15-дәріс. Аналитикалық функцияның жоғарғы ретті туындылары
,17–дәріс. Дәрежелік қатарлар. Аналитикалық функцияның дәрежелік қатарға жіктелуі. Вейершстрасс теоремасы. Тейлор қатары
жүктеу/скачать 130,57 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Кілт сөздер
- Дәріс тезистері
| 16,17–дәріс. Дәрежелік қатарлар. Аналитикалық функцияның дәрежелік қатарға жіктелуі. Вейершстрасс теоремасы. Тейлор қатары.
Аннотация: Дәрісте дәрежелік қатарлар, аналитикалық функцияның дәрежелік қатарға жіктелуі, Вейершстрасс теоремасы, Тейлор қатары қарастырылады. Кілт сөздер:. Аналитикалық функция; дәрежелік қатар. Жоспар: Дәрежелік қатарлар. Аналитикалық функцияның дәрежелік қатарға жіктелуі. Вейершстрасс теоремасы. Тейлор қатары. Дәріс тезистері (3.41) қатарының түрі, мұндағы an — z; z0-ден тәуелсіз комплекс сандар дәрежелік қатар деп аталады. Дербес жағдайда үшін . (3.42) Теорема 3.26 (Абель теоремасы) 1. Егер қатары нүктесінде жинақталса, онда ол кез келген z үшін жинақталады, егер болса, онда берілген қатар абсолютті жинақталады жәнеде кез келген шеңберінде бірқалыпты жинақталады. 2. Егер қатар z0 нүктесінде жинақталмаса, онда үшін барлық z нүктелерінде жинақталмайды. Дәлелдеуі. 1. (3.42) қатарының z0 нүктесінде жинақталуынан шығады, сондықтан барлық n үшін теңсіздігі орындалады. z саны шартына қанағаттандыратын кез келген сан болсын. Сонда , мұндағы . Соңғы теңсіздігінен және салыстыру белгісінен қатар жинақталады, яғни (3.42) қатары z нүктесінде абсолютті жинақталады. шеңберінде қатары қатарымен мажорантталады. Вейерштрасс белгісі бойынша қатары шеңберінде бірқалыпты жинақталады. 2. Егер қатары z нүктесінде жинақталса, онда ол теореманың бірінші пункт бойынша z0 нүктесінде де жинақталады, бірақ ол теореманың шартына қайшы болады. Теорема 3.27. Кез келген дәрежелік қатары үшін R теріс емес сан табылып үшін (егер ) қатар абсолюті жинақталады, ал үшін (егер ) қатар жинақсыз болады. R санын дәрежелік қатардың жинақталу радиусы деп, ал шеңберін— жинақтылық дөңгелек деп аталады. R санын келесі формулалар бойынша табуға болады: немесе . Теорема 3.28. Дәрежелік қатардың қосындысы оның жинақтылық дөңгелегінде аналитикалық функция болады. Дәрежелік қатарды мүшелеп кез келген рет дифференциалдау болады. Теорема 3.29. Дәрежелік қатарды мүшелеп L кез келген қисық бойынша интегралдау болады. Мысал 3.22. дәрежелік қатардың жинақталу радиусын және оның қосындының табыңыз. Шешуі. Берілген қатарына Даламбер белгісін қолданып тең болады. нүктелерінде берілген қатар салыстыру белгісі бойынша абсолютті жинақталады . Сондықтан берілген қатардың жинақталу облысы сегментінде жатады. қатарды екі рет дифференциалғанда , . Интегралданғанда , . болғандықтан тең болады. және . болғандықтан болады. Мысал 3.23. қатардың жинақталу радиусын және қосындысын табыңыз. Шешуі. 3.22 мысал сияқты тең болады. нүктелерінде берілген қатар жинақталады, сондықтан жинақталу облысы аралығы болады. Осыдан . жүктеу/скачать 130,57 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|