3 практикалық сабақтың тақырыбы

Мазмұны:

1. 
   Алгебралық өрнектер
   
2. 
   Рационал сандар. Теңдеулер
   
3. 
   Алгебралық өрнектерге амалдар қолдану
   
4. 
   Алгебралық символдар тарихы
   

1. Алгебралық өрнек - алгебралық амалдар қолданылған өрнек.

Алгебралық өрнек — саны шекті әріптер мен сандардан құралған және бір-бірімен қосу, азайту, көбейту, бөлу, бүтін санға дәрежелеу, сондай-ақ түбір табу амалдарының таңбалары арқылы біріктірілген өрнек. Егер өрнекке енетін әріптер түбір астында болмаса, онда алгебралық өрнек сол әріптерге қарағанда рационал алгебралық өрнек деп аталады. Егер белгілі бір әріптер енетін өрнекте бөлу амалы болмаса, онда алгебралық өрнек сол әріптерге қарағанда бүтін алгебралық өрнек деп аталады. Егер кейбір әріптерді (немесе бәрін) айнымалы деп санасақ, онда алгебралық өрнек алгебралық функция болады.

А және В екіжиын берілсін: A={a1a2,…, аn,,…}, В{b1,b2,…,bm,…}. <а,b> түріндегі қос элементтен тұратын қосақтардың жиынын қарастырайық, В= {В таңбалайық. АВ, АА, bбұндағы а<а,b> В}A, b/ a В жиынын А жіне В жиындардың тура көбейтіндісі дейді.БұлА көбейтіндідегі қосақтар реттелген, яғни <а,b>  .

Анықтама: <а,b> = a=c және b=d. В кез келген ішкіАнықтама: Екі жиынның тура көбейтіндісі А - ны бинарлық қатынас дейді.жиыны таңбаларымен, Эквиваленттілік қатынасты ұқсастық белгісі, белгілейді. бойынша құрылған кластарАнықтама.

2. Радикалсыз қосу, алу, көбейту және бөлу амалдарын қосатын бүтін немесе бөлшек өрнектер – рационал өрнек деп аталады. Мысалы: 6x; (m–n)2; x3y және т.б. Рационал теңдеулер дегеніміз – оң және сол жақ бөліктері рационал болып келетін теңдеулер. Рационал теңдеулер – айнымалысы бар бөлшек түрінде болмаса, бүтін немесе алгебралық болып табылады. Теңдеулерді  шешіңіздер

(x−1)(x−2)3+(1−x)(x−3)3=13x−13

(x−1)(x−2)3+(1−x)(x−3)3−13(x−1)=0

(x–1) ортақ көбейткішті қысқаша көбейту формуласын пайдалана отырып жақшаның сыртына шығарамыз. Келесі шығады:

(x−1)(3x2−15x+6)=0

Екі (x–1) және (3x2 –15x+6) көбейткіштерінің көбейтіндісі нөлге тең. Демек, x–1=0, немесе 3x2 –15x+6=0. Табылған әр теңдеуді шешеміз: x−1=0,               3x2−15x+6=0,
x=1,                      x2−5x+2=0
D=17>0. Демек, теңдеу екі түбірге ие x1=5−17−−√2 и x2=5+17−−√2.   
Жауабы: x1=5−17−−√2, x2=5+17−−√2, x3=1.   

Рационал сандар жиынына бүтін сандар , оң бөлшек және теріс бөлшек сандар жататыны белгілі. Кез келген рационал санды шектеусіз периодты ондық бөлшекпен жазуға болады. Шектеусіз периодсыз ондық бөлшек түрінде өрнектелген санды иррационал сандар деп атайды. Рационал және иррационал сандар жиындарын нақты сандар жиыны құрайды. Карл Гаусс математиканың сан салаларына сарапқа сала келіп арифметиканы математиканың патшасы деп бағалаған. Ал арифметиканың негізгі ұғымы – сан. Ендеше , сол сан ұғымының қалай пайда болуын ашу , білу – ғылыми методологиялық үлкен мәселе.

Нәрселерді санауда пайдаланылатын сандарды натурал сандар деп аталады. Натурал сандар қатары 1 санынан басталады.Оның мүшелері шексіз болады. Натурал сандар ұғымының дамуы ерте заманда адамдардың заттар жиынтығының  санын оларды санамай-ақ , яғни өзара бірмәнді  сәйкестікті тағайындау  негізінде қабылдануымен сипатталады.

Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, сонымен қатар оларды белгілеуді де, сондай-ақ олармен амалдар қолдануды да үйренді.      «Натурал сан» терминін тұнғыш рет римдік ғалым А. Боэций (шамамен 480-514 жылдар) қолданған. Натурал сан ұғымы қалыптасқаннан кейін сандар дербес объектлерге айналды.

ХІХ ғасырда ғалымдардың назары натурал сандармен есептеулер жұргізуге негіз болған теорияларды құруға және логикалық тұрғыдан негіздеуге аударылды. Натурал сандар ұғымының өте қарапайым және табиғи көрінетіні сондай, ғылымда ұзақ уақыт бойы оны қандай да болсын қарапайым ұғымның терминдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.

Жалпы алғанда сан ұғымы басқа ешқандай емес тек шындық дүниеден шыққан . Өте ерте заманда пайда болған сан ұғымы көптеген ғасырлар бойы жалпыланып, кеңейе түсті . Сонда сан жайындағы түсініктер  адамзаттың практикалық мұқтаждығына, мәселен, шамаларды өлшеудің қажеттілігіне және математиканың өзінің ішкі мұқтаждығына байланысты кеңейіп отырғандығы байқалады. Мысалы шамаларды  дәлірек өлшеудің мұқтаждығы оң бөлшек ұғымының тууына себепті болса, теңдеулерді шешу тәжірибелері мен осы санаудағы теориялық зерттеулерге байланысты  теріс сандар пайда болды. Бастапқыда санның жоқ екенін белгілеу үшін қолданылған нөл саны  теріс сандар енгізілгеннен кейін  сан ретінде қарастырылатын болды.

Француз математигі Рене Декарт (1596-1650) 1637 жылы координаталық түзуді енгізіп теріс және оң сандарға түсінік берді.

Нөл саны , натурал сандар және оған қарама –қарсы сандар бүтін сандар жиынын құрайды. Оны Z әріпімен белгілейді. Ал бүтін сандар жиыны және теріс бөлшектер рационал сандар жиынын құрайды. Рационал сандар жиынын Q әріпімен белгілейді. Рационал термині латын тіліндегі «ratio» деген сөзден шыққан. Ол қазақшаға аударғанда «бөлінді» , «қатынас» деген мағынаны береді.Яғни бұл жерде  рационал сан бүтін сандардың қатынасы деп түсіндіріледі. Мысалы 7=;7=; 7=

Бұлар бөлшек сандар. Жалпы рационал сан ұғымы әртүрлі шамаларды – ұзындықты , салмақты . ауданды, перимеитрді және тағы сол сияқты өлшеу процесіне байланысты пайда болды.

Бөлшектердің пайда болуы шамаларды өлшеумен пайда болды. Ерте кезде адамдарға сауда – саттық және түрлі есептеу жұмыстарында бөлшектер мен үлестерді есептеу қажет болған. Алғашында математикада бөлшектерді «сынық сандар» деп атаған. Бөлшектер туралы түсініктің дамуында үш түрлі бөлшектер ұғымы қалыптасқан.

• 
  Бірлік бөлшектер – алымдары 1 болатын бөлшектер.
  
• 
  Жүйеленген бөлшектер. Жүйеленген бөлшектің алымы кез келген бүтін сан, бөлімі тек 10 санының немесе 60 санының дәрежелері ғана болған.
  
• 
  Жалпы түрдегі бөлшек. Жалпы түрдегі бөлшектің алымы да , бөлімі де кез келген натурал сан болды.
  

Бөлшек сызығын уал-Хасара және итальяндық Леонардо Пизанский өздерінің жазба есептеулерінде пайдаланған. Леонардо Пизанский «бөлшек» деген сөзді енгізді.Бөлшек сызығы ХҮІ ғасырда ғана белгілеуге толық неді.

Ертедегі вавилондықтар өздерінің ғылыми зерттеулерінде алпыстық бөлшектерді (бөлімі алпыс болатын сан) пайдаланылады. Осыдан қалған бөлшек жүйесінен қазіргі уақыт бірлігіндегі 60-тық жүйе қалыптасқан.

1 мин = сағ; 1сек = мин. Бөлшектегі «алым» , «бөлім» атауларын ХІІІ ғасырда грек математигі Максим Плаунд енгізген, жалпы түрдегі бөлшегі ежелгі грек ғалымы Архимедтің еңбектерінде пайдаланылған. ХХ ғасырдың алғашқы жылдарында үнділер жай бөлшектерге амалдар қолдануды қалыптастырды.

Самарқанд қаласындағы астрономиялық обсерваторияның негізін салушы әл-каши бөлшек сандарды жазудың барлық түрлендірулер мен есептеулерін айтарлықтай ықшамдайтын түрін, яғни ондық бөлшек деп аталатын жаңа түрін ашты.

ХҮІІ ғасырдың басында ондық бөлшекті жазуды, айыру таңбасы ретінде үтір немесе нүкте қолданыла бастады.

Ондық бөлшектерді есептеу натурал сандарды есептеуге ұқсас және ыңғайлы болғандықтан,ғылымдағы,өндірістегі, күнделікті өмірдегі есептеулерге жиі пайдаланылады. Ондық бөлшектер және ондық бөлшектерге амалдар қолдану туралы ортаазиялық ғалым Әл-Каши өзінің «Арифметика кілті» (1437ж) атты кітабында жазды. Әл-Каши ондық бөлшектерді жазуда үтірді пайдаланбаған, бірақ ол үтірдің орнына тік сызық қойған. Ал, индерландиялық математик Стевин Симон (1548-1620) өзінің ондық бөлшек туралы «Ондық» атты (1585) кітабында үтірді пайдаланбай , бөлшектің бүтін бөлігі мен бөлшек бөлігін бір қатарға үтірсіз жазған. Мысалы, 37,48 ондық бөлшегін мына түрде жазған: 37 0 4 1 8 2. Үтірдің орнына бірліктің үстіне нөл жазған. 1, 2, 3, …. цифрларымен ондық таңбалардың ретін белгілеген. Өмірде, тұрмыста, кездесетін көптегшен шамалар ( жылдамдық, биіктік, температура, баға, т.б.) көбейіп, азайып өзгеріп отырады. Шамалардың өзгерістерін белгілеу үшін оң сандармен қатар теріс сандар енгізілді. Теріс сандар туралы ең алғашқы ұғым біздің заманымызға дейінгі ІІ ғасырдағы  қытай математиктерінің еңбектерінде кездескен. Оң санды «өсу» өзгерісінде қолданса , теріс санды «кему» ретінде қолданған немесе теріс сандар «қарыз» мағынасында қолданса , оң сандарды қолда бар зат «мүлік» деп түсінген.

Кейбір шамалардың тура мағынасы,тура бағыты болумен қатар, қарама- қарсы мағынасы ,қарма –қарсы бағыты болады. Шамалардың өзгерісінің сан мәнін жазғанда,оқығанда оның тура мағынасының сан мәнінің алдына «+» таңбасы қойылады. Шаманың қарама-қарсы мағынасының сан мәнінің алдына «-» таңбасы қойылады.    Координаталық түзудегі оң (оңға қарай)  бағытқа қарама-қарсы (солға қарай) бағыт теріс бағыт деп аталып, ол бағытта теріс сандар кескінделеді. Бір-бірінен тек қана таңбаларымен ажыратылатын сандар қарама-қарсы сандар деп аталады.

Математикаға теріс сандардың  енгізілуімен қатар нөл саны да жаңа мағынаға ие болды. Нөл саны санақ басы болып және қарама-қарсы сандардың қосындысы деп есептелді. Үнділер нөлді «сунья» (қазақша «бос» деген мағынаны білдіреді) деп атаған, ал арабтар «ас-сифр» деп аударған, сондықтан ХҮІІ ғасырға дейін нөл «цифр» деп аталып келген .

«Нөл» қазақшаға аударғанда «ешқандай» дегенді білдіретін латынның «nullus» деген сөзінен шыққан.

Қазіргі кездердегі түсінігімізше  нөл – сан. Оны басқа сандар сияқты қосуға,азайтуға , көбейтуге, бөлуге болады , тек  қана 0-ге санды бөлуге болмайды.

Нөл саны координаталық түзуде санақ басы болатын О нүктесінің координатасы,0 – саны оң сандар мен теріс сандарды ажыратып тұратын сан, сондықтан 0 саны оң санға да,теріс санға да жатпайды. 0 саны бүтін сандар жиынына жатады.

3. Алгебралық өрнек - алгебралық амалдар қолданылған өрнек. Алгебралық өрнек - алгебралық амалдар қолданылған өрнек.

Алгебралық өрнек — саны шекті әріптер мен сандардан құралған және бір-бірімен қосу, азайту, көбейту, бөлу, бүтін санға дәрежелеу, сондай-ақ түбір табу амалдарының таңбалары арқылы біріктірілген өрнек. Егер өрнекке енетін әріптер түбір астында болмаса, онда алгебралық өрнек сол әріптерге қарағанда рационал алгебралық өрнек деп аталады. Егер белгілі бір әріптер енетін өрнекте бөлу амалы болмаса, онда алгебралық өрнек сол әріптерге қарағанда бүтін..Алгебралық өрнектің құрамындағы әріпті санмен алмастыруға болады. Берілген өрнектің мағынасы болатын әріптің мәндерін мүмкін мәндер деп атайды. 

4. Математика – тарихы ұзақ ғылым. Математика деген атау гректің «mathematike»деген сөзінен туындаған, оның мағынасы бізше «Білім,ғылым» деген сөз.Математика-ұзақ тарихқа ие ғылым, оның тарихы қоғамның даму тарихымен тығыз байланысты болып, ол төрт кезеңге бөлінеді. Төменде оларға қысқаша тоқталайық.

1. 
   Математикалық білімдердің пайда болуы, қорлануы,жинақталуы дамуы.Бұл дәуір өте ерте ғасырда басталып, біздің дәуірге дейінгі VI-VII ғасырына дейін созылған.
   
2. 
   Математиканың өз алдына дербес теориялық ғылым болып туылу, қалыптасу кезеңі. Осы дәуірде арифметика, алгебра, геометрия, тригонометриялар айрым теориялық пән болып қалыптасқан. Бұл кезең ХVII ғасырда аяқталған.
   
3. 
   Айнымалы шамалар математикасы яғни жоғары математиканың ( математикалық анализ, аналитикалық геометрия т.с.с) туылу, қалыптасу кезеңі. Бұл дәуір ХІХ ғасырдың соңғы жартысына дейін жасалған.
   
4. 
   Осы заманғы математика дәуірі, яғни , «жиын теориясының» жарыққа шыққан кезеңі. Бұл кезең 19 ғасырдың орта тұсынан басталған. ХХ ғасырдың 40 жылдарынан бастап математика және математикалық логика ғылымының көмегінде компьютер жасалды. Бұл математикадағы ең зор өзгеріс болып, математиканы бір түрлі техникаға, яғни математикалық техникаға айналдырды.