37. Орбиталық моменттің берілген мәніндегі еркін қозғалыс
жүктеу/скачать 14,94 Kb.
|
37
|
37. Орбиталық моменттің берілген мәніндегі еркін қозғалыс. Кванттық бөлшектің импульсы мен энергиясы белгілі болса, оның еркін қозғалысын exp[i(kr-ωt)] жазық толқынымен сипаттауға болатыны белгілі. Сонымен қатар мұндай бөлшектің энергиясы мен орбиталық моменті және сол моменттің z осіне проекциясы белгілі болған кездегі күйін сипаттайтын функцияны да табуға болады. Ол үшін Шредингердің радиал теңдеуін жазып, оны V(r)=0 болған кезде шешу қажет. Потенциалдық энергия нөлге тең болғандықтан, бөлшектің толық энергиясы оң шама болады. U(r) функциясына арналған Шредингердің (7.8) радиал теңдеуі бұл жағдайда мына түрде жазылады: (d²Uₗ(r)/dr²)+(2μE/ћ²)Uₗ(r)-(l(l+1)/r²)Uₗ(r)=0. (7.23) Бұдан әрі әдеттегідей 2μE/ћ2=k² деп белгілеп ала отырып, мына теңдеуді аламыз: [(d²/dr²)-(l(l+1)/r²)+k²]Uₗ(r)=0 (7.24) Алдымен орбиталық моменттің l=0 болған s күйге сәйкес келетін жағдайда қарастырайық. Бұл жағдайда (7.24) теңдеуі мына түрде жазылады: [(d²/dr²)+k²]U₀(r)=0 (7.25) Бұл типтес теңдеулер бізге бұрыннан таныс, оның жалпы шешімі мынадай: U₀(r)=Asinkr+Bcoskr. (7.26) Бұл шешім қанағаттандыруға тиісті U₀(0)=0 шекаралық шартынан B=0 екендігі шығады. Онда U₀(r)=Asinkr. Бұдан Шредингердің радиал теңдеуінің шешімін мына түрде жазады: R₀(r)=A(sinkr/r). (7.27) Сонымен, орбиталық моменттің мәні нөлге тең болса, бөлшектің еркін қозғалысы осы (7.27) толқындық функциямен сипатталады екен. Енді l≠o яғни орбиталық моменттің мәні нөлден ерекше болған жалпы жағдайды қарастырайық. Бұл жағдайда Шредингердің (7.7) радиал теңдеуінің өзін қолдану ыңғайлы: [(d²/dr²)+(2/ρ)(d/dr)+1-(l(l+1)/r²)]Rₗ(ρ)=0 (7.28) Бұл теңдеуді шешу үшін өлшемсіз ρ=kr жаңа айнымалыға өткен жөн. Бұл жаңа айнымалыларда теңдеу мына түрде жазылады: [(d²/dρ²)+(2/ρ)(d/dr)+1-(l(l+1)/r²)]Rₗ(ρ)=0 (7.29) Бұл екінші ретті дифференциалдық теңдеу. Оның жартылай бүтін ретті Бессель функциялары арқылы төмендегідей өрнектелген тәуелсіз екі шешімі бар: јₗ(ρ)=√(π/2ρ)*Jₗ+1/2(ρ)=(-1)'l(d/dρ)'l(sinρ/ρ), (7.30) ηₗ(ρ)=(-l)'(l+1)(√π/2ρ)J_ₗ-½(ρ). (7.31) Мұндағы jₗ(ρ) Бессельдің сфералық функциясы, ал ηₗ(ρ) Нейманның сфералық функциясы деп аталады. Ал (7.28) теңдеуінің энергия мен орбиталық моменттің белгілі мәніне сәйкес келетін жалпы шешімі мынадай: Rₗ(r)=A·jₗ(kr)+B·ηₗ(kr). (7.32) Ал бұл күйге сәйкес келетін толық толқындық функция: ψₖₗₘ(r,θ,φ)=[A·jₗ(kr)+B·ηₗ(kr)]·Yₗₘ(θ,φ). (7.33) Мұндағы А және В тұрақтылары шекаралық шарт пен нормалау шартынан анықталады. Мәселен, бөлшек кеңістіктің барлық нүктесінде (r=0 нүктесін қоса есептегенде) бола алатын болса, онда координаттың бас нүктесінлегі толқындық функцияның шектілік шартынан B=0 екені шығады да, толқындық функция мына түрде жазылады: ψₖₗₘ(r,θ,φ)=A·jₗ(kr)·Yₗₘ(θ,φ). (7.34) Ал егер бөлшек радиусы ρ болатын сфераның сыртында ғана еркін қозғалатын болса (мысалы, ядро сыртындағы нейтронның қозғалысы(, онда А және В тұрақтылары да нөлден ерекше болады да, олардың қатынасы ψ және dψ/dr – нің екі аймақ шекарасындағы үздіксіздік шартынан анықталады. жүктеу/скачать 14,94 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|