеудің қажеті жоқ. Бұл алгоритмды қолданғанда әр итерацияда бір ғана көбейту амалы орындалады. Көптеген зерттеушілердің пікірлеріне қарағанда (20) – (27) –шы – өрнектермен баяндалған бұл алгоритм Гаусс әдісіне қарағанда әлдеқайда тиімді. Сондықтан бұл әдіс те теңдеулер жүйесінің реті 20 000 – нан асқанда әсіресе динамика есептерін шешкенде өте қажет болады. жүктеу/скачать 0,66 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|