7. Экстремалдылық принципі

7. Экстремалдылық принципі 
Көптеген есептерді шешу кезінде негізгі идея кейбір экстремалды қасиеттерге ие объектіні 
қарастыру болып табылады: ең үлкен немесе ең кіші сан, ең жоғары немесе ең төменгі нүкте, ең жақын 
нүкте, бұрыштық нүкте, шекті жағдай және т.б. Есептерді шешудің бұл әдісі шектен шығу принципі немесе 
экстремалдылық принципі (ережесі) деп аталады. 
111.
Шеңберге 100 сан жазылған, олардың әрқайсысы көршілерінің арифметикалық ортасына тең. 
Барлық 100 санның тең екенін дәлелдеңдер. 
Шешім. 
Жазылған сандардың ең үлкенін қарастырыңыз (егер осындай сандар бірнеше болса солардың 
біреуін). Көршілерінен кем емес және олардың арифметикалық ортасына тең болуынан оның көршілеріне 
тең екендігі шығады. Ұқсас пайымдауды әрі қарай жүргізе отырып, біз барлық сандар тең екенін көреміз. 
Ескерту. 
Ең күлкен санды емес, ең кіші санды бірінші қарас- тырып пайымдауға болады. 
112.
Жеті саңырауқұлақ теруші бірге 100 саңырауқұлақ жинады, ал екі адам бірдей саңырауқұлақ санын 
жинамады. Бірге кем дегенде 50 саңырауқұлақ жинаған үш саңырауқұлақ теруші бар екенін дәлелдеңіз. 
Шешім. 
Саңырауқұлақ тергіштерді кему ретімен орналастырайық. Олардың әрқайсысы таңдаған 
саңырауқұлақтар және алғашқы үш саңырауқұлақ жинаушыны қарастырыңыз. Егер үшінші 16 
саңырауқұлақ жинаса, онда үш саңырауқұлақ теруші бірге 16 + 17 + 18 = 51-ден кем емес 
саңырауқұлақтарды жинаса, онда қажетті нәтиже дәлелденді. Үшіншісі 15-тен аспайтын 
саңырауқұлақтарды тапса, қалған төрт саңырауқұлақ жинаушылар 14 + 13 + 12 + 11 = 50 саңырауқұлақтан 
көп емес жинады. Бұдан біз алғашқы үшеуі бірге кем дегенде 50 саңырауқұлақ жинады деген қорытындыға 
келді. 
Тапсырмалар. 
113.
Кез келген дөңес көпбұрыштың бірдей жақ сандарымен екі жиегі бар екенің дәлелдеңіз. 
Шешім. 
Кез келген екі бетінің қабырғаларының саны әртүрлі болатын дөңес көпбұрышты таптық 
делік. Қабырғаларының саны ең көп бетті қарастырайық (олар n болсын). Сонда бұл беттің n көрші беті 
бар. Бірақ олардың 3-тен n - 1 ге дейін жақтары болуы мүмкін, яғни Дирихле принципі бойынша олардың 
екеуі бірдей жақ санымен таңдалуы мүмкін. Пайда болған қайшылық қажет екенін дәлелдейді. 
114.
Жасыл Ит жүйесінде 2011 планета бар. Бұлардың әрқайсысы планеталарда астроном бар және
телескоп арқылы ең жақын планетаға қарап отыр. Планеталар арасындағы жұптық қашықтық әртүрлі болса, 
онда ешкім қарап отырмаған планета бар екенін дәлелдеңіз. 
Шешім. 
А және В екі планетаны қарастырайық, олардың арақашықтығы ең кіші. А планетасындағы 
астроном В планетасына, ал В планетасындағы астроном А планетасына қарайды деген шарттан шығады. 
Сонда екі нұсқа болуы мүмкін. Біріншіден: басқа планетаның астрономы (қалған 2009 планетаның ішінен) 
А немесе В планетасына қарайды, содан кейін ешкім қарамайтын планета болады (өйткені 2009 жылғы 
қалған планеталарды 2008 жылдан астам астрономдар қарастырмайды). Екінші нұсқа: А және В 
планеталарына енді ешкім қарамайды. Содан кейін, А және В планеталарын қарастырудан басқа, мәселенің 
шарты қанағаттандырылатын 2009 планеталар жүйесін аламыз. Планеталардың саны тақ болғандықтан, 
осылайша пайымдауды жалғастыра отырып, біз ешкім қарамайтын бір планета қалады деген қорытындыға 
келеміз. 
115.
Жазықтықта бірнеше нүктелер бар, олардың арасындағы барлық жұптық 
қашықтықтар әртүрлі. Бұл нүктелердің әрқайсысы ең жақын нүктеге қосылған. Бұл жабық үзік сызыққа 
әкелуі мүмкін бе? 
Жауабы: 
Жоқ. 
Шешімі: 
ABCD...A тұйық сынық сызығын аламыз делік. LM – осы сынық сызықтың ең үлкен буыны 
және оған іргелес жатқан KL және MN буындарын қарастырайық. Сонда KL 
< 
LM болғандықтан, M нүктесі 
L нүктесіне жақын емес. Сол сияқты, MN 
< 
LM болғандықтан, L нүктесі М нүктесіне жақын емес. Демек, 
L және M нүктелерін қосу мүмкін болмады, яғни тұйық сынық сызықты алу мүмкін емес. 
116.
Жұмыс күні әрбір депутат парламент отырысына
қатысты. Барлық депутаттар әр уақытта келіп
кететін, бірақ олардың ешқайсысы кеткеннен кейін қайтып оралмаған. Жиында кез келген екі депутат бас
қосатын болып шықты. Барлық депутаттар қатысқан сәт болғанын дәлелдеңіз.