15 апта: Каноникалық теңдеулер. Гамильтон теңдеуі. Гамильтон-Якоби теңдеуі

Ең аз әсер принципі бойынша :

(26)

мұндағы әсер ұғымының уақыт пен координатаның функциясы ретінде берілуі туралы баяндалған болатын:

Сонымен қатар, (27) жүйенің берілген t1 және t2 уақыт моментіндегі q1 және q2 нүктелерінің арасындағы жасаған траекториясы арқылы алынған интегралы болып табылады. Әсердің вариациясы нәтижесінде осы интегралдың q(t1)=q(t2) кезіндегі мәндерін бір біріне жақын траекториялар үшін салыстырғанда, S-тің тек минимум мәніне сәйкес келетін интегралы ғана қозғалыстың шын түрін сипаттайды.

Енді S-ті q(t1)=q1 бастапқы нүктесі ортақ, бірақ t2 уақыт моментіндегі әртүрлі нүктелерден өтетін траекторияны сипаттау үшін қарастырамыз. Былайша айтқанда, әсер интегралын интегралдаудың жоғары шетіндегі кординаттың функциясы ретінде аламыз.

Әсердің бір траекториясы екінші оған жақын траекторияға өту кезіндегі өзгерісін жазатын болсақ:

(28)

Осы өрнектен көріп тұрғанымыздай, әсерден координата бойынша алынған дербес туынды импульсқа тең болады:

Осыған ұқсас әсерді уақыттың функциясы ретінде де қарастыруға болады. Сонымен қатар траекторияның берілген q1 нүктесінде t1 берілген уақыт мезетінде басталып, берілген q2 нүктесінде әртүрлі t2=t уақыт мезеттерінде аяқталады деп ұйғарамыз. дербес туындысын сәйкесінше интегралды вариациялау арқылы аламыз.

Әсердің берілген анықтамасы бойынша оның траекториясының бойымен алынған уақыт бойынша толық туындысы

(29)

(31)

Осы екі өрнекті салыстыра отырып

немесе

және еске түсіре отырып, функциясын қанағаттандыратын теңдеуді аламыз:

бұл бірінші ретті дербес туындылы теңдеу; оны Гамильтон-Якоби теңдеуі деп атайды.

(32)

(34)

Лагранж теңдеулері мен канондық теңдеулер сияқты Гамильтон-Якоби теңдеуі де қозғалыс теңдеулерін интегралдаудың негізгі тәсілдерінің бірі болып табылады. U(x,y,z,t) сыртқы өрістегі бір бөлшек үшін ол келесі түрде болады:

Егер H(q,p) функциясы уақытқа тәуелді болмаса, онда Гамильтон-Якоби теңдеуі қарапайымырақ болады:

(36)