7. Экстремалдылық принципі

Жауабы: 
1, 2, …, 99, 101. Шешім ұқсас. Барлық сандардың қосындысы 5050: 
1 + 2 +...+100 = (1 + 100) + (2 + 99) +...+ (50 + 51) = 50 
∙
101= 5050, ол да өз сандарының қосындысынан бір 
кем . Бұл бір сан (соңғысы) оның санынан біреуге артық, ал қалғандары олардың санына тең дегенді 
білдіреді. 
122.
Шеңбердің айналасында орналасқан 6 сан бар, әрқайсысы сан сағат тілінің бағыты
бойынша өзінен кейінгі екеуінің айырмасының модуліне тең. Барлық сандардың қосындысы бірге тең. 
Мына сандарды табыңдар. 
Жауабы
: 
1
4
; 
1
4
; 0; 
1
4
;
1
4
; 0
Шешімі: 
Жазылған сандардың әрқайсысы теріс емес деген шарттан шығады.
Сандардың ең үлкенін (немесе олардың біреуін) 
𝑎
1
, 
ал одан кейінгісін сағат тілімен 
𝑎
2
,
,..., 
𝑎
6
, 
деп белгілейік. 
𝑎
1
=
|
𝑎
2
−
𝑎
3
|, 
шарты 
бойынша 
𝑎
1
ең 
үлкен екенін ескере 
отырып, 
𝑎
2
және 
𝑎
3
сандарының бірі 
𝑎
1
, 
-ге, екіншісі нөлге тең екенін аламыз. 
𝑎
2
= |
𝑎
3
− 𝑎
4
|, 
шарты бойынша a2, a3 
және a4 сандарын әрі қарай қарастырайық, өйткені 
𝑎
2
және 
𝑎
3
сандарының бірі нөлге тең болса, онда 
𝑎
4
осы сандардың екіншісіне тең болады (және 
𝑎
1
-ге тең). Дәл осылай әрі қарай пайымдай отырып, алты 
санның ішінде екеуі нөлге, ал қалғандары бір-біріне тең екенін көреміз. Барлық сандардың қосындысы 1-
ге тең екенін ескерсек, жауап аламыз. 
123.
Кез келген төртбұрышты үш трапецияға бөлу жолын Көрсетіңіз (параллелограммды 
трапеция деп те қарастыруға болады). 
Шешімі: 
B берілген ABCD төртбұрышының ең үлкен ішкі бұрышы болсын. В төбесінен AD 
қабырғасына параллель (М нүктесі төртбұрыштың ішіне түседі) В төбесінен ВМ қиығын жасайық. М 
нүктесінен сәйкесінше BC және CD қабырғаларына параллель MN және MK қиықтарын саламыз. (34 – 
сурет) 

34 – сурет. 
124.
Петя әртүрлі ұзындықтағы 100 таяқшадан тұратын 
«Конструкторды» 
сатып 
алды. 
«Конструкторға»
арналған 
нұсқауларда 
үшбұрышты 
қалыптастыру 
үшін 
кез 
келген үш 
«Конструктор» 
таяқшасын 
пайдалануға болады делінген. Петя бұл мәлімдемені таяқтардан үшбұрыштар жасау арқылы тексеруді шешті. 
Таяқшалар конструкторда ұзындықтың өсу ретімен орналасады. Нұсқаулардың мәлімдемесін дәлелдеу 
немесе жоққа шығару үшін Петя тексерудің ең аз саны (ең нашар жағдайда) қанша болуы керек? 
Жауабы: 
бір тексеру. 
Шешімі: 
Петя ең қысқа екі таяқшадан және ең ұзынның біреуінен үшбұрыш құруға болатынын тексеру 
керек. Егер үшбұрыш құрылмаса, онда нұсқаулардың мәлімдемесі жоққа шығарылады. Егер үшбұрыш құру 
мүмкін болса, онда ең қысқа екі таяқшаның ұзындықтарының қосындысы ең ұзынының ұзындығынан үлкен 
болады. Бірақ бұл жағдайда жиынтықтағы кез келген екі таяқшаның ұзындықтарының қосындысы кез келген 
басқасынан ұзын болады (Шынында да, кез келген екеуінің ұзындықтарының қосындысы ең қысқасының 
ұзындықтарының қосындысынан кем емес, ал кез келген таяқ ең ұзынының ұзындығынан үлкен емес.) Және 
бұл дегеніміз, кез келген таяқшалардан үшбұрыш жасауға болады , яғни, нұсқаулардың тұжырымы дәлелденді.