1-тарау Алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің классикалық әдістері
жүктеу/скачать 0,66 Mb.
|
algebraly-tedeuler-zhyesn-sheshud-klassikaly-dster
| 1.4 Гаусс әдісі
Реті болатын алгебралық теңдеулер жүйесін қарастырайық. Ондай жүйені шешу үшін кейде белгілі бір бөліктерге бөліп тастап барып амалдар қолданған ыңғайлы. Мысалы теңдеулер жүйесінің коэффициенттерінен құралған матрицаны 4 бөлікке бөліп тастауға болады. Жоғарғы алгебра курстарында қалыптасқан алгебралық сызықты теңдеулер жүйесін деген белгілеулер орнына шекті элементтер әдісінде қалыптасқан , (7) белгілеулерін пайдаланайық. Сонымен осы соңғы теңдеулер жүйесін төрт бөлікке бөлу түрін жазайық. , (8) мұндағы матрицасының өлшемі ; матрицасының өлшемі ; матрицасының өлшемі ; матрицасының өлшемі ; – белгісіз шамалардың векторы; – белгілі шамалар векторы; Гаусстың белгісіздерді біртіндеп «жою» әдісі матрицасының өлшемін кішірейтіп, оны түрінде алуға мүмкіндік береді. Реті кішірейген ол матрицаны (9) деп жазайық. Сонда бастапқы матрицамыз және оның оң жағы –векторы әрқайсысының реттері төмен мынадай матрицалардың көбейтінділерімен анықталады. (10) (11) Дәл осы жолмен матрицасын да реті одан да кіші матрицаға жіктеуге болады. Бұл жердегі негізгі амал мынадай үш матрицаның көбейтіндісі болатынын байқау қиын емес. Бұл жердегі матрицасының өлшемі болғандықтан қолданылатын амалдардың саны болады. Осылай біртіндеп кішірейте отырып матрицасының өлшемін ға дейін түсіргенде, ең соңғы белгісізін бірден табуға болады. Одан әрі қарай біртіндеп кері қадамдар жасай отырып қалған басқа белгісіздерді де мынадай алгоритммен табуға болады . (12) Бұл әдіс бастапқы матрицасының элементтері компьютердің оперативтік жадысында сақталатын қарапайым әдіс деп есептелінеді. Егер матрицасы симметриялы болса, онда оның тек диагоналы мен диагональ үстіндегі немесе диагональ астындағы элементтерін ғана пайдаланып орындалатын амалдарды екі есеге дейін азайтуға болады. Соңғы жағдайда амал орындалады. Жалпы түрде берілген (1) теңдеулер жүйесін қарамыз. Кері матрица әдісі мен Крамер формуласын белгісіздер саны мен теңдеулер саны өзара тең болғанда және жүйенің анықтауышы нольге тең болмағанда қолдануға болады. Сонымен Гаусс әдісі деп белгісіздерді біртіндеп табу әдісін айтамыз. Жүйенің Алгебралық теңдеулер жүйесінің коэфициенттерінен матрицасын құрайық. Егер элементар түрлендіруді қолдану барысында бір жатық жолдың соңғы элементінен (бос мүшеден) басқа элементтері нөл санына тең болып шықса, онда берілген жүйе үйлесімсіз жүйе болады. Бұл жағдайда жүйенің шешімін іздеуді дереу тоқтатамыз. Егерде элементар түрлендіру кезінде нөлдерден тұратын жатық жол шықса, ол жатық жолды элементар түрлендірудің анықтамасы бойынша матрица құрамынан алып тастаймыз. Кеңейтілген матрицаны сатылы түрге келтірілгеннен кейін, ол арқылы теңдеулер жүйесін құрамыз. Осы теңдеулер жүйесін соңғы теңдеуінен бастап бір-бірлеп шешеміз, яғни бір белгісіз деп басқасын белгілі деп жариялап, белгісіз айнымалыны белгілі айнымалылар арқылы өрнектейміз. Табылған белгісіздерді келесі жоғарғы тұрған теңдеуге қойып, келесі белгісізді таба аламыз. Осы процесті бірінші теңдеуге дейін жеткізіп, барлық белгісіздерді анықтаймыз. Енді Гаусс әдісін қолданып есеп шығарсақ. Мысал-5 теңдеулерін Гаусс әдісімен шешіңіз. Дәлелдеуі: Жүйенің кеңейтілген матрицасын құрамыз. мұнда есептеуге ыңғайлы болу үшін бос мүшенің бағанасы басқа тік жолдардан түзу арқылы бөлініп тұр. Бірінші тік жолдың 2-інші, 3-інші және 4-інші элементтерін нөл жасау үшін бірінші жатық жолды 2-ге көбейтіп 2-ші жатық жолға, 3-ке көбейтіп 3-інші жатық жолға және 2-інші жатық жолды 4-інші жатық жолға қосамыз. соңғы матрицадан екінші жатық жолға үшінші жатық жолды, ал үшінші жатық –2-ге көбейтілген төртінші жатық жолды қосамыз, сонан соң төртінші жатық жолды 2-ге бөлеміз. Енді төртінші жатық жолға екінші жолды қосып, сонан соң үшінші жатық жол мен төртінші жатық жолдардың орындарын ауыстырып жазамыз. Үшінші жатық жолды 5-ке бөліп жазамыз, сонаң соң оны 13-ке көбейтіп 4-інші жатық жолға қосамыз. жүйенің кеңейтілген матрицасын баспалдақ түрге келтірдік. Енді осы матрица бойынша теңдеулер жүйесін қалпына келтіреміз: Соңғы екі теңдеуден пен -ті тауып, екінші теңдеуге қосамыз. , Табылған -лердің мәндерін бірінші теңдеуге қойып, -дің мәнін табамыз: (15, 46, 21, -20) Мысал-6 Гаусс әдісі бойынша шешіңіз: Шешуі: Соңғы жатық жол бойынша теңдеуі құратын болсақ шығады. Соңдықтан берілген жүйе үйлесімсіз, яғни оның шешімі жоқ. Мысал-7 -ке кез-келген мәнін беріп (), соңғы жүйені Гаусс әдісімен шешеміз: соңғы матрица бойынша жүйе құрамыз: С кез-келген сан болғандықтан, қарастырылып отырған жүйе анықталмаған жүйе оның шексіз көп шешімі бар. жүктеу/скачать 0,66 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|