1) Гамильтон теңдеулерін дәлелдеңдер.
- Жалпыланған импульсін.
- Гамильтон функциясын.
- Гамильтон теңдеуін.
Лагранж функциясын біз жалпыланған координат және жалпыланған жылдамдық функциясы ретінде анықтадық. Лагранж теңдеуі екінші реттік дифференциалдық теңдеу болып табылады және оның шешімі 2s интегралдау тұрақтысын қамтиды. Материалдық нүкте қозғалысын сипаттау үшін бірінші реттік дифференциалдық теңдеу құруға болады екен. Бірақ, ол үшін айнымалы ретінде жалпыланған координаттар мен жалпыланған импульстарды алу қажет.
Бұны көрсетейік. Лагранж функциясынан толық дифференциал құрамыз:
(*)
Лагранж теңдеулерінің күшінде (в силу уравнений Лагранжа).
(*)-дегі екінші қосындыны түрлендіреміз:
Сонда (*) былайша жазылады:
Дифференциал таңбасының астынана сол жағында жүйенің толық энергиясы тұр (Слева под знаком дифференциала стоит полная энергия системы). Берілген есепте оны Гамильтон функциясы деп атайды және былайша H(p,q,t) белгілейді:
Сонда:
Бұл өрнек сол мезетте-ақ Гамильтон теңдеулері деп аталатын дифференциалдық теңдеулерді алуға мүмкіндік береді. Екінші реттік дифференциалдық теңдеулер ждеп аталатын Лагранж теңдеулерінен оның айырмашылығы Гамильтон теңдеулері бірінші текті:
Ондай теңдеулердің саны 2s, 2s үшін белгісіз шамалар
Гамильтон функциясынан уақыт бойынша толық туынды (производную) құрамыз: .
Егер Гамильтон теңдеулерін қолдансақ, онда мынаны аламыз:
Егер Гамильтон функциясы уақытқа тәуелді болмаса, онда соңғы теңдеуден жүйенің толық энергиясы өзгермейтіндігі шығады. Біз механикалық энергияның сақталу заңын алдық.
Достарыңызбен бөлісу: | 
