Сигналдар мен бөгеуілдердің математикалық модельдері

2.4 Сигналдар мен бөгеуілдердің математикалық модельдері
 
Ақпарат тарату жүйелерінде сигнал ретінде әртүрлі физикалық үрдістер 
немесе объектілер пайдаланылады. Олар көптеген параметрлермен 
сипатталынуы мүмкін, бірақ сигнал ретінде пайдаланғанда тек кейбір 
параметрлері ғана қарастырылады [6-9]. Осылайша физикалық үрдісті
ақпарат тарату үшін жуық түрде қарастыруды сигналдың моделі деп атайды.
Сигналдың параметрерін құрылымдық, идентификациялық және 
ақпараттық деп бөлуге болады. Құрылымдық параметрлер сигналдың 
еркіндік деңгейінің санын анықтайды, идентификациялық параметрлер 
ақпарат алушыға керек емес басқа сигналдардың ішінен пайдалы сигналды 
анықтайды, ал ақпараттық параметрлер жіберілетін ақпаратты кодтау үшін 
пайдаланылады.
Сигналдар құрастыру үшін тасымалдаушылардың қолданылатыны 
туралы сөз болған; іс жүзінде негізінен олардың үш типі қолданылады.
Бірінші типке жататын тасымалдаушының математикалық сипаттауы 
келесі формуламен анықталған: s(t) =const. Тұрақты кернеудің бір ғана 

ақпараттық параметрі болады; ол – кернеудің мәні. Бұл жағдай үшін 
модуляция кезінде кернеудің таңбасы ғана өзгеруі мүмкін.
Екінші типке жататын тасымалдаушы - гармоникалық тербеліс, оның 
математикалық формсы келесі s(t) = A∙sin(ωt + φ). Айнымалы кернеу үшін үш 
түрлі параметр болады, олар – амплитуда A, жиілік ω және фаза φ.
Тасымалдаушының үшінші типі – импульс тізбектері. Бұл жағдайда 
келесі модуляция параметрлері болады: импульс амплитудасы, импульс 
фазасы, импульс жиілігі, импульс ұзақтығы немесе үзілістері. Осы аталынған 
параметрлер сигналдың кодын анықтайды.
Сигналдың негізгі параметрлері болып оның ұзақтығы T мен спектр 
ені (кеңдігі) қарастырылады. Әрбір сигналдың басы мен соңы болады, ал 
уақыт аралығы (интервалы) T оның ұзындығын анықтайды.
Сигнал спектры деп оның гармоникалық құрастырушыларының
(гармониктерінің) жиыны болатын келесі Фурье қатарын құрайтын функция 
u(t) болады:
u(t) = 
,
(2.1)
мұндағы - сигналдың қайталану жиілігі (немесе бірінші гармониканың 
жиілігі), k - гармоника нөмері.
Жоғарыда келтірілген (1) формуласын басқа түрде жазуға болады:
u(t)= 
,
(2.2)
мұндағы
- амплитуда,
= - arctg(b
k
/a
k 
) – гармоника 
фазасы (косинусоида). Қосынды белгісіндегі косинустың орнына синусты 
жазуға да болады. 
Математика курсынан белгілі, Фурье коэффициенттері келесі 
анықталған интегралдардың көмегімен есептелінеді [13]:
,
(2.3)
,
(2.4)
мұндағы 
- сигналдың қайталану немесе u(t) функциясының 
периоды.
Фурье коэффициенттерінің сан мәндерін анықтау үшін (3) и (4) сандық 
интегралдау әдістерін қолдануға болады:

(2.5)
(2.6)
мұндағы 
t айнымалысы бойынша өзгеру қадамы.
Сигналдың көлемі деп келесі шаманы атайды V = P∙ΔF∙T, мұндағы P -
сигнал қуаты (Вт), ΔF - оның спектрінің ені немесе алқап (Гц), T - сигналдың 
беріліс уақыты (с). Сигналдың ұзындығы T мен алқабының ΔF көбейтіндісін 
сигналдың базасы B = ΔF∙T деп атайды. Егер сигнал базасының шамасы 
бірге тең B = 1 болса, ондай сигналдарды таралқапты деп атайды, ал B >> 
1 болса, ондай сигналдарды кең алқаптылар деп есептейді.
Сигналдар үзіліссіз және дискретті (үзілісті) болуы мүмкін. Сигналдың 
дискретті болуы оның белгілі бір параметрі бойынша аталынады. Егер белгілі 
бір параметр қабылдайтын мәндер саны шектелген (есептелінетін) болса, 
онда сигналды осы параметр бойынша дискретті деп есептейді. Егер сигнал
параметрі белгілі бір интервалда (аралықта) кез келген мәнді қабылдайтын 
болса, онда сигнал осы параметр бойынша үзіліссіз деп аталынады. Бір 
параметр бойынша дискретті, ал екінші параметр бойынша үзіліссіз 
сигнал дискретті-үзіліссіз деп аталады.
Осыған байланысты анықталған сигналдардың бірнеше математикалық 
модельдері қарастырылған:
- үзіліссіз аргументтің үзіліссіз функциясы, мысалы, уақыттың үзіліссіз 
функциясы;
- дискретті аргументтің үзіліссіз функциясы, мысалы, уақыттың белгілі 
бір сәттерінде ғана анықталатын функция;
- үзіліссіз аргументтің дискретті функциясы, мысалы, деңгейі бойынша 
квантталынған уақыт функциясы;
- дискретті аргументтің дискретті функциясы, мысалы, уақыттың белгілі 
бір сәттерінде мүмкін болатын мәндердің (деңгейлердің) шектелген 
жиынынан бір ғана мәнді қабылдайтын функция.
Жіберуші дайындаған хабарлама қабылдаушыға 
алдын 
ала 
белгісіз және ол кездейсоқ бөгеуілдердің әсеріне тап болады. Сондықтан 
хабарлама кездейсоқ оқиға ретінде қарастырылады, ал оған сәйкес 
сигнал кездейсоқ функция болады. Осыған байланысты, ақпарат берілісі 
жүйелері туралы теорияда математиканың бір саласы – ықтималдар 
теориясы қолданылады.
Хабарлама жіберуші әрбір хабарламаны белгілі бір ықтималдықпен 
жібереді, сондықтан оның ақпараттық параметрлерінің мәндерінің өзгеруі 
алдын ала белгісіз болады. Сонымен, сигнал кездейсоқ тербеліс болса, оның 
аналитикалық моделі ықтималдық сипаттамалармен анықталған кездейсоқ 
үрдіс болады. 

Кездейсоқ 
үрдіс белгілі
ықтималдықпен 
әртүрлі 
жүзеге 
асырылулардың жиынымен анықталады. Қарастырылатын кездейсоқ 
үрдістің n жүзеге асырылуының n мүмкін хабарламасының әрбір i-ші 
хабарламасына сәйкес сигнал болады; ол сигнал i-ші хабарлама туралы 
ақпаратты тасиды.
Кездейсоқ үрдіс мәні t=t
1 
уақыт сәтінде кездейсоқ шама болады. Бұл 
кездейсоқ шаманы кездейсоқ үрдістің кесіндісі деп атайды. Кездейсоқ 
шаманың t=t
1
кесіндісіндегі мүмкін мәндері сигналдың осы уақыт сәтіндегі
лездік мәндеріне сәйкес болады. Ықтималдар теориясынан белгілі, кез 
келген кездейсоқ шама бір өлшемді дифференциал функциямен немесе 
ықтималдың таралу тығыздығымен f(u,t
1
)=f(u
1
) сипатталынады.
Бір өлшемді тығыздық кездейсоқ үрдістің ықтималдық қасиетінің тек 
бір уақыт сәті үшін ғана сипаттайды және басқа ешбір ақпарат бере 
алмайды. Мысалы, келесі екі кесінді t = t
1
және t = t
2 
үшін екі кездейсоқ
шама арасындағы байланыс туралы. Кездейсоқ үрдістің әртүрлі екі уақыт 
сәттеріндегі 
(t=t
1
және 
t=t
2
)
мәндерінің 
арасындағы 
байланыс 
ықтималдылықтың екі өлшемді таралу тығыздығы арқылы анықталады, ал n - 
өлшемді үшін келесі таралу функциясы f(u
1
,u
2
, . . . , u
n
) арқылы 
сипатталынады. Бірақ практикада негізінен кездейсоқ үрдістің сандық 
сипаттамалары қолданылады, олардың негізгілері: математикалық күту m
u
, 
дисперсия σ
u
2
және корреляция функциясы K(t
2
-t
1
).
Ақпарат қабылдаушы үшін бөгеуіл дегеніміз жіберілген сигналды 
өзгертетін кездейсоқ әсер. Сондықтан бөгеуіл кездейсоқ үрдіс ретінде 
қарастырылады. Ол өзінің таралу заңымен және өзінің мүмкін жүзеге 
асыруларының жиынымен (ансамблімен) сипатталынады. Бөгеуілдердің
шығу көздері әртүрлі: электротранспорттың, электр моторларының,
қозғалтқыштығ (двигательдің), радиостанциялардың және т.б. әсерлері.
Іс жүзінде жиіліктің кез келген диапазонында аппаратураның ішкі 
шуы болады. Оны жылулық шуы деп атайды. Жылулық шуының кернеуін 
анықтау үшін Найквист формуласы қолданылады [7,8]:
u
ш
2
= 4∙k∙T∙R∙∆f,
мұндағы: k - Больцман тұрақтысы, T – абсолют температура, R - кедергі, ∆f 
- жиілік алқабы.
Жалпы жағдайда жіберілген сигналға s(t) бөгеуілдің әсері келесі 
оператормен анықталады: x = ψ (s,w). Қарапайым жағдайда ψ операторын 
сызықтық түрде жазуға болады: x = s + w. Мұндай жағдайды адддитивті 
бөгеуіл деп атайды. Ал егер бұл формула келесі көбейтінді түрінде x = µ∙ s
жазылатын болса, онда мультипликативті бөгеуіл деп аталынады. Нақты 
жағдайда байланыс арнасында бөгеуілдің осы екі түрі де кездеседі: x = µ∙ s + 
w.
Жоғарыда айтылғандай, ақпараттың берілісі мен сақталуын қамтамасыз 
ету сигнал арқылы орындалады. Жіберілетін ақпаратқа байланысты
тасымалдаушының бір немесе бірнеше параметрлері өзгертіледі. Ондай 
параметрлер ақпараттық деп 
аталынды. 
Ақпараттық 
жүйелерде
тасымалдаушылар ретінде көбінесе электр сигналдары қолданылады. Электр 

сигналдарының негізгі параметрлері – кернеуі мен ток күші жіберілетін 
хабарламаға байланысты өзгереді.
Ақпарат жеткізуді теориялық зерттеулер үшін радиотехникалық 
жүйелерде сигналдар мен бөгеуілдерді математикалық модельдеу әдістері 
қарастырылады. Сигналдардың модельдерін уақытқа тәуелді функциялар 
ретінде қарастыру алдымен олардың формаларына талдау жасауға ыңғайлы 
болғандығынан. Осыған байланысты күрделі сигналдар элементар 
функциялардың 
жиыны 
түрінде 
қарастырылады. 
Ондай 
функцияларды базистік функциялар деп атайды. Таңдап алынған базистік 
функциялар үшін сигнал u(t) белгілі коэффициенттер арқылы толық 
анықталатын болады. Ол коэффициенттер сигналдың дискретті спектрлары 
деп аталынады.
Сигналдың (бөгеуілдің) математикалық моделі дегеніміз сигналдар мен 
бөгеуілдердің 
математикалық 
формасы.
Математикалық 
модельге 
қойылатын негізгі талап – ол нақты жағдайдағы сигналға барынша сәйкес 
болуы тиіс.
Жалпы жағдайда , нақты i - ші сигналдың математикалық моделі 
көбінесе Фурье қатарының жалпы түрінде жазылуы мүмкін [7,8,13]:
u
i
(t)=
(2.7)
мұндағы
- жіктеу коэффициенттері, ал
- жіктеудің базистық 
функциялары; бұлар ортогонал шартын қанағаттандыруы тиіс:
C егер k=j, 0 егер k j.
Егер базистық функциялар ретінде келесі функциялар қабылданса:
η
k
(t)=
,
(2.8)
мұндағы
, 
- i-ші сигналдың спектріндегі жоғарғы жиілігі, онда
мұндай Фурье қатарына жіктеуді Котельников базисы бойынша жіктеу деп 
атайды. Мұндай жағдайда i - ші сигнал келесі түрде жазылады:
u
i
(t)=
(2.9)
мұндағы u
i
(kΔt) - сигналдың t = k∙Δt, k = 0,1,2,. . . ,n, уақыт сәттеріндегі 
мәндері.