2. Бір айнымалыдан тәуелді функцияның шегі y = f (x) функциясы а нүктесінің қандайда бір аймағында немесе осы аймақтың бірнеше нүктесінде анықталған болсын.
функцияның нүктедегі шегі Егер "e > 0 $ d (e)> 0, | х – а | < d (e) шартын қанағаттандыратын барлық x үшін ½уп – а½< e теңсіздігі орындалса, онда b саны y = f (x)функциясының х a-ға ұмтылғандағы (x ® a) шегі деп аталады ( y ® b ).
Белгіленуі: x ® a f (x)® b немесе Біржақты шектер: а) (f (x)функциясының а нүктедегі сол жақты шегі)
Егер "e > 0 $ d (e)> 0, 0 < а – х < d (e) шартын қанағаттандыратын барлық x үшін ½f (x)– b1½< e теңсіздігі орындалса, онда b1 саны y = f (x)функциясының х a-ға ұмтылғандағы (x ® a – 0) сол жақты шегі деп аталады (y ® b1). Белгіленуі:.
ә) (f (x)функциясының а нүктедегі оң жақты шегі)
Егер " М > 0 $ d (М)> 0, 0 < х – а < d (e) шартын қанағаттандыратын барлық x үшін ½f (x)– b2½< e теңсіздігі орындалса, онда b2 саны y = f (x)функциясының х a-ға ұмтылғандағы (x ® a + 0) оң жақты шегі деп аталады (y ® b2). Белгіленуі:.
функцияның ақырсыз шектері Егер " М > 0 $ d (М)> 0, | х – а | < d (М) шартын қанағаттандыратын барлық x үшін ½f (x)½> М теңсіздігі орындалса, онда x ® a y = f (x)функциясының шегі ақырсыз үлкен болады (y ®¥). Белгіленуі:.
Егер x ® a f (x) функциясының шегі ақырсыз үлкен болса және тек оң немесе тек теріс мәндерді қабылдаса, онда сәйкесінше былай жазылады: немесе .
функцияның шексіздіктегі шектері Егер "e > 0 $ N > 0, | х | > N шартын қанағаттандыратын барлық x үшін ½f (x)– b½< e теңсіздігі орындалса, онда b саны y = f (x)функциясының х ® ¥ шегі деп аталады.
Белгіленуі: 1) x ®¥ f (x)® b немесе 2) x ® – ¥ f (x)® b немесе 3) x ® + ¥ f (x)® b немесе Мысал.
Егер x ® ¥ f (x)®¥ , онда былай жазылады:
Кейбір жағдайларда: және т.с.с.
Мысалдар:
Е с к е р т у. y = f (x)функциясы x ® a немесе х ®¥ ақырлы шекке ие болмауы немесе шексіздікке ұмтылмауы мүмкін. (Мысал. y = sin x.)
Шектер туралы негізгі теоремалар а £ ¥ (тұрақты немесе шексіздік) болсын.
Теорема 1. .
Теорема 2. .
Салдар. , С – тұрақты.
Теорема 3. егер
Теорема 4. Егер u(x), y(x), v(x) функциялары үшін u(x)£ y(x)£ v(x) шарты орындалса және болса, онда .
Теорема 5. Егер u(x), v(x) функциялары үшін u(x)£ v(x) шарты орындалса және шектері бар болса, .
Теорема 6. Егер х ® а үшін у ³ 0 болса және у ® b, онда b ³ 0.
Теорема 7. Если у – өспелі және шектеулі функция, яғни у < M болса, онда мұндағы В £ M, шегі бар болады.
Бірінші және екінші тамаша шектер Бірінші тамаша шек: .
Салдарлар: 1) ; 2) ; 3) .
Екінші тамаша шек: , е = 2,7182818284…,
– жалпылама түрі.