Функциональным рядом называется формально записанное выражение
u1(x) + u2(x) + u3(x) + ... + un(x) + ... , (1)
где u1(x), u2(x), u3(x), ..., un(x), ... - последовательность функций от независимой переменной x.
Сокращённая запись функционального ряда с сигмой: .
Придавая независимой переменной x некоторое значение x0 и подставляя его в функциональный ряд (1), получим числовой ряд
u1(x0) + u2(x0) + u3(x0) + ... + un(x0) + ...
Множество значений независимой переменной, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
Почленное интегрирование функциональных рядов.
Если функции непрерывны на отрезке и составленный из них ряд сходится равномерно на этом отрезке, и имеет суммой функцию , то ряд составленный из интегралов от его членов на отрезке , также сходится и имеет суммой функцию , где .
Доказательство. В силу равномерной сходимости функционального ряда функция непрерывна на отрезке и поэтому интегрируема на любом отрезке с концами в точках и . Функцию S(x) можно представить в виде , где частичная сумма, остаток ряда, или
.
Тогда
(12.1.33) (интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых). Таким образом, сумма членов ряда отличается от интеграла дополнительным членом . Для доказательства теоремы нужно лишь установить, что . В силу равномерной сходимости ряда для найдется номер такой, что при сразу для всех в рассматриваемом промежутке. Поэтому
.
Так как при , то и из (12.1.33) получим
. (12.1.34)
В (12.1.34) перейдем к пределу при , получим
(12.1.35)
в силу (12.1.33) имеем
. (12.1.36)
Сумма, стоящая слева в равенстве (12.1.36), есть частичная сумма ряда , она имеет конечный предел. Следовательно, ряд сходится и его сумма равна .
Тем самым доказаны сходимость ряда и равенство его суммы интегралу .
Почленное дифференцирование функциональных рядов Пусть ряд сходится на отрезке и имеет сумму , а его члены имеют на этом отрезке непрерывные производные, причем ряд, составленный из этих производных , сходится равномерно на и имеет сумму . Тогда функциональный ряд сходится на отрезке равномерно и производная его суммы равна сумме ряда , то есть .
Доказательство. Так как ряд сходится равномерно на отрезке , то на основании теоремы (1) его можно почленно интегрировать от до x, где .
или
. По условию теоремы ряд сходится и его сумма равна ; сходится по условию и ряд , его сумма равна , тогда сходится и ряд . Поэтому
. Дифференцируя по обе части равенства, получим
.
Остается доказать, что ряд при выполнении условий теоремы равномерно сходится на отрезке . Из равенства
в силу доказанной сходимости рядов и следует, что
, но ряд равномерно сходится на отрезке на основании теоремы 9, а сходящийся числовой ряд, то есть ряд , равномерно сходится на отрезке . Таким образом, при выполнении условий ряд равномерно сходится на отрезке и производная от суммы ряда равна сумме производных от членов ряда.
25. Понятие степенного ряда, его сходимость и расходимость
Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.
Степенным рядом называют ряд ,
члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x, а c0, c1, c2, cn - постоянные величины. Числа c1, c2, cn - коэффициенты членов ряда, c0 - свободный член. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.
Вместо x могут быть различные числа.
При некоторых значениях x степенные ряды могут быть сходящимися, при других значениях x - расходящимися. Обозначим через x0 некоторое значение x, при котором ряд сходится, а через x1 - значение, при котором ряд расходится. На рисунке слева показано, что интервал от −x0 до x0 является интервалом сходимости ряда, а вне этого интервала наблюдается расходимость.
Но как определить эти граничные значения x? Для этого существует вполне определённый способ. Обозначим эти граничные значения через −R и R. Находим по следующей формуле:
Область сходимости, интервал сходимость и радиус сходимости степенного ряда Множество значений переменной x, для которых ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.. Для действительных значений переменной x область сходимости состоит либо из одной точки, либо является некоторым интервалом (интервалом сходимости), либо совпадает со всей осью Ox.
При подстановке в степенной ряд значения x=0 получится числовой ряд
c0+0+0+...+0+...,
который сходится.
Следовательно, при x=0 сходится любой степенной ряд и, значит, область его сходимости не может быть пустым множеством. Есть степенные ряды, которые сходятся только при x=0 и расходятся при остальных значениях х. Структура области сходимости всех степенных рядов одинакова.